Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \(\sqrt x \) − 2, trục hoành và các đường thẳng x = 4, x = 9.

Tính:

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {\left( {3x - 4{x^3}} \right)dx - \int\limits_1^2 {\left( {4{x^3} - 3x} \right)dx} } \);

c) \(\int\limits_0^6 {\left( {\left| {2x - 2} \right| + 4{x^2}} \right)dx} \).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\). Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.

c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Một ô tô đang chạy với vận tốc 15 m/s thì tăng tốc, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a = 3t – 8 (m/s²), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc.

a) Biết vận tốc của ô tô là v(t) = \(\frac{a}{2}\)t² + bt + c, với a, b, c là các số nguyên.

Tính giá trị a + b + c.

b) Quãng đường ô tô đi được sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.

a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng và V = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\), trong đó x là chiều cao của hình chóp.

b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x² + 2, y = 3x và các đường thẳng x = 1, x = 2 là

A. \(\frac{1}{4}\).

B. \(\frac{1}{6}\).

C. \(\frac{1}{3}\).

D. \(\frac{1}{5}\).

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; −1; −3) và mặt phẳng (P): 2x – 2y – z = 0. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng

A. 3.

B. 6.

C. \(\frac{2}{3}\).

D. \(\frac{1}{3}\).

a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = \(\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\).

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha + 1}}\).

Tìm học các nguyên hàm của mỗi hàm số sau:

a) f(x) = 3x² – 2x + \(\frac{2}{x}\);

b) g(x) = sinx –\(\frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\) + 1;

c) h(x) = (3x – 1)² − 2\(\sqrt x \) + sinx – 1.

Cho hàm số f(x) có f'(x) = 10x – e^x với mọi

x ∈ ℝ. Biết f(0) = 1, tính giá trị f(2).

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi đường parabol y = x² – 3x + 2, trục hoành và các đường thẳng x = 1,x = 2.

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông cân tại B, biết SA = AB = BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} \) bằng

A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\).

B. a².

C. −a².

D. \( - \frac{{{a^2}}}{2}\).

Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton chạy 42 km.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 0,5.

B. 0,75.

C. 6,75.

D. 7,5.

Chọn ngẫu nhiên một lá bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 lá bài. Xác suất để lá bài lấy ra có chất rô, nếu biết rằng lá bài đó mang số chẵn là

A. \(\frac{1}{4}\).

B. \(\frac{3}{8}\).

C. \(\frac{1}{3}\).

D. \(\frac{5}{{13}}\).