Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Hàm số liên tục (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

A. Lý thuyết Hàm số liên tục

I. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 1

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ ∈ K.

    Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu 

II. Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa 2

    Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

    Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên khoảng (a;b)

Hàm số không liên tục trên khoảng (a; b).

III. Một số định lí cơ bản

Định lí 1

    a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

    b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2

    Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

    a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x₀;

    b) Hàm số  liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Định lí 3

    Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0..

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

    Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).

B. Bài tập Hàm số liên tục

Câu 1: Tính tổng (S ) gồm tất cả các giá trị m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+x,x<1\\ 2,x=1\\ m^{2}x+1,x>1\end{array}\right.$ liên tục tại $x=1$.

A. $S=-1$ 

B.  $S=0$

C.  $S=1$

D.  $S=2$

Đáp án: B

Câu 2: Số điểm gián đoạn của hàm số $h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x,x<0\\ x^2+1,0\le x\le 2\\ 3x-1,x>2\end{array}\right.$ là:

A.   1

B.   2

C.   3

D.  0

Đáp án: A

Câu 3: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2},x\ne 3\\ m,x=3\end{array}\right.$ . Hàm số đã cho liên tục tại $x=3$ khi  bằng :

A.  −4

B.   4

C.  −1

D.   1

Đáp án: A

Câu 4: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin 5x}{5x},x\ne 0\\ a+2,x=0\end{array}\right.$ . Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.

A.  1

B.  −1

C.  −2

D.  2

Đáp án: B

Câu 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1},x\ne 1\\ 3x+m,x=1\end{array}\right.$ liên tục tại $x=1$

A.  $m=0$ 

B.  $m=2$ 

C.  $m=4$ 

D.  $m=6$ 

Đáp án: A

Câu 6: Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên $[a;b]$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)>0$  thì phương trình $f\left(x\right)=0$ không có nghiệm trong khoảng  $(a;b)$

B. Nếu $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì phương trình $f\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng  $(a;b)$

C. Nếu phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm trong khoảng $(a;b)$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$

D. Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục tăng trên đoạn $[a;b]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)>0$ thì phương trình f(x)=0  không thể có nghiệm trong $(a;b)$ 

Đáp án: D

Câu 7: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( I ) $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [ (a;b) ] và $f\left(a\right).f\left(b\right)>0$ thì tồn tại ít nhất một số $c\in \left(a;b\right)$ sao cho  

(II) )Nếu $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left(a;b\right]$ và trên $[b;c)$ thì không liên tục $\left(a;c\right)$

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả (I) và (II)đúng

D. Cả (I) và (II)sai.

Đáp án: D

Câu 8: Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x\cos x,x<0\\ \frac{x^2}{1+x},0\le x<1\\ x^3,x\ge 1\end{array}\right.$

A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x=0$.

B. Liên tục tại mọi điểm trừ $x=1$.

C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm $x=0$ và $x=1$.

D. Liên tục tại mọi điểm $x\in R$.

Đáp án: B

Câu 9: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2},x>8\\ ax+4,x\le 8\end{array}\right.$. Để hàm số liên tục tại $x=8$, giá trị của a là:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Đáp án: A

Câu 10: Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-1000x^2+0,01$. Phương trình $f\left(x\right)=0$. có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng:

I. $\left(-1;0\right)$

II. $\left(0;1\right)$

III. $\left(1;2\right)$

IV. $\left(2;1000\right)$

A. Chỉ I, II, III.

B. Chỉ I và II

C. Chỉ I, II, IV.

D. Cả I, II, III IV.

Đáp án: C

Câu 11: Cho hàm $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1},x\ne 1\\ 4,x=1\\ \sqrt{x+3},x\ge 3\end{array}\right.$ . Hàm số $f\left(x\right)$ liên tục tại:

A. mọi điểm thuộc R.

B. mọi điểm trừ $x=1$ .

C. mọi điểm trừ $x=3$.

D. mọi điểm trừ $x=1$ và $x=3$.

Đáp án: D

Câu 12: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3-\sqrt{9-x}}{x},0<x<9\\ m,x=0\\ \frac{3}{x},x\ge 9\end{array}\right.$ . Tìm m  để $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[0;+\infty \right)$

A. $\frac{1}{3}$ 

B. $\frac{1}{2}$ 

C. $\frac{1}{6}$ 

D. 1

Đáp án: C

Câu 13: Biết rằng $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1},x\ne 1\\ a,x=1\end{array}\right.$ liên tục trên đoạn (0;1) (với a là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị a là đúng?

A. a là một số nguyên

B. a là một số vô tỉ

C. a > 5.             

D. a < 0.

Đáp án: A

Câu 14: Cho hàm số (f( x )) liên tục trên đoạn $\left[-1;4\right]$ sao cho $f(-1)=2; f\left(4\right)=7$. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=5$ trên đoạn $\left[-1;4\right]$:

A. Vô nghiệm.

B. Có ít nhất một nghiệm.

C. Có đúng một nghiệm.

D. Có đúng hai nghiệm.

Đáp án: B

Câu 15: Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x-1$. Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=0$ trên R là:

A.   0.

B.   1.

C.   2.

D.   3.

Đáp án: D

Câu 16: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\tan x}{x},x\ne 0;x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in R)\\ 0,x=0\end{array}\right.$. Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A. $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

B. $\left(-\infty ;\frac{\pi }{4}\right)$

C. $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right)$

D. $R$

Đáp án: A

Câu 17: Biết rằng $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Tìm giá trị thực của tham số  để hàm số

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1+\cos x}{{(x-\pi )}^2},x\ne \pi \\ m,x=\pi \end{array}\right.$ liên tục tại $x=\pi$

A.  $m=\frac{\pi }{2}$

B.  $m=-\frac{\pi }{2}$ 

C.  $m=\frac{1}{2}$

D.  $m=-\frac{1}{2}$

Đáp án: C

Câu 18: Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{ax+1}-1}{x},x\ne 0\\ 4x^2+5b,x=0\end{array}\right.$ liên tục tại x = 0.

A. $a=5b$ 

B.  $a=10b$

C.  $a=b$

D.  $a=2b$  

Đáp án: B

Câu 19: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A. Hàm số liên tục trên khoảng (0;3).

B. Hàm số liên tục trên khoảng (0;2).

C. Hàm số không liên tục trên khoảng (−∞;0).

D. Hàm số không liên tục trên khoảng (0;4).

Đáp án: D

Câu 20: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x^2+5x+6}$. Hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. (−∞;3)

B. (2;3)

C. (−3;2)

D. (−3;+∞)

Đáp án: B

Câu 21: Hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}$ liên tục trên:

A. [−4;3].

B. [−4;3).

C. (−4;3].              

D. [−∞;−4]∪[3;+∞).

Đáp án: C

Câu 22: Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^4+x}{x^2+x},khix\ne 0,x\ne -1\\ 3,khix=-1\\ 1,khix=0\end{array}\right.$ 

A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm thuộc đoạn (−1;0)    

B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 0.

C. Liên tục tại mọi điểm 

D. Liên tục tại mọi điểm trừ x=−1

Đáp án: C

Câu 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-5x+6}{\sqrt{4x-3}-x},x>3\\ 1-a^{2}x,x\le 3\end{array}\right.$ liên tục tại $x=3$.

A. $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ 

B.  $\frac{2}{\sqrt{3}}$

C.  $-\frac{4}{3}$

D.  $\frac{4}{3}$

Đáp án: B

Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $x^3-3x^2+(2m-2)x+m-3=0$ có ba nghiệm $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $x_1<-1<x_2<x_3$

A. $m>-5$

B. $m<-5$

C. $m\le -3$

D. $m<-6$

Đáp án: A

Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số. $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2},x>2\\ a^{2}x-\frac{7}{4},x\le 2\end{array}\right.$ liên tục tại $x=2$

A. $a_{\max }=3$

B. $a_{\max }=0$

C. $a_{\max }=1$

D. $a_{\max }=2$

Đáp án: C

Câu 26: Biết rằng $\underset{x\to 0}{\lim }=\frac{\sin x}{x}=1$. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \pi x}{x-1},x\ne 1\\ m,x=1\end{array}\right.$ liên tục tại $x=1$.

A.  $m=-\pi$

B.  $m=\pi$

C.  $m=-1$

D.  $m=1$

Đáp án: A

Câu 27: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\cos \frac{\pi x}{2},\left|x\right|\le 1\\ \left|x-1\right|,\left|x\right|>1\end{array}\right.$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Hàm số liên tục tại x=1 và x= −1

B. Hàm số liên tục tại x=1, không liên tục tại điểm x= −1.

C. Hàm số không liên tục tại x=1 và x=−1.

D. Tất cả đều sai.

Đáp án: B

Câu 28: Cho phương trình $2x^4-5x^2+x+1=0\left(1\right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong (-2;1)

B. Phương trình (1) có ít nhất hai nhiệm trong khoảng (2;0)

C. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2;0)

D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1;1)

Đáp án: B

Câu 29: Giá trị thực của tham số  để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2\sin \frac{1}{x},x\ne 0\\ m,x=0\end{array}\right.$ liên tục tại $x=0$ thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

A. $m\in \left(-2;-1\right)$

B. $m\le -2$

C. $m\in \left[-1;7\right)$

D. $m\in \left[7;+\infty \right)$

Đáp án: C

Câu 30: Chọn giá trị của $f\left(0\right)$ đề hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt[3]{2x+8}-2}{\sqrt{3x+4}-2},x\ne 0\\ m,x=0\end{array}\right.$  liên tục tại điểm $x=0$.

A.   1

B.   2C.  $\frac{2}{9}$

D.  $\frac{1}{9}$

Đáp án: C

Câu 31: Cho hàm số  Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -2

B. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0

C. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0,5

D. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2

Câu 33: Cho hàm số  với x ≠ 2 . Giá trị của m để f(x) liên tục tại x =2 là:

Câu 35: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên R

B. Hàm số không liên tục trên R

C. Hàm số không liên tục trên (1; +∞)

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x= 1.

Đáp án: A