Toán 12 (Cánh diều) Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Mai Hương Ngày: 15-03-2024 Lớp 12

206

Toptailieu biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 12 (Cánh diều) Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 12 Bài 1 từ đó học tốt môn Toán 12.

Toán 12 (Cánh diều) Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Hoạt động 1 trang 5 SGK Toán 12 Tập 1: a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập $K \subset R$ , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

b) Cho hàm số $y = f (x) = x^{2}$ có đồ thị như Hình 2.

- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

- Xét dấu đạo hàm $f^{'} (x) = 2 x$ .

- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $f (x) = x^{2}$ và dấu của đạo hàm $f^{'} (x) = 2 x$ trên mỗi khoảng $(- \infty; 0), (0; + \infty)$ .

- Hoàn thành bảng biến thiên sau:

Lời giải:

a) Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và $f (x)$ là hàm số xác định trên K.

- Hàm số $f (x)$ được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi $x_{1}, x_{2}$ thuộc K và $x_{1} < x_{2}$ thì $f (x_{1}) < f (x_{2})$ .

- Hàm số $f (x)$ được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi $x_{1}, x_{2}$ thuộc K và $x_{1} < x_{2}$ thì $f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K.

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ .

- Đạo hàm $f^{'} (x) = 2 x$ âm khi $x < 0$ và dương khi $x > 0$ .

- Hàm số $y = f (x) = x^{2}$ nghịch biến khi $f^{'} (x) = 2 x$ mang dấu âm và đồng biến khi $f^{'} (x) = 2 x$ mang dấu dương.

- Ta có bàng biến thiên sau:

Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Tập 1: Xét dấu $y^{'}$ rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ .

Lời giải:

Tập xác định $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = 4 x^{2} - 4 x + 1$ .

Xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Vậy hàm số đồng biến trên $R$ .

Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} - 3$ .

Lời giải:

Tập xác định $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} + 4 x$ .

Xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ .

Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 12 Tập 1: a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f (x) = x^{3}$ .

b) Xét dấu của đạo hàm $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ .

c) Phương trình $f^{'} (x) = 0$ có bao nhiêu nghiệm ?

Lời giải:

a) Tập xác định $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2}$ .

Xét $y^{'} = 0 \Rightarrow x = 0$ .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên $R$ .

b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm $y^{'} = 3 x^{2}$ luôn dương với mọi x.

c) Phương trình $f^{'} (x) = 0$ có một nghiệm.

Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Tập 1: Chứng minh rằng hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ nghịch biến trên nửa khoảng $(- \infty; 0]$ và đồng biến trên nửa khoảng $[0; + \infty)$ .

Lời giải:

Tập xác định $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

Xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ nghịch biến trên nửa khoảng $(- \infty; 0]$ và đồng biến trên nửa khoảng $[0; + \infty)$ .

Luyện tập 4 trang 8 SGK Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ .

Lời giải:

Tập xác định $D = R ∖ {- 2}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Nhận xét: $y^{'} > 0$ với mọi $x \in D$ .

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ .

Hoạt động 3 trang 9 SGK Toán 12 Tập 1: Dựa vào đồ thị hàm số $y = f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 3$ ở Hình 3, hãy so sánh:

a) $f (- 2)$ với mỗi giá trị $f (x)$ , ở đó $x \in (- 3; - 1)$ và $x \neq - 2$ .

b) $f (0)$ với mỗi giá trị $f (x)$ , ở đó $x \in (- 1; 1)$ và $x \neq 0$ .

Lời giải:

a) Nhận xét: Ta thấy rằng $f (x) > f (- 2)$ với mọi $x \in (- 3; - 1)$ và $x \neq - 2$ .

b) Tương tự: Ta thấy rằng $f (x) < f (0)$ với mọi $x \in (- 1; 1)$ và $x \neq 0$ .

Hoạt động 4 trang 10 SGK Toán 12 Tập 1: Quan sát bảng biến thiên dưới đây và cho biết:

a) $x_{o}$ có là điểm cực đại của hàm số $f (x)$ hay không.

b) $x_{1}$ có là điểm cực tiểu của hàm số $h (x)$ hay không.

Lời giải:

a) $x_{o}$ có là điểm cực đại của hàm số $f (x)$ .

b) $x_{1}$ có là điểm cực tiểu của hàm số $h (x)$ .

Luyện tập 5 trang 11 SGK Toán 12 Tập 1: Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) $y = x^{4} - 6 x^{2} + 8 x + 1$ .

b) $y = \frac{3 x + 5}{x - 1}$ .

Lời giải:

a) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 12 x + 8$ .

Xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 1 \end{array}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm $x = - 2$ .

b) Tập xác định: $D = R ∖ {1}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{- 8}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Nhận xét $y^{'} < 0 \forall x \in D$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số không có điểm cực trị.

Bài 1 trang 13 SGK Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(1; + \infty)$ .
B. $(- 1; 0)$ .
C. $(- 1; 1)$ .
D. $(0; 1)$ .

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đi lên trong khoảng $(0; 1)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 1) \Rightarrow D$ .

Bài 2 trang 13 SGK Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
a) $2$ .
b) $3$ .
c) $- 4$ .
d) $0$ .

Lời giải:

Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = - 4 \Rightarrow C$

Bài 3 trang 13 SGK Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau:

a) $y = - x^{3} + 2 x^{2} - 3$ b) $y = x^{4} - 2 x^{2} + 5$
c) $y = \frac{3 x + 1}{2 - x}$ d) $y = \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1}$

Lời giải:

a) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} + 4 x$ .

Nhận xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{4}{3} \end{array}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; \frac{4}{3})$ và nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ và $(\frac{4}{3}; + \infty)$ .

b) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x$ .

Nhận xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 0)$ và $(1; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(0; 1)$ .

c) Tập xác định: $D = R ∖ {2}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{5}{{(2 - x)}^{2}}$ .

Nhận xét $y^{'} > 0 \forall x \in D$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$ .

d) Tập xác định: $D = R ∖ {- 1}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{(2 x - 2) (x + 1) - x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Nhận xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 + \sqrt{3} \\ x = - 1 - \sqrt{3} \end{array}$ .

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1 - \sqrt{3})$ và $(- 1 + \sqrt{3}; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- 1 - \sqrt{3}; - 1)$ và $(- 1; - 1 + \sqrt{3})$ .