a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
Giải bởi Vietjack
a) Tập xác định: D = ℝ\{0}.
Ta có: y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) = \( - x - 1 - \frac{1}{x}\)
⇒ y' = −1 + \(\frac{1}{{{x^2}}}\) = \(\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}\) = 0 ⇔ 1 – x2 = 0 ⇔ x = ±1.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (0; 1).
Điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị hàm số lần lượt là (−1; 1) và (1; −3).
Các giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x - 1} \right)} \right]\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \)\(\left( { - \frac{1}{x}} \right)\) = 0. Vậy đường thẳng y = −x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty \). Vậy đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b)
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) và đường thẳng d: y = −2x + m là nghiệm của phương trình:
\( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) = −2x + m
⇔ x2 – (1 + m)x – 1 = 0 (x ≠ 0). (*)
Phương trình (*) có ac = −1 < 0 nên luôn có hai nghiệm trái dấu.
Vậy với mọi m, đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm A(x1; −2x1 + m) và
B(x2; −2x2 + m) thuộc hai nhánh của đồ thị, ở đó x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Ta có:
AB2 = (x1 – x2)2 + [(−2x1 + m) – (−2x2 + m)]2
= (x1 – x2)2 + 4(x1 – x2)2
= 5(x1 – x2)2
= 5[(x1 + x2)2 – 4x1x2].
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\).
⇒ AB2 = 5[(m + 1)2 + 4] = 5(m + 1)2 + 20 ≥ 20 ∀m.
Vậy AB ≥ 2\(\sqrt 5 \).
Dấu “=” xảy ra khi m = −1.
Lúc này phương trình (1) là x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1.
Vậy đường thẳng d: y = −2x – 1 đi qua hai điểm cực trị A(−1; 1) và B(1; −3).
Đồ thị hàm số như sau:
Giải SBT Toán 12 Tập 2 KNTT Bài tập ôn tập cuối năm có đáp án
Tính:
a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \);
b) \(\int\limits_0^1 {\left( {3x - 4{x^3}} \right)dx - \int\limits_1^2 {\left( {4{x^3} - 3x} \right)dx} } \);
c) \(\int\limits_0^6 {\left( {\left| {2x - 2} \right| + 4{x^2}} \right)dx} \).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \(\sqrt x \) − 2, trục hoành và các đường thẳng x = 4, x = 9.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\). Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.
b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.
c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
Một ô tô đang chạy với vận tốc 15 m/s thì tăng tốc, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a = 3t – 8 (m/s2), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc.
a) Biết vận tốc của ô tô là v(t) = \(\frac{a}{2}\)t2 + bt + c, với a, b, c là các số nguyên.
Tính giá trị a + b + c.
b) Quãng đường ô tô đi được sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.
a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng và V = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\), trong đó x là chiều cao của hình chóp.
b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x2 + 2, y = 3x và các đường thẳng x = 1, x = 2 là
A. \(\frac{1}{4}\).
B. \(\frac{1}{6}\).
C. \(\frac{1}{3}\).
D. \(\frac{1}{5}\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; −1; −3) và mặt phẳng (P): 2x – 2y – z = 0. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng
A. 3.
B. 6.
C. \(\frac{2}{3}\).
D. \(\frac{1}{3}\).
a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = \(\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\).
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha + 1}}\).
Tìm học các nguyên hàm của mỗi hàm số sau:
a) f(x) = 3x2 – 2x + \(\frac{2}{x}\);
b) g(x) = sinx –\(\frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\) + 1;
c) h(x) = (3x – 1)2 − 2\(\sqrt x \) + sinx – 1.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi đường parabol y = x2 – 3x + 2, trục hoành và các đường thẳng x = 1,x = 2.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông cân tại B, biết SA = AB = BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} \) bằng
A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\).
B. a2.
C. −a2.
D. \( - \frac{{{a^2}}}{2}\).
Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton chạy 42 km.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
A. 0,5.
B. 0,75.
C. 6,75.
D. 7,5.
Chọn ngẫu nhiên một lá bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 lá bài. Xác suất để lá bài lấy ra có chất rô, nếu biết rằng lá bài đó mang số chẵn là
A. \(\frac{1}{4}\).
B. \(\frac{3}{8}\).
C. \(\frac{1}{3}\).
D. \(\frac{5}{{13}}\).
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.
