Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về hàm số lượng giác lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Lời giải:

$sinx=-sin(-x)$

$cosx=cos(-x)$

b) $y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}$;

c) $y=tan(x-\frac{\pi }{3})$;

d) $y=cot(x+\frac{\pi }{6})$.

Phương pháp giải:

a) Hàm số có dạng $y=\frac{A}{B}$ xác định khi và chỉ khi $B\ne 0$.

b) Hàm số có dạng $y=\sqrt{\frac{A}{B}}$ xác định khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}\frac{A}{B}\ge 0\\ B\ne 0\end{array}$.

c) Hàm số $y=\tan x$ xác định khi và chỉ khi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$.

d) Hàm số $y=\cot x$ xác định khi và chỉ khi $x\ne k\pi \left(k\in Z\right)$.

Lời giải:

a)

Hàm số $y=\frac{1+cosx}{sinx}$ xác định khi $sinx\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

b)

Hàm số $y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}$ xác định khi: $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0$

Vì $1\ge \cos x\ge -1\Rightarrow 1+\cos x\ge 0$ và $1-\cos x\ge 0$

Do đó $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0$ với mọi $x$ thỏa mãn $1-\cos x\ne 0$

$\iff \cos x\ne 1$ $\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

c)

Hàm số xác định khi $cos\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ne 0$ $\iff x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi (k\in Z)$

Vậy tập xác định của hàm số $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{5\pi }{6}+k\pi ,k\in Z\right\}$

d)

Hàm số xác định khi $sin\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\ne 0$

$\iff x+\frac{\pi }{6}\ne k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z$

Vậy tập xác định của hàm số là  $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z\right\}$

Phương pháp giải:

Phương pháp vẽ đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$.

Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của hàm số $y=f\left(x\right)$ qua trục Ox.

Bước 3: Xóa đi phần đồ thị phía dưới trục hoành của hàm số $y=f\left(x\right)$.

Lời giải:

Ta có

$\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\right|=\{\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x},\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\ge 0\hfill \\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x},\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\le 0\hfill \end{array}$

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số $y=\sin x$.

Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của hàm số $y=\sin x$ qua trục Ox.

Bước 3: Xóa đi phần đồ thị phía dưới trục hoành của hàm số $y=\sin x$.

Khi đó ta được đồ thị hàm số $y=|\sin x|$ như sau:

Phương pháp giải:

Dựa vào tính tuần hoàn và chu kì của hàm số $y=\sin x$ : Hàm $y=\sin x$ là hàm tuần hoàn với chu kì $2\mathrm{\pi }$.

Lời giải:

Hàm $y=\sin x$ là hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$ nên ta có: 

$\sin 2\left(x+k\pi \right)=\sin \left(2x+k2\pi \right)$$=\sin 2x\mathrm{\forall }k\in Z$

Ta có:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sin 2x\\ \Rightarrow f\left(x+\pi \right)=\sin 2\left(x+\pi \right)\\ =\sin \left(2x+k2\pi \right)=\sin 2x=f\left(x\right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số $y=sin2x$ tuần là hàm tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Xét hàm số $y=\sin 2x$ trên đoạn $\left[0;\pi \right]$.

Ta lấy các điểm đặc biệt như sau:

Từ đó ta có đồ thị hàm số $y=\sin 2x$ trên đoạn $\left[0;\pi \right]$ là:

Do hàm số $y=\sin 2x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$ nên ta có đồ thị là:

Phương pháp giải:

B1: Vẽ đường thẳng $d:y={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ( song song và ở trên trục hoành, cách trục hoành một khoảng là 1/2)

B2: xác định các điểm cắt của d và đồ thị, dự đoán giá trị của x.

B3. Dựa vào tính tuần hoàn để KL nghiệm.

Lời giải:

Nghiệm của phương trình $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$  là các hoành độ giao điểm của đường thẳng $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$ và đồ thị $y=\cos x$.

Trong đó đường thẳng $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$ là đường thẳng song song với trục hoành, đi qua điểm $A(0,\frac{1}{2})$, còn hàm số $y=cosx$ có đồ thị như hình dưới

Cách 1:

Ta xác định các giao điểm, lấy hoành độ (tức là gióng xuống trục Ox)

Suy ra $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$.

Cách 2: Xét trong đoạn $[-\pi ;\pi ]$ và sử dụng tính tuần hoàn để suy ra tất cả các giá trị của $x$

Dễ thấy: trong đoạn này chỉ có giao điểm ứng với $x=\pm \frac{\pi }{3}$ thỏa mãn  $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Suy ra các giá trị của $x$ là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$.

Phương pháp giải:

B1: Tìm các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\sin x$ và nằm phía trên trục hoành trong khoảng $[-\pi ;\pi ]$

B2: dựa vào chu kì tuần hoàn của hàm số $y=\sin x$ suy ra tất cả các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số và nằm phía trên trục hoành.

Lời giải:

Nhìn đồ thị $y=\sin x$ ta thấy trong đoạn $[-\pi ;\pi ]$ các điểm nằm phía trên trục hoành của đồ thị $y=\sin x$ là các điểm có hoành độ thuộc khoảng $(0;\pi )$.

Hàm số $y=\sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Từ đó, tất cả các khoảng giá trị của $x$ để hàm số đó nhận giá trị dương là $(0+k2\pi ;\pi +k2\pi )$ hay $(k2\pi ;\pi +k2\pi )$ với $k\in Z$.

Lời giải:

Xét trên đoạn $[0;2\pi ]$, dựa vào đồ thị hàm số $y=cosx$, để làm hàm số nhận giá trị âm thì: $x\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$

Do hàm số $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$ nên tất cả các khoảng mà đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành là $x\in \left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right),k\in Z$.