Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Hàm số lượng giác (Lý thuyết + 50 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Hàm số lượng giác (Lý thuyết + 10 bài tập có lời giải)

I. Lý thuyết Hàm số lượng giác

1. Hàm số sin và hàm số cosin

a) Hàm số sin

- Định nghĩa:

    Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực sin x

    sin: R → R

    x → y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là: y = sinx.

- Tập xác định của hàm số sin là R.

- Là hàm số lẻ.

b) Hàm số côsin

- Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực cos x

cos: R → R

x → y = cos x

được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là: y = cos x.

- Tập xác định của hàm số cosin là R.

- Là hàm số chẵn.

2. Hàm số tang và hàm số cotang

a) Hàm số tang

- Định nghĩa: Hàm số tang là hàm số được xác định bới công thức:  (cos x ≠ 0)

- Kí hiệu là y = tan x

- Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R\{π/2 + kπ, k ∈ Z}.

- Là hàm số lẻ.

b) Hàm số cotang

- Định nghĩa:

    Hàm số cotang là hàm số được xác định bới công thức:  (sin x ≠ 0)

- Kí hiệu là y = cot x

- Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R\{kπ, k ∈ Z}.

- Là hàm số lẻ.

3. Tính tuần hoàn của hàm lượng giác

- Các hàm số y = sin x và y = cos x là những hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Các hàm số y = tan x và y = cot x là những hàm số tuần hoàn với chu kì π.

4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác

a) Hàm số y = sin x

- Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [0; π]:

    Hàm số y = sin x đồng biến trên [0; π/2] và nghịch biến trên [π/2; π]

- Lưu ý: Vì y = sin x là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [–π; 0]

- Đồ thị hàm số y = sin x trên R: Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [–π; π] theo các vecto v→ = (2π; 0) và –v→ = (–2π; 0)

- Tập giá trị của hàm số y = sin x là [–1; 1]

b) Hàm số y = cos x

- Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vectơ u→ = (-π/2; 0), ta được đồ thị của hàm số y = cos x.

- Hàm số y = cos x đồng biến trên [–π; 0] và nghịch biến trên [0; π]

- Tập giá trị của hàm số y = cos x là [–1; 1]

c) Hàm số y = tan x

- Hàm số y = tan x đồng biến trên [0; π/2 )

- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O

=> Lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tan x trên [0; π/2 ), ta được đồ thị hàm số y = tan x trên (–π/2; 0]

- Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (–π/2 ; π/2) songsong với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tan x trên D.

Tập giá trị của hàm số y = tan x là khoảng (–∞; +∞)

d) Hàm số y = cot x

- Hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng (0; π)

- Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (0; π) song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = cot x trên D.

- Tập giá trị của hàm số y = cot x là khoảng (–∞; +∞)

II. Bài tập Hàm số lượng giác

Bài 1: Hàm số y= 3tan( 2x - π/6) có tập xác định là:

Đáp án: D

ĐKXĐ: cos(2x - π/6) ≠ 0

Bài 2: Cho hàm số y = tanx – cotx. Khoảng mà hàm số xác định là:

Đáp án: D

Vậy trong đoạn (0, 2π) thì x ≠ π/2; π; 3π/2. Chọn D

Bài 3: Hãy chỉ ra hàm số chẵn trong các hàm số sau:

A.y = sinx        

B.y= sinx + cotx

C.y= sin(π/2-x)        

D.y= sinx.cos²x

Đáp án: C

Ta có các hàm số sinx, cotx là các hàm số lẻ, sin(π/2 - x) = cosx mà cosx là hàm chẵn nên chọn C

Bài 4: Hãy chỉ ra hàm số lẻ trong các hàm số sau:

A.y= cos²x.cos(π/2-x)        

B.y= sin²xcosx

C.y= sinx – cosx        

D.y= xsinx

Đáp án: A

Bằng các dùng định nghĩa hàm số lẻ để kiểm tra từng đáp án. Ta có y= cos²x.cos(π/2 - x) = cos²x.sinx là hàm lẻ. chọn A

Bài 5: Hàm số nào sau đây không có tính chẵn, lẻ?

A.y= cos²xcos(π/2-x)        

B.y= sin²x.cosx

C.y= sinx – cosx        

D.y= x.sinx

Đáp án: C

Kiểm tra từng đáp án ta có câu C là đáp án đúng do sin(-x) – cos(-x) = -sinx – cosx ≠ - (sinx – cosx). Chọn C

Bài 6: Hàm số y = tanx xác định trong tập nào sau đây?

Đáp án: A

ĐKXĐ cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z. Đáp án A.

Bài 7: Cho hàm số y= 2sin(x/2), hãy chỉ ra mệnh đề sai trong bốn mệnh đề sau:

A. Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

B. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất bằng 2.

C. Hàm số đã cho có chu kì 4π.

D. Trong ba mệnh đề trên có ít nhất một mệnh đề sai.

Đáp án: A

Ta có 2sin(-x/2) = -2sin (x/2). Vậy hàm đã cho là hàm lẻ, câu A đúng.

|sin (x/2)| ≤ 1 nên y ≤ 2. Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2, câu B đúng.

Hàm số y = 2sin(x/2) là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π/0.5 = 4π. Vậy câu C đúng. Từ đó đáp án sai là D.

Bài 8: Hãy chỉ ra hàm số tuần hoàn trong các hàm số sau:

Đáp án: B

Hàm số y = sinu(x) là hàm tuần hoàn. Vậy y = sin3x là hàm tuần hoàn, chọn B

Bài 9: Hàm số sau có tập xác định là:

A.R\{kπ,k ∈ Z}        B.R

C.R\{k2π,k ∈ Z}        D.R\{π/2+k2π, k ∈ Z}

Đáp án: C

ĐKXĐ: cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π, k ∈ Z. Chọn C

Bài 10: Chu kì của hàm số y = tan (x/2) là:

A.2π        

B.4π        

C.π        

D.π/2

Đáp án: A

Chu kì của hàm số đã cho là: π/0.5 = 2π. Chọn A