Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Ôn tập chương 4 (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Ôn tập chương 4 (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

A. Lý thuyết Ôn tập chương 4

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

    Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    Kí hiệu:  hay u_n → 0 khi n → +∞.

Định nghĩa 2

    Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞ nếu 

    Kí hiệu:  hay v_n → a khi n → +∞.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a)  với k nguyên dương;

b)  nếu |q| < 1;

c) Nếu u_n = c (c là hằng số) thì 

Chú ý: Từ nay về sau thay cho  ta viết tắt là lim u_n = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

    lim (u_n + v_n) = a + b

    lim (u_n – v_n) = a – b

    lim (u_n.v_n) = a.b

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

    - Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

    - Dãy số (u_n) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

    Kí hiệu: lim u_n = –∞ hay u_n → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: u_n = +∞ ⇔ lim(–u_n) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qⁿ = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì 

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0, ∀ n > 0 thì 

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

    Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

    Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K \{x₀} và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

    Kí hiệu:  hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét:  với c là hằng số.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

    - Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x₀; b).

    Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

    Kí hiệu: 

    - Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x₀).

    Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

    Kí hiệu: 

Định lí 2

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: 

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: 

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x_n → +∞ hoặc x → –∞

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

L > 0	+∞	+∞
	–∞	–∞
L < 0	+∞	–∞
	–∞	+∞

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương 

		Dấu của g(x)
L	± ∞	Tùy ý	0
L > 0	0	+∞	+∞
		–∞	–∞
L < 0		+∞	–∞
		–∞	+∞

HÀM SỐ LIÊN TỤC

I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ ∈ K.

    Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu 

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2

    Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

    Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1

    a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

    b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2

    Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

    a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x₀;

    b) Hàm số  liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Định lí 3

    Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0..

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

    Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).

B. Bài tập Ôn tập chương 4

Câu 1: Biết $\lim u_n=5;\lim v_n=a;\lim \left(u_n+3v_n\right)=2018$, khi đó a bằng

A. 617

B. $\frac{2018}{3}$

C. $\frac{2023}{3}$

D. 671

Đáp án: D

Câu 2: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-x^3}{\left(2x-1\right)\left(x^4-3\right)}$ là

A. $-\frac{3}{2}$

B. 0

C. – 2

D. 1

Đáp án: B

Câu 3: Kết quả của giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x-3}{x^2+6x+3}$ là

A. 2

B. 3

C. – 2

D. $+\infty$

Đáp án: A

Câu 4: Cho giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x^3-1}{3x^2+x+2}=-\frac{a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. $a=11,b=4$

B. $a=11,b=3$

C. $a=10,b=3$

D. $a=11,b=5$

Đáp án: A

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. $\lim \frac{1}{n^k}=0$ với k là số nguyên dương.

B. Nếu $\left|q\right|<1$ thì $\lim q^n=0$

C. Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n=b$ thì  $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}$

D. Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n=+\infty$ thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=0$

Đáp án: C

Câu 6: Tính giới hạn $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{3+2x}{x+2}$ 

A. 2

B. $-\infty$

C.  $+\infty$

D. $\frac{3}{2}$

Đáp án: C

Câu 7: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Hàm số  $y=5x^3+x-2$ liên tục trên $ℝ$

B. Hàm số  $y=\frac{3x-5}{x+3}$ liên tục trên $ℝ$

C. Hàm số $y=\frac{2x^2-x}{x+1}$  liên tục trên $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$

D. Hàm số  $y=x^5+3x^2+5$ liên tục trên $ℝ$

Đáp án: B

Câu 8: Trong các giới hạn dãy số dưới đây, giới hạn có kết quả đúng là

A. $\lim \left(-3n^4+3\right)=-\infty$

B. $\lim \left(-3n^4+3\right)=0$

C. $\lim \left(-n^4+2\right)=+\infty$

D. $\lim \left(5n^4-2\right)=-\infty$

Đáp án: A

Câu 9: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{4x-3}{x-3}$ có kết quả là

A. 9

B. 0

C. $-\infty$

D. $+\infty$

Đáp án: D

Câu 10: Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại $x=-2$ ?

A. $y=2x^2+x-5$

B. $y=\frac{x+5}{x-2}$

C. $y=\frac{1}{x+2}$

D. $y=\frac{x-2}{2x}$

Đáp án: C

Câu 11: Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục tại $x=1$?

A. $y=\sqrt{x+3}$

B. $y=\frac{x+5}{x-1}$

C. $y=\frac{3x}{x^2+x-2}$

D. $y=\sqrt{x-4}$

Đáp án: A

Câu 12: Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-2x^3-4x^2+5\right)$ .

A. 2

B. 3

C. $-\infty$

D. $+\infty$

Đáp án: C

Câu 13: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\lim \frac{n+3}{n^2+1}=0$

B. $\lim \frac{n+1}{n-1}=1$

C. $\lim \frac{1}{2n+1}=\frac{1}{2}$

D. $\lim \left(2n+1\right)=+\infty$

Đáp án: C

Câu 14: Giới hạn $\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{1}{x-a}$  bằng

A.  $+\infty$

B. 0

C. $\frac{-1}{2a}$

D. $-\infty$

Đáp án: D

Câu 15: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?

A. $\lim 3^n$

B. $\lim \frac{2n^2-3n+1}{n^3+4n^2-3}$

C. $\lim n^k\left(k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

D. $\lim \frac{n^3}{n^2+3}$

Đáp án: B

Câu 16: Tính giới hạn $L=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left|-2x\right|}{x+1}$ .

A. $L=-2$

B. $L=1$

C. $L=-1$

D. $L=2$

Đáp án: B

Câu 17: Giá trị của $\lim \frac{1}{n^k}\left(k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ bằng

A. 4

B. 0

C. 2

D. 5

Đáp án: B

Câu 18: Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $\underset{x\to {2018}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-2018$ và $\underset{x\to {2018}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=2018$. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng:

A. $\underset{x\to 2018}{\lim }f\left(x\right)=0$

B. $\underset{x\to 2018}{\lim }f\left(x\right)=2018$

C. $\underset{x\to 2018}{\lim }f\left(x\right)=-2018$

D. Không tồn tại $\underset{x\to 2018}{\lim }f\left(x\right).$

Đáp án: D

Câu 19: Cho dãy số $\left(u_n\right),\left(v_n\right)$ thỏa $\lim u_n=2,\lim v_n=1$. Tính $\lim \left(2u_n-3v_n\right)$ .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 7

Đáp án: A

Câu 20: Hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Đáp án: B

Câu 21: Cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-2}{2-x}=\sqrt{a}-b$ với $a,b\in \mathbb{N},0\le a,b\le 3$, khi đó $a+2b$ bằng

A. 3

B. 6

C. 4

D. 2

Đáp án: B

Câu 22: Trong các giới hạn, giới hạn nào không tồn tại?

A. $\underset{x\to 3}{\lim }\left(x^2-3x+2\right)$

B.  $\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{16-x^2}$

C.  $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x+3}$

D. $\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{x^2-9}$

Đáp án: D

Câu 23: Cho a là một hằng số, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a\sqrt{x^2-2x}+x-3}{2+\sqrt{x^2+1}}$ có giá trị bằng

A. $\frac{a+1}{2}$

B. a

C. $a+1$

D. $1-a$

Đáp án: C

Câu 24: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}khix>4\\ ax+\frac{5}{4}khix\le 4\end{array}\right.$ , trong đó a là một hằng số đã biết. Hàm số có giới hạn hữu hạn tại $x=4$ khi và chỉ khi

A.  $a=1$

B.  $a=-1$

C. $a=-\frac{1}{4}$

D. $a=\frac{1}{4}$

Đáp án: C

Câu 25: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-x-2}{x-2}khix\ne 2\\ mkhix=2\end{array}\right.$  liên tục tại $x=2$ 

A. $m=0$

B.  $m=2$

C. $m=1$

D. $m=3$

Đáp án: D

Câu 26: Biết rằng $\underset{x\to -\sqrt{3}}{\lim }\frac{5x^3+15\sqrt{3}}{3-x^2}=a\sqrt{3}+b$ với $a,b\in \mathbb{Q}$ . Tính $a^2+b^2$ 

A.  $\frac{15}{2}$

B.  $\frac{225}{4}$

C. $\frac{-225}{4}$

D. $\frac{225}{2}$

Đáp án: B

Câu 27: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}khix\ne 1\\ 3x+mkhix=1\end{array}\right.$ . Để $f\left(x\right)$ liên tục tại $x=1$ thì m bằng

A. 1

B. 0

C. 2

D. – 1

Đáp án: B

Câu 28: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3x+a-1khix\le 0\\ \frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}khix>0\end{array}\right.$. Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại điểm $x=0$.

A. $a=1$

B.  $a=3$

C. $a=2$

D. $a=4$

Đáp án: C

Câu 29: Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng $+\infty$ ?

A. $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{4-x}$

B. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-x^3+2x+3\right)$

C. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+x+1}{x-1}$

D. $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{4-x}$

Đáp án: A

Câu 30: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}khix\ne 1\\ m-2khix=1\end{array}\right.$ . Tìm m để hàm liên tục trên $ℝ$.

A. $m=4$

B. $m=-4$

C. $m=1$

D. $m=2$

Đáp án: A

Câu 31: Tính .

A. + ∞.

B. +-∞.

C. 0

D. – 7

A. 0

B. - ∞.

C. 2

D. - 2

A. -1/3.

B. - ∞.

C. 1/3.

D. + ∞.

A. m = -1

B. m = 2

C. m = -2

D. m = 1

A. 0.

B. 1.

C. 1/2.

D. 100