Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Một số phương trình lượng giác thường gặp (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

I. Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác:

- Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at + b = 0, trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ: 2sin x + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sin x,…

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

- Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at² + bt + c = 0, trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ: 3tan² x 2tan x 1 = 0 là phương trình bậc hai đối với tan x

3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

- Công thức biến đổi biểu thức asin x + bcos x :

    asin x + bcos x =         (1)

    với  (a² + b² ≠ 0)

- Xét phương trình: asin x + bcos x = c        (2)

với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời bằng 0 (a² + b² ≠ 0).

+ Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản.

+ Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1)

II. Phương pháp giải Một số phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác:

- Cách giải:

+ Bước 1: Chuyển vế

+ Bước 2: Chia hai vế của phương trình đã cho cho a

+ Bước 3: Giải phương trình lượng cơ bản.

- Ví dụ: Giải phương trình: 2sin x – √3 = 0

Ta có: 2sin x – √3 = 0 ⇔ 2sin x = √3

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

- Cách giải:

+ Bước 1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)

+ Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này

+ Bước 3: Ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ: Giải phương trình:

    3cos²x – 2cos x – 1 = 0

Đặt cos x = t với điều kiện –1 ≤ t ≤ 1 (*)

Khi đó phương trình đã cho có dạng: 3t² – 2t – 1 = 0 (**)

Giải phương trình (**) ta được hai nghiệm t₁ = 1 và t₂ = -1/3 thoả mãn điều kiện (*)

Vậy ta có:

TH1: cos x = 1 ⇔ x = k2π    (k ∈ Z).

TH2: cos x = -1/3 ⇔ x = ±arccos (-1/3) + k2π    (k ∈ Z)

III. Bài tập Một số phương trình lượng giác thường gặp

Câu 1: Nghiệm của phương trình 2cos²x + 3sinx – 3 = 0 thuộc (0; π/2) là:

A. x = π/3     B. x = π/4

C. x = π/6     D. x = 5 π/6

Đáp án: C

Câu 2: Tập nghiệm của phương trình: 3sin²x - 2√3sinxcosx - 3cos²x = 0 là:

Đáp án: A

Câu 3: Tập nghiệm của phương trình: sinx + √3cosx = - 2 là:

Đáp án: B

Câu 4: Tổng các nghiệm của phương trình:

sin²(2x - π/4) - 3cos(3 π/4 -2x)+ 2 = 0 (1) trong khoảng (0;2π) là:

A. 7π/8     B. 3π/8

C. π     D. 7π/4

Đáp án: D

Câu 5: Phương trình (2 – a)sinx + (1+ 2a)cosx = 3a – 1 có nghiệm khi:

Đáp án: C

Câu 6: Nghiệm của phương trình sinx + cosx = 1 là:

Đáp án: C

Câu 7: Phương trình √3sin3x + cos3x = - 1 tương đương với phương trình nào sau đây?

Câu 8: Điều kiện để phương trình 3sinx + mcosx = 5 vô nghiệm là:

B. m > 4

C. m < - 4         D. -4 < m < 4

Câu 9: Phương trình 3sin²x + msin2x – 4cos²x = 0 có nghiệm khi:

A. m = 4         B. m ≥ 4

C. m ≤ 4         D. m ∈R

Đáp án: D

Câu 10: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin²x – 5sinx + 3 = 0 là:

A. x = π/6         B. x = π/2

C. x = 5π/2         D. x = 5π/6

Đáp án: B

Câu 11: Phương trình cos²2x + cos2x - 3/4 = 0 có nghiệm khi:

Đáp án: C

Câu 12: Số nghiệm của phương trình 2sin²x – 5sinx + 3 = 0 thuộc [0; 2π] là:

A. 1         B. 2

C. 3         D. 4

Đáp án: A

Câu 13: Số nghiệm của phương trình cos2x + sin²x + 2cosx + 1= 0 thuộc [0; 4π] là:

A. 1         B. 2

C. 4         D. 6

Đáp án: B

Câu 14: Nghiệm của phương trình 2sin²x + 5sinx + 3 = 0 là:

Câu 15: Nghiệm của phương trình sin²x – sinxcosx = 1 là:

Đáp án: A

Câu 16: Nghiệm của phương trình cos²x - √3sin2x = 1 + sin²x là:

Đáp án: D

Câu 17: Phương trình cos2x + 2cosx – 11 = 0 có tập nghiệm là:

Đáp án: D

Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình cos2x – sin2x = 1 trong khoảng (0; 2π) là:

A. 7 π/4       B. 14π/4

C. 15π/8       D. 13π/4

Đáp án: B

Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin²x + 2sinxcosx + 3cos²x = 3 thuộc khoảng (0; 2π) là:

A. 1       B. 2

C. 3       D. 4

Đáp án: C

Câu 20: Nghiệm của phương trình 2sinx(cosx - 1) = √3cos2x là:

Câu 21: Nghiệm của phương trình sin³x + 3cos³x – 3sinxcos²x – sin²xcosx = 0 là:

Câu 22: Nghiệm của phương trình - sin³x + cos³x = sinx –cosx là:

A. x = π/4+kπ, k ∈ Z       B. x = ± π/4+kπ, k ∈ Z

C. x = π/4+k2π, k ∈ Z       D. x = - π/4+kπ, k ∈ Z

Đáp án: A

Câu 23: Nghiệm của phương trình 2(sinx + cosx) + sinxcosx = 2 là: