a) $2co{s}^{2}x–3cosx+1=0$

b) $25si{n}^{2}x+15sin2x+9co{s}^{2}x=25$

c) $2sinx+cosx=1$

d) $sinx+1,5cotx=0$

Phương pháp giải:

a) Đặt $t=\cos x$, đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

b) Đưa phương trình về dạng phương trình tích.

c) Phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$, chia cả 2 vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$

d) Biến đổi, quy đồng, đưa phương trình về dạng phương trình bậc cao đối với 1 hàm số lượng giác.

Lời giải:

a) $2co{s}^{2}x–3cosx+1=0$

Đặt $t=cosx$ với điều kiện $-1\le x\le 1$, khi đó ta có:

$2t^2-3t+1=0\iff [\begin{array}{c}t=1\hfill \\ t=\frac{1}{2}\hfill \end{array}$

Với $t=1$, ta có: $cosx=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Với $t=\frac{1}{2}$ ta có: $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=k2\pi ,x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b) $25si{n}^{2}x+15sin2x+9co{s}^{2}x=25$

Ta có:

$25si{n}^{2}x+15sin2x+9co{s}^{2}x=25$

$\iff 25(1-co{s}^{2}x)+15.2sinxcosx+9co{s}^{2}x=25$

$\iff 25-25{\cos }^{2}x+30\sin x\cos x+9{\cos }^{2}x-25=0$

$\iff -25co{s}^{2}x+30sinxcosx+9co{s}^{2}x=0$

$\iff -16co{s}^{2}x+30sinxcosx=0$

$\begin{array}{rl}& \iff -2\cos x(8\cos x-15\sin x)=0\\ & \iff [\begin{array}{c}\cos x=0\hfill \\ 8\cos x-15\sin x=0\hfill \end{array}\\ & \iff [\begin{array}{l}\cos x=0\\ 8\cos x=15\sin x\end{array}\\ & \iff [\begin{array}{l}\cos x=0\\ \frac{8}{15}=\frac{\sin x}{\cos x}\end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}\cos x=0\hfill \\ \tan x=\frac{8}{15}\hfill \end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \hfill \\ x=\arctan \frac{8}{15}+k\pi \hfill \end{array},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\arctan \frac{8}{15}+k\pi \left(k\in Z\right)$

c) $2sinx+cosx=1$

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{5}$ , ta được:

$\frac{2}{\sqrt{5}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{5}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}$    (*) 

Vì ${\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^2=1$ nên tồn tại một góc $\alpha$ thỏa mãn: 

$\{\begin{array}{c}\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}\hfill \\ \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}\hfill \end{array}$

Khi đó, phương trình (*) trở thành:

$\begin{array}{l}\sin x\sin \alpha +\cos x\cos \alpha =\cos \alpha \\ \iff \cos \left(x-\alpha \right)=\cos \alpha \\ \iff [\begin{array}{l}x-\alpha =\alpha +k2\pi \\ x-\alpha =-\alpha +k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=2\alpha +k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=2\alpha +k2\pi ;x=k2\pi$    $(k\in Z)$.

d) $sinx+1,5cotx=0$

Điều kiện $sinx\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Phương trình đã cho biến đổi:

$\begin{array}{rl}& \sin x+\frac{3}{2}.\frac{\cos x}{\sin x}=0\\ & \iff 2{\sin }^{2}x+3\cos x=0\\ & \iff 2(1-{\cos }^{2}x)+3\cos x=0\\ & \iff 2{\cos }^{2}x-3\cos x-2=0(\ast )\end{array}$

Đặt $t=cosx$ với điều kiện $-1\le t\le 1$

Khi đó, phương trình (*) trở thành:

$2t^2-3t-2=0\iff [\begin{array}{c}t=2\text{(loại)}\\ t=\frac{-1}{2}(tm)\end{array}$

Với $t=-\frac{1}{2}\iff \cos x=-\frac{1}{2}$ $\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

(A). $2$                   (B). $4$

(C). $5$                   (D). $6$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng phương trình cơ bản của hàm tan.

Lời giải:

Ta có: $\sin x=\cos x\iff \tan x=1$ $\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Vì $x\in [-\pi ,\pi ]$ nên:

$-\pi \le {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi \le \pi \iff -1\le {\displaystyle \frac{1}{4}}+k\le 1$

$\iff -{\displaystyle \frac{5}{4}}\le k\le {\displaystyle \frac{3}{4}}$

Ta có: $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{-1;0\right\}$.

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc $[-\pi ,\pi ]$ là $x=-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}};x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

Chọn đáp án A.

A. $2$                  B. $3$

C. $4$                  D. $5$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức $\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$, quy đồng, bỏ mẫu.

+) Sử dụng công thức nhân đôi: $\cos 4x=1-2{\sin }^{2}2x$

+) Giải phương trình bậc hai của $\sin 2x$.

+) Giải phương trình lượng giác cơ bản của hàm sin.

Lời giải:

Điều kiện: $cos2x\ne 0\iff sin2x\ne \pm 1$

Ta có: 

$\frac{\cos 4x}{\cos 2x}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\Rightarrow \cos 4x=\sin 2x$

$\iff 1-2si{n}^{2}2x=\sin 2x$

$\iff 2{\sin }^{2}2x+\sin 2x-1=0$

$\iff [\begin{array}{c}\sin 2x=-1\text{(loại)}\\ \sin 2x=\frac{1}{2}\hfill \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sin 2x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}\\ & \iff [\begin{array}{c}2x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \hfill \\ 2x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \hfill \\ x=\frac{5\pi }{12}+l\pi \hfill \end{array}k,l\in \mathbb{Z}\end{array}$

Ta lại có:

$x\in (0,\frac{\pi }{2})$

+) $x=\frac{\pi }{12}+k\pi :0<\frac{\pi }{12}+k\pi <\frac{\pi }{2}$

$\iff 0<\frac{1}{12}+k<\frac{1}{2}$

$\iff \frac{-1}{12}<k<\frac{5}{12}(k\in \mathbb{Z})\Rightarrow k=0$

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{12}$

+) $x=\frac{5\pi }{12}+l\pi :0<\frac{5\pi }{12}+l\pi <\frac{\pi }{2}$

$\iff 0<\frac{5}{12}+l<\frac{1}{2}$

$\iff \frac{-5}{12}<l<\frac{1}{12}(l\in \mathbb{Z})\Rightarrow l=0$

$\Rightarrow x=\frac{5\pi }{12}$

Vậy phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc khoảng $(0,\frac{\pi }{2})$ 

Chọn đáp án A.

A. $\frac{\pi }{6}$                B. $\frac{2\pi }{3}$

C. $\frac{\pi }{4}$                D. $\frac{\pi }{3}$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng tích, sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

Sau khi tìm được các họ nghiệm, đối với mỗi họ nghiệm ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án đúng.

Lời giải:

Ta có:

$sinx+sin2x=cosx+2co{s}^{2}x$

$\iff sinx+2sinxcosx=cosx+2co{s}^{2}x$

$\iff sinx(1+2cosx)=cos(1+2cosx)$

$\iff (1+2cosx)(sinx–cosx)=0$ 

$\iff [\begin{array}{c}1+2\cos x=0\hfill \\ \sin x-\cos x=0\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}\cos x=-\frac{1}{2}\hfill \\ \tan x=1\hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \hfill \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \hfill \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm : $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}$

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{4\pi }{3}$

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}$

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là $x=\frac{\pi }{4}$

Chọn đáp án C.

Cách khác:

Thay các nghiệm ở mỗi đáp án vào phương trình ta thấy chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4},x=\frac{2\pi }{3}$ thỏa mãn phương trình.

Do $\frac{\pi }{4}<\frac{2\pi }{3}$ nên ta chọn nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$.

A. $\frac{-\pi }{3}$             B. $\frac{-\pi }{4}$

C. $\frac{-\pi }{6}$               D. $\frac{-5\pi }{6}$

Phương pháp giải:

B1: Đặt $t=\tan x$, giải phương trình bậc hai ẩn t.

B2: Giải phương trình lượng giác cơ bản và biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}2{\tan }^{2}x+5\tan x+3=0\\ \iff [\begin{array}{l}\tan x=-1\\ \tan x=-\frac{3}{2}\end{array}\\ \tan x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \tan x=-\frac{3}{2}\iff x=\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)+k\pi \end{array}$

Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ là $x=-\frac{\pi }{4}$.

Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm $x=\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)+k\pi$ là $x=\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)$

Mà $\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)\approx -0,983,$ $-\frac{\pi }{4}\approx -0,785\Rightarrow -\frac{\pi }{4}>\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của pt là $x=-\frac{\pi }{4}$.

Cách khác:

Dựa vào đường tròn lượng giác ta có: $x=-\frac{\pi }{4}$ là nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho.

Chọn đáp án B.

B1: Đưa về phương trình bậc hai của tanx bằng công thức $\cot x={\displaystyle \frac{1}{\tan x}}$.

B2: Giải PT lượng giác , lấy các nghiệm thuộc khoảng $(\frac{-\pi }{2},\pi )$ và KL.

1. Lý thuyết

2. Ví dụ

Tìm và biểu diễn các nghiệm của phương trình sau trên đường tròn lượng giác:

a) $\sin \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$$\iff [\begin{array}{l}2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k2\pi \\ 2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+k2\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{\pi }{12}}+k\pi \\ x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$.

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn đơn vị:

Ở đó, hai điểm $M_1,M_2$ biểu diễn góc $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$ và hai điểm $M_3,M_4$ biểu diễn góc $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{12}}+k\pi$.

b) ${\displaystyle \frac{2\cos 2x}{1-\sin 2x}}=0$

Điều kiện: $1-\sin 2x\ne 0\iff \sin 2x\ne 1$ $\iff 2x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi \iff x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$.

Phương trình $\iff \cos 2x=0\iff 2x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi$ $\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}}$.

Biểu diễn trên đường tròn đơn vị:

Các điểm biểu diễn $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$ là $M_1,M_2$ nhưng điều kiện là $x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$ nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}}$ là $M_1,M_2,M_3,M_4$ nhưng do không lấy hai điểm $M_1,M_2$ nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn $M_3,M_4$.

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua $O$ và $\widehat{AO{M}_4}=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ nên nghiệm của phương trình là $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c) ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}\cot 2x-1}{2\cos x+1}}=0$

Điều kiện: $2\cos x+1\ne 0\iff \cos x\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $\iff \{\begin{array}{l}x\ne {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+k2\pi \\ x\ne -{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$.

Khi đó phương trình $\iff \sqrt{3}\cot 2x-1=0\iff \cot 2x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ $\iff \cot 2x=\cot {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\iff 2x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k\pi$ $\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$.

Biểu diễn trên đường tròn đơn vị:

Ở đó, điểm $M$ biểu diễn góc $x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+k2\pi$ và điểm $M_3$ biểu diễn góc $x=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+k2\pi$, ta đánh dấu đỏ thể hiện không lấy hai điểm đó (do điều kiện xác định).

Các điểm $M_1,M_2,M_3,M_4$ là các điểm biểu diễn nghiệm $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}}$, trong đó không lấy điểm $M_3$ do điều kiện xác định.

Do đó, chỉ còn lại hai điểm $M_1,M_2$ (với $\widehat{AO{M}_1}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$) biểu diễn góc $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi$ và điểm $M_4$ biểu diễn góc $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi$ (với $\widehat{AO{M}_4}=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$).

Vậy phương trình có nghiệm $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi$ hoặc $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$.