Toptailieu biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 11: Vị trí địa lí, điều kiện tự nhiên, dân cư, xã hội và kinh tế khu vực Đông Nam Á hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 11 Bài từ đó học tốt môn Toán 11.

Toán 11 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 7

Bài tập

Giải Toán 11 trang 76 Tập 2

Bài 1 trang 76 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. (uv)' = u'v'.

B. (uv)' = uv'.

C. (uv)' = u'v.

D. (uv)' = u'v + uv'.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: (uv)' = u'v + uv'.

Bài 2 trang 76 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u\text{'}}{v^{\text{'}}}$ với v = v(x) ≠ 0, v' = v'(x) ≠ 0.

B. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}v-u{v}^{\text{'}}}{v}$ với v = v(x) ≠ 0.

C. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}v-u{v}^{\text{'}}}{v^2}$với v = v(x) ≠ 0.

D. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}v-u{v}^{\text{'}}}{v^{\text{'}}}$với v = v(x) ≠ 0, v' = v' (x) ≠ 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}v-u{v}^{\text{'}}}{v^2}$ với v = v(x) ≠ 0.

Bài 3 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = (x² + 2x)(x³ – 3x); b) $y=\frac{1}{-2x+5};$ c) $y=\sqrt{4x+5};$

d) y = sinxcosx; e) y = xe^x; g) y = ln²x.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = (x² + 2x)(x³ – 3x), ta có:

y' = (x² + 2x)'(x³ – 3x) + (x² + 2x)(x³ – 3x)'

= (2x + 2)(x³ – 3x) + (x² + 2x)(3x² – 3)

= 2x⁴ – 6x² + 2x³ – 6x + 3x⁴ – 3x² + 6x³ – 6x

= 5x⁴ + 8x³ – 9x² – 12x.

b) Xét hàm số $y=\frac{1}{-2x+5},$ ta có:

$y^{\text{'}}={\left(\frac{1}{-2x+5}\right)}^{\text{'}}=-\frac{{\left(-2x+5\right)}^{\text{'}}}{{\left(-2x+5\right)}^2}=-\frac{-2}{{\left(-2x+5\right)}^2}=\frac{2}{{\left(-2x+5\right)}^2}.$

c) Xét hàm số $y=\sqrt{4x+5},$ ta có:

$y^{\text{'}}={\left(\sqrt{4x+5}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(4x+5\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}.$

d) Xét hàm số y = sinxcosx

Cách 1.

y' = (sinxcosx)' = (sinx)'.cosx + sinx.(cosx)'

= cosx.cosx + sinx.(–sinx)

= cos²x – sin²x = cos2x.

Cách 2.

Ta có $y=sinxcosx=\frac{1}{2}\sin 2x.$

Suy ra $y^{\text{'}}={\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2}{\left(2x\right)}^{\text{'}}\cdot \cos 2x=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \cos 2x=\cos 2x.$

$y^{\text{'}}=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x={\left(\cos x\right)}^2-{\left(\sin x\right)}^2=\cos 2x$

e) Xét hàm số y = xe^x, ta có:

y' = (xe^x)' = (x)' . e^x + x . (e^x)' = e^x + xe^x.

g) Xét hàm số y = ln²x, ta có:

$y^{\text{'}}={\left(l{n}^{2}x\right)}^{\text{'}}=2\ln x\cdot {\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=2\ln x\cdot \frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}.$

Bài 4 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 3x³ + 5x²; b) $y=\frac{2}{3-x};$ c) y = sin2xcosx;

d) y = e^–2x+3; e) y = ln(x + 1); g) y = ln(e^x + 1).

Lời giải:

a) Xét hàm số y = 2x⁴ – 3x³ + 5x², ta có:

y' = 8x³ – 9x² + 10x;

y'' = 24x² – 18x + 10.

b) Xét hàm số $y=\frac{2}{3-x},$ ta có:

$y^{\text{'}}={\left(\frac{2}{3-x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{2\cdot {\left(3-x\right)}^{\text{'}}}{{\left(3-x\right)}^2}=-\frac{2\cdot \left(-1\right)}{{\left(3-x\right)}^2}=\frac{2}{{\left(3-x\right)}^2};$

$$\begin{gathered} y^{\text{'}\text{'}}={\left[\frac{2}{{\left(3-x\right)}^2}\right]}^{\text{'}}=-\frac{2\cdot {\left[{\left(3-x\right)}^2\right]}^{\text{'}}}{{\left(3-x\right)}^4} \\ =-\frac{2\cdot 2\cdot \left(3-x\right)\cdot {\left(3-x\right)}^{\text{'}}}{{\left(3-x\right)}^4} \\ =\frac{-4\cdot \left(-1\right)}{{\left(3-x\right)}^3}=\frac{4}{{\left(3-x\right)}^3}. \end{gathered}$$

c) Xét hàm số y = sin2xcosx, ta có:

y' = (sin2xcosx)' = (sin2x)'.cosx + sin2x.(cosx)'

= 2cos2x.cosx – sin2x.sinx

$=2\cdot \frac{1}{2}\left(\cos x+\cos 3x\right)-\frac{1}{2}\left(\cos x-\cos 3x\right)$

$=\cos x+\cos 3x-\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\cos 3x$

$=\frac{1}{2}\cos x+\frac{3}{2}\cos 3x.$

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}={\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{3}{2}\cos 3x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2}\left(-\sin x\right)+\frac{3}{2}\cdot 3\cdot \left(-\sin 3x\right)=-\frac{1}{2}\sin x-\frac{9}{2}\sin 3x.$

d) Xét hàm số y = e^{–2x + 3}, ta có:

y' = (e^{–2x + 3})' = (–2x + 3)' . e^{–2x + 3} = –2e^–2x+3;

y'' = (–2e^–2x+3)' = –2.(–2x + 3)'.e^–2x+3 = 4e^–2x+3.

e) Xét hàm số y = ln(x + 1), ta có:

$y^{\text{'}}={\left[ln\left(x+1\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{x+1}=\frac{1}{x+1};$

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}={\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}=-\frac{{\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+1\right)}^2}=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}.$

g) Xét hàm số y = ln(e^x + 1), ta có:

$y^{\text{'}}={\left[ln\left(e^x+1\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left(e^x+1\right)}^{\text{'}}}{e^x+1}=\frac{e^x}{e^x+1};$

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}={\left(\frac{e^x}{e^x+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(e^x\right)}^{\text{'}}\cdot \left(e^x+1\right)-e^x\cdot {\left(e^x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(e^x+1\right)}^2}$

$=\frac{e^x\cdot \left(e^x+1\right)-e^x\cdot e^x}{{\left(e^x+1\right)}^2}=\frac{e^{2x}+e^x-e^{2x}}{{\left(e^x+1\right)}^2}=\frac{e^x}{{\left(e^x+1\right)}^2}.$

Bài 5 trang 76 Toán 11 Tập 2: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 2t + t², trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng m/s. Tìm gia tốc tức thời của chất điểm:

a) Tại thời điểm t = 3 (s);

b) Tại thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s.

Lời giải:

Vận tốc của chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = t² + 2t.

a) Gia tốc tức thời của chất điểm: a(t) = v'(t) = 2t + 2.

Gia tốc tức thời của chất điểm tại t = 3 (s) là:

a(3) = 2 . 3 + 2 = 8 (m/s²).

b) Để vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s thì: t² + 2t = 8

Suy ra t² + 2t – 8 = 0

Do đó t = 2 (thỏa mãn) hoặc t = –4 (không thỏa mãn)

Tại t = 2 thì a(2) = 2 . 2 + 2 = 6 (m/s²).

Vậy tại thời điểm vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s thì gia tốc tức thời là 6 m/s².

Bài 6 trang 76 Toán 11 Tập 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động $x=4\cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{3,}$ trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet.

a) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t (s).

b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

Lời giải:

a) Vận tốc tức thời của con lắc là:

$$\begin{gathered} v\left(t\right)={\left[4\cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)+3\right]}^{\text{'}} \\ =4\cdot {\left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)}^{\text{'}}\cdot \left[-\sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)\right] \\ =-4\pi \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right). \end{gathered}$$

Gia tốc tức thời của con lắc là:

$$\begin{gathered} a\left(t\right)={\left[-4\pi \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}} \\ =-4\pi \cdot {\left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)}^{\text{'}}\cdot \cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right) \\ =-4{\pi }^2\cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right). \end{gathered}$$

b) Để vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 thì

$-4\pi \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)=0$

$\iff \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)=0$

$\iff \pi t-\frac{2\pi }{3}=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff t-\frac{2}{3}=k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff t=k+\frac{2}{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có t > 0 nên $k+\frac{2}{3}>\mathrm{0,}$ tức $k>-\frac{2}{3}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …} hay k ∈ ℕ*.

Vậy tại thời điểm $t=k+\frac{2}{3}\left(k\in \mathbb{N}*\right)$ thì vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: