Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết  Giới hạn của hàm số (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

 Giới hạn của hàm số (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K \{x₀} và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu:  hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét:  với c là hằng số.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x₀; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: 

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: 

Định lí 2

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: 

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: 

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x_n → +∞ hoặc x → –∞

III. Giới hạn vô cực của hàm số

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

L > 0	+∞	+∞
	–∞	–∞
L < 0	+∞	–∞
	–∞	+∞

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương 

		Dấu của g(x)
L	± ∞	Tùy ý	0
L > 0	0	+∞	+∞
		–∞	–∞
L < 0		+∞	–∞
		–∞	+∞

B. Bài tập Giới hạn của hàm số

Câu 1: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{\frac{9x^2-x}{(2x-1)(x^4-3)}}$  là:

A. $\frac{1}{5}$

B. $\sqrt{5}$ 

C. $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 

D.   5.

Đáp án: C

Câu 2: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left({\left|x\right|}^3+2x^2+3\left|x\right|\right)$ là:

A.  0.

B.  +∞.

C.  1.

D.  −∞.

Đáp án: B

Câu 3:  Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+3}-x\right)$ bằng?

A. −1

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Đáp án: C

Câu 4: Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+1}+x-1\right)$ bằng?

A.  −1

B.  0

C.  $\frac{1}{2}$

D.  −∞

Đáp án: D

Câu 5: Kết quả của giới hạn  $\underset{x\to {(-1)}^{+}}{\lim }\left(x^3+1\right)\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}$ là:

A.   3.

B.   +∞.

C.   0.

D.  −∞

Đáp án: C

Câu 6: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt[3]{\frac{x^2-x-1}{x^2+2x}}$ là:

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$ 

D.  $\frac{1}{5}$

Đáp án: B

Câu 7: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to \sqrt{3}}{\lim }\left|x^2-4\right|$ là:

A.   0.

B.   1.

C.   2.

D.   3.

Đáp án: B

Câu 8: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x-x^3+1)$ là:

A.  1.

B.  −∞.

C.  0.

D.  +∞.

Đáp án: D

Câu 9: Kết quả của giới hạn $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-15}{x-2}$ là:

A.   −∞

B.   +∞

C.  $-\frac{15}{2}$

D. 1

Đáp án: A

Câu 10: Kết quả của giới hạn $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}$ là:

A. −∞.

B. +∞.

C. −152.

D. Không xác định.

Đáp án: B

Câu 11: Chọn mệnh đề đúng:

A. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \underset{x\to +\infty }{\lim }\left[-f\left(x\right)\right]=+\infty$ 

B.  $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \underset{x\to +\infty }{\lim }\left[-f\left(x\right)\right]=-\infty$

C.  $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \underset{x\to -\infty }{\lim }\left[-f\left(x\right)\right]=-\infty$

D.  $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty \iff \underset{x\to +\infty }{\lim }\left[-f\left(x\right)\right]=-\infty$

Đáp án: B

Câu 12: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$ là:

A.  0.

B.  +∞.

C.  $\sqrt{2}-1$.

D.  −∞.

Đáp án: B

Câu 13: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{3x^3-1}+\sqrt{x^2+2}\right)$ là:

A. $\sqrt[3]{3}+1$

B.  +∞.

C.  $\sqrt[3]{3}-1$

D.   −∞.

Đáp án: B

Câu 14: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2x}{\sqrt{1-x}},x<1\\ \sqrt{3x^2+1},x\ge 1\end{array}\right.$.

Khi đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ là:

A.  +∞.

B.  2.

C.  4.

D.  −∞.

Đáp án: B

Câu 15: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-x^3}{(2x-1)(x^4-3)}$ là:

A. 1

B. −2

C. 0

D. −32.

Đáp án: C

Câu 16: Tính $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-4}$ bằng?

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{-1}{4}$

D.  −$\frac{1}{3}$.

Đáp án: C

Câu 17: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^5+1}{x^3+1}$ là:

A. $-\frac{3}{5}$

B. $\frac{3}{5}$

C. $-\frac{5}{3}$

D. $\frac{5}{3}$

Đáp án: D

Câu 18: Tính $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3}$ bằng?

A. 12.          

B. $\frac{9}{8}$

C. 1.    

D. $\frac{3}{4}$ 

Đáp án: B

Câu 19. Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x-1)\sqrt{\frac{x^2}{2x^4+x^2+1}}$ bằng?

A. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

B.  $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C.  $\sqrt{2}$

D.  $-\sqrt{2}$

Đáp án: A

Câu 20: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to -3}{\lim }\left|\frac{-x^2-x+6}{x^2+3x}\right|$ là:

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{5}{3}$

D. $\frac{3}{5}$

Đáp án: C

Câu 21: Tính $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}$  bằng?

A. 15

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{3}$

Đáp án: D

Câu 22: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{3-x}{\sqrt{27-x^3}}$ là:

A. 13.

B. 0

C. 53.

D. 35.

Đáp án: B

Câu 23: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\sqrt{3x^2+1}-x}{x-1}$  là:

A.  −$\frac{3}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $-\frac{1}{2}$

D.  $\frac{3}{2}$

Đáp án: A

Câu 24: Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2-2x-1}{x^2+1}$ bằng?

A.  −3

B.  −2

C.  2

D.  3

Đáp án: D

Câu 25: Kết quả của giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2-2x+1}+2-x}{\sqrt{9x^2-3x}+2x}$ là:

A.  −15.

B.  +∞.

C.  −∞.

D. $\frac{1}{5}$

Đáp án: D

Câu 26: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2+4x}\right)$  là:

A. $\frac{7}{2}$

B. $-\frac{1}{2}$

C. +∞.

D. −∞.

Đáp án: B

Câu 27: Tính $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{3x-9}$ bằng?

A. $-\frac{1}{3}$

B.   0.

C. $\frac{1}{3}$

D. Không tồn tại

Đáp án: C

Câu 28. Trong các mệnh đề sau đâu là mệnh đề đúng?

A.  $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+3x+2}{\left|x+1\right|}=-1$

B.  $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+3x+2}{\left|x+1\right|}=0$

C.  $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+3x+2}{\left|x+1\right|}=1$

D.   Không tồn tại $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+3x+2}{\left|x+1\right|}$

Đáp án: D

Câu 29: Biết rằng $a+b=4;\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{a}{1-x}-\frac{b}{1-x^3}\right)$ hữu hạn. . Tính giới hạn

L = $\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{b}{1-x^3}-\frac{a}{1-x}\right)$

A.   −1

B.   2

C.   1

D.   −2

Đáp án: C

Câu 30: Tính $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\sqrt[4]{1+4x}-1}{x}$

A. $\frac{23}{2}$

B.  24.

C.  $\frac{3}{2}$

D.  3.

Đáp án: D

Câu 31: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của  là:

A. -∞

B. 0

C. 1/2

D. +∞

Đáp án: B

A. +∞

B. -∞

C. -1/6

D. 1

Đáp án: D

Câu 34:  bằng:

A. 3

B. 1/2

C. 1

D. √3

Đáp án: D

A. +∞

B. -∞

C. 4/3

D. 0

Đáp án: B