Bài 7.31 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Với giải Bài 7.31 trang 63 SGK Toán 11 Kết nối tri thức chi tiết trong Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 27: Thể tích giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Bài 7.31 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Bài 7.31 trang 63 Toán 11 Tập 2: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải:

Bài 7.31 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì hình chóp A'.ABC có A'A = A'B = A'C, ABC là tam giác đều nên hình chóp A'.ABC là hình chóp đều.

Gọi F là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC), khi đó F là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó A'F $⊥$ (ABC) hay A'F là đường cao của hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

Giả sử AF $\cap$ CB tại D, suy ra D là trung điểm của BC, AD $⊥$ BC.

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao AD nên AD = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ và S_{ABC = $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$} .

Có AF = $\frac{2}{3}$ AD = $\frac{2}{3}$ . $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Xét tam giác A'FA vuông tại F, có

A'F = $\sqrt{A {A^{'}}^{2} - A F^{2}} = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{3 b^{2} - a^{2}}{3}}$ .

Khi đó $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} \cdot A^{'} F$ $= \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 b^{2} - a^{2}}{3}}$ $= \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} - a^{2}}}{4}$ .