Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về phương trình lượng giác cơ bản lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Lời giải:

Ta có: $2\sin x–1=0\Rightarrow sinx=\frac{1}{2}$

Do $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{\pi }{6}$ là một giá trị của x thỏa mãn $2\sin x–1=0$.

Lời giải:

Không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2.

a) $\sin x={\displaystyle \frac{1}{3}}$;

b) $\begin{array}{r}\sin (x+{45}^0)=\frac{-\sqrt{2}}{2}\end{array}$.

Lời giải:

a)

$\sin x={\displaystyle \frac{1}{3}}\iff [\begin{array}{l}x=\arcsin {\displaystyle \frac{1}{3}}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin {\displaystyle \frac{1}{3}}+k2\pi \end{array}(k\in Z)$

Vậy phương trình $sinx=\frac{1}{3}$ có các nghiệm là:

$[\begin{array}{l}x=\arcsin {\displaystyle \frac{1}{3}}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin {\displaystyle \frac{1}{3}}+k2\pi \end{array}(k\in Z)$

b)

$\begin{array}{l}\sin \left(x+{45}^0\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \iff \sin \left(x+{45}^0\right)=\sin \left(-{45}^0\right)\\ \iff [\begin{array}{l}x+{45}^0=-{45}^0+k{360}^0\\ x+{45}^0={180}^0-\left(-{45}^0\right)+k{360}^0\end{array}(k\in Z)\\ \iff [\begin{array}{l}x=-{90}^0+k{360}^0\\ x={180}^0+k{360}^0\end{array}(k\in Z)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $[\begin{array}{l}x=-{90}^0+k{360}^0\\ x={180}^0+k{360}^0\end{array}(k\in Z)$

a) cotx = 1;

b) cotx = -1;

c) cotx = 0.

Lời giải:

a)

cot⁡ x = 1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ $\frac{\pi }{4}$ ⇔ x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ Z

b)

cot⁡ x = -1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ $(-\frac{\pi }{4})$ ⇔ x = $-\frac{\pi }{4}$ + kπ,k ∈ Z

c)

cot⁡ x = 0 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ $\frac{\pi }{2}$⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z

Bài tập trang 28, 29 SGK Toán 11

a)$\begin{array}{l}\sin \left(x+2\right)=\frac{1}{3}\end{array}$;

b)$\begin{array}{l}\sin 3x=1\end{array}$;

c) $\begin{array}{l}\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)=0\end{array}$;

d)$\begin{array}{l}\sin \left(2x+{20}^0\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$.

Phương pháp giải:

a)

Ta coi biểu thức sau sin như một ẩn lớn, giải tương tự như pt lượng giác cơ bản.

$\sin x=\sin \alpha \iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

b)

Ta coi biểu thức sau sin như một ẩn lớn, giải tương tự như pt lượng giác cơ bản.

c)

Ta coi biểu thức sau sin như một ẩn lớn, giải tương tự như pt lượng giác cơ bản.

d)

Ta coi biểu thức sau sin như một ẩn lớn, giải tương tự như pt lượng giác cơ bản.

Lời giải:

$\begin{array}{l}a)\sin \left(x+2\right)=\frac{1}{3}\\ \iff [\begin{array}{l}x+2=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ x+2=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\arcsin \frac{1}{3}-2+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}-2+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=arcsin\frac{1}{3}-2+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ hoặc $x=\pi -arcsin\frac{1}{3}-2+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

b)

$\begin{array}{l}\sin 3x=1\\ \iff \sin 3x=\sin \frac{\pi }{2}\\ \iff 3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}c)\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)=0\\ \Rightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi \\ \iff \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k.\frac{3\pi }{2},k\in Z$

d)

$\begin{array}{l}\sin \left(2x+{20}^0\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \iff \sin \left(2x+{20}^0\right)=\sin \left(-{60}^0\right)\\ \iff [\begin{array}{l}2x+{20}^0=-{60}^0+k{360}^0\\ 2x+{20}^0={180}^0+{60}^0+k{360}^0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}2x=-{80}^0+k{360}^0\\ 2x={220}^0+k{360}^0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=-{40}^0+k{180}^0\\ x={110}^0+k{180}^0\end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-{40}^0+k{180}^0,(k\in \mathbb{Z})$ hoặc $x={110}^0+k{180}^0,(k\in \mathbb{Z})$

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sin 3x=\sin x$.

Lời giải:

$x$ thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi x là nghiệm của phương trình:             

$\begin{array}{l}\sin 3x=\sin x\\ \iff [\begin{array}{l}3x=x+k2\pi \\ 3x=\pi -x+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff [\begin{array}{l}2x=k2\pi \\ 4x=\pi +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff [\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy $[\begin{array}{c}x=k\pi \hfill \\ x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\hfill \end{array}(k\in \mathbb{Z})$ là nghiệm.

a) $\begin{array}{l}\cos \left(x-1\right)=\frac{2}{3}\end{array}$;

b) $\begin{array}{l}\cos 3x=\cos {12}^0\end{array}$;

c) $\begin{array}{l}\cos \left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}\end{array}$;

d) $\begin{array}{l}{\cos }^{2}2x=\frac{1}{4}\end{array}$.

Phương pháp giải:

a)

$\cos x=\cos \alpha \iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

b)

$\cos x=\cos a\iff [\begin{array}{l}x=a+k{360}^0\\ x=-a+k{360}^0\end{array}\left(k\in Z\right)$

c)

$\cos x=\cos \alpha \iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

d)

$\cos x=\cos \alpha \iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\cos \left(x-1\right)=\frac{2}{3}\\ \iff [\begin{array}{l}x-1=\arccos \frac{2}{3}+k2\pi \\ x-1=-\arccos \frac{2}{3}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})\\ \iff [\begin{array}{l}x=\arccos \frac{2}{3}+1+k2\pi \\ x=-\arccos \frac{2}{3}+1+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}\cos 3x=\cos {12}^0\\ \iff [\begin{array}{l}3x={12}^0+k{360}^0\\ 3x=-{12}^0+k{360}^0\end{array}(k\in \mathbb{Z})\\ \iff [\begin{array}{l}x=4^0+k{120}^0\\ x=-4^0+k{120}^0\end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}\\ \iff \cos \left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}\\ \iff [\begin{array}{l}\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})\\ \iff [\begin{array}{l}\frac{3x}{2}=\frac{11\pi }{12}+k2\pi \\ \frac{3x}{2}=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{11\pi }{18}+\frac{4k\pi }{3}\\ x=\frac{-5\pi }{18}+\frac{4k\pi }{3}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}{\cos }^{2}2x=\frac{1}{4}\\ \iff [\begin{array}{l}\cos 2x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}\\ \cos 2x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})\\ \iff [\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Lời giải:

Điều kiện: $\sin 2x\ne 1\iff 2x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi$ $\iff x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

${\displaystyle \frac{2\cos 2x}{1-\sin 2x}=0}$

$\Rightarrow 2\cos 2x=0$ 

$\iff \cos 2x=0$

$\iff 2x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi$

$\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}}\left(k\in Z\right)$

Kiểm tra ĐK:

${\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}}\ne {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+l\pi$

$\iff {\displaystyle \frac{k\pi }{2}}\ne l\pi$

$\iff {\displaystyle \frac{k}{2}}\ne l$

$\iff k\ne 2l$

Hay $k$ không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên $k=2m+1$.

Vậy $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\left(2m+1\right)\pi }{2}}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+m\pi$.

Vậy phương trình có nghiệm $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+m\pi ,m\in Z$.

Chú ý: Nghiệm $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+m\pi$ cũng có thể viết thành $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+n\pi$ bằng cách đặt $m=n-1$.

Các em cũng có thể vẽ đường tròn đơn vị để loại nghiệm như sau:

Các điểm biểu diễn $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$ là $M_1,M_2$ nhưng điều kiện là $x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$ nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}}$ là $M_1,M_2,M_3,M_4$ nhưng do không lấy hai điểm $M_1,M_2$ nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn $M_3,M_4$.

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua $O$ và $\widehat{AO{M}_4}=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ nên nghiệm của phương trình là $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

a) $\begin{array}{l}\tan \left(x-{15}^0\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$;

b)$\begin{array}{l}\cot \left(3x-1\right)=-\sqrt{3}\end{array}$;

c) $\begin{array}{l}\cos 2x\tan x=0\end{array}$;

d) $\begin{array}{l}\sin 3x\cot x=0\end{array}$.

Phương pháp giải:

a)

Coi biểu thức sau hàm tan như một ẩn phụ khác, giải tương tự như pt LG cơ bản

$\begin{array}{l}\tan x=\tan a\iff x=a+k{180}^0\\ \left(k\in Z\right)\end{array}$

b)

Coi biểu thức sau hàm cot như một ẩn phụ lớn, giải tương tự như pt LG cơ bản

$\begin{array}{l}\cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi \left(k\in Z\right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}AB=0\iff [\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}\end{array}$

Lưu ý điều kiện xác định của các hàm tan và cot, hàm phân thức.

d)

$\begin{array}{l}AB=0\iff [\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}\end{array}$

Lưu ý điều kiện xác định của các hàm tan và cot, hàm phân thức.

Lời giải:

a)

Điều kiện $x-{15}^0\ne {90}^0+k{180}^0$ $\iff x\ne {105}^0+k{.180}^0.$

$tan(x-{15}^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\iff tan(x-{15}^0)=tan{30}^0$

$\iff x-{15}^0={30}^0+k{180}^0,(k\in \mathbb{Z}).$

$\iff x={45}^0+k{180}^0,(k\in \mathbb{Z}).$ (tm)

Vậy nghiệm của phương trình là: $x={45}^0+k{180}^0,(k\in \mathbb{Z}).$

b)

Điều kiện $3x-1\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ hay $x\ne \frac{1+k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}\cot \left(3x-1\right)=-\sqrt{3}\\ \iff \cot \left(3x-1\right)=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)\\ \iff 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ \iff 3x=1-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ \iff x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in Z\right)\left(tm\right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$

c)

Điều kiện $cosx\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}\cos 2x\tan x=0\\ \iff [\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ \tan x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\left(tm\right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ hoặc $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$

d)

ĐK: $sinx\ne 0\iff x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}\sin 3x\cot x=0\\ \iff [\begin{array}{l}\sin 3x=0\\ \cot x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}3x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}\left(k,n\in Z\right)\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta thấy khi $k=3m,m\in \mathbb{Z}$ thì $x=\frac{k\pi }{3}=\frac{3m\pi }{3}=m\pi \left(m\in Z\right)$ $\Rightarrow \sin x=0$ không thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\frac{k\pi }{3}$ $\left(k\ne 3m\left(m\in Z\right)\right)$ và $x=\frac{\pi }{2}+n\pi (n\in Z)$.

Chú ý:

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác để loại nghiệm:

Các nghiệm $[\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{k\pi }{3}}\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm từ A1 đến A8 trên đường tròn lượng giác như hình dưới.

Với điều kiện x ≠ k.π nên các điểm A1 và A4 bị loại.

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A2; A3; A5; A6; A7; A8 và ta viết được dưới kết quả $[\begin{array}{l}x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k\pi \\ x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$.

Phương pháp giải:

Bài toán tương đương giải phương trình $\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\tan 2x$.

B1: Coi $X=\frac{\pi }{4}-xvà\alpha =2x$

B2: Giải tương tự như PT 

$\tan X=\tan \alpha$ $\iff X=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Từ đó suy ra nghiệm x và KL.

Lời giải:

$\begin{array}{l}\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\tan 2x\\ DK:\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{4}-x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi \\ 2x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x\ne -\frac{\pi }{4}-m\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}\end{array}\\ \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}\left(m\in Z\right)\end{array}$

Khi đó phương trình tương đương với:

$\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi \\ \iff 3x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có: 

$\begin{array}{l}\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}\\ \iff \frac{k\pi }{3}\ne \frac{m\pi }{2}+\frac{\pi }{6}\\ \iff 2k\pi \ne 3m\pi +\pi \\ \iff 2k\ne 3m+1\\ \iff k\ne \frac{3m+1}{2}\left(k,m\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\left(k\ne \frac{3m+1}{2}\left(k,m\in Z\right)\right)$.

a) $\begin{array}{l}\sin 3x-\cos 5x=0\end{array}$;

b) $\begin{array}{l}\tan 3x\tan x=1\end{array}$.

Phương pháp giải:

a)

B1: chuyển vế, đưa PT về dạng $sin\alpha =cos\beta$.

B2: Do $\sin x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ PT trở về dạng $\cos X=\cos Y$ với $X=\left(\frac{\pi }{2}-x\right);Y=\beta$

$\iff [\begin{array}{l}X=Y+k2\pi \\ X=-Y+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Từ đó suy ra nghiệm x và KL.

b)

B1: Tìm ĐKXĐ.

B2: vì $\frac{1}{\tan x}=\cot x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

phương trình trở về dạng $\tan \alpha =\tan \beta$ với $\alpha =3x;\beta =\frac{\pi }{2}-x$

$\iff \alpha =\beta +k\pi \left(k\in Z\right)$

B3: Suy ra nghiệm x rồi KL.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\sin 3x-\cos 5x=0\\ \iff \cos 5x=\sin 3x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)\\ \iff [\begin{array}{l}5x=\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi \\ 5x=-\frac{\pi }{2}+3x+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}8x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}(k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Cách khác:

sin3x - cos5x = 0

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}(k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

b)

Điều kiện:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\cos 3x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\Rightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in Z\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\tan 3x\tan x=1\\ \iff \tan 3x=\frac{1}{\tan x}\\ \iff \tan 3x=\cot x\\ \iff \tan 3x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\\ \iff 3x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi \\ \iff 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right)\left(tm\right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},$$k\in \mathbb{Z}$.

Chú ý:

Ở bài này ta thấy ngay họ nghiệm $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$ không có nghiệm nào vi phạm điều kiện xác định nên ta lấy cả họ nghiệm và không phải loại bỏ điểm nào.

Lý thuyết Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản