Toán 11 Ôn tập chương IV - Giới hạn

Toán 11 Ôn tập chương IV - Giới hạn | Giải Toán lớp 11

Trần Thị Hường Ngày: 20-05-2022 Lớp 11

391

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương IV - Giới hạn chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về giới hạn lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương IV - Giới hạn

Bài tập trang 141, 142, 143 SGK Toán 11

Câu 1 trang 141 SGK Đại số và giải tích 11: Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số.

Lời giải:

Một vài giới hạn đặc biệt của dãy số

Câu 2 trang 141 SGK Đại số và giải tích 11: Cho hai dãy số

(u_{n})

và

(v_{n})

. Biết

| u_{n} - 2 | \leq v_{n}

với mọi

n

và

lim v_{n} = 0

. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số

(u_{n})

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn .

Dãy số có giới hạn 0 khi dần tới dương vô cực nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải:

Vì $lim v_{n} = 0$ nên $| v_{n} |$ nhỏ hơn một số dương $ε$ bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nghĩa là $| v_{n} | < ε$ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ $| u_{n} - 2 | \leq v_{n} \leq | v_{n} | < ε$ hay $| u_{n} - 2 | < ε$ bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ $lim (u_{n} - 2) = 0$ (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)

⇒ $lim u_{n} = 2$ .

Cách khác:

Có thể sử dụng định lý giới hạn kẹp như sau:

Với mọi $n \in N^{*}$ , ta có: $| u_{n} - 2 | \leq v_{n} \Leftrightarrow - v_{n} \leq u_{n} - 2 \leq v_{n}$

Mà $lim (- v_{n}) = lim (v_{n}) = 0$ nên $lim (u_{n} - 2) = 0$ $\Leftrightarrow lim u_{n} - lim 2 = 0$ $\Leftrightarrow lim u_{n} = 2$ .

Câu 3 trang 141 SGK Đại số và giải tích 11: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức $A, H, N, O$ với:

$\begin{array}{l} A = lim \frac{3 n - 1}{n + 2} \\ H = lim (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n) \\ N = lim \frac{\sqrt{n} - 2}{3 n + 7} \\ O = lim \frac{3^{n} - {5.4}^{n}}{1 - 4^{n}} . \end{array}$

Phương pháp giải:

A: Chia cả tử và mẫu cho $n$ .

H: Nhân liên hợp sau đó chia cả tử và mẫu cho $n$ .

N: Chia cả tử và mẫu cho $n$ .

O: Chia cả tử và mẫu cho $4^{n}$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} A = lim \frac{3 n - 1}{n + 2} = lim \frac{n (3 - \frac{1}{n})}{n (1 + \frac{2}{n})} \\ = lim \frac{3 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{3 - lim \frac{1}{n}}{1 + lim \frac{2}{n}} = 3 \\ H = lim (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n) = lim \frac{(n^{2} + 2 n) - n^{2}}{\sqrt{n^{2} + 2 n} + n} \\ = lim \frac{2 n}{n [\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1]} = lim \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} \\ = \frac{2}{\sqrt{1 + lim \frac{2}{n}} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} = 1 \\ N = lim \frac{\sqrt{n} - 2}{3 n + 7} = lim \frac{n (\sqrt{\frac{1}{n}} - \frac{2}{n})}{n (3 + \frac{7}{n})} \\ = lim \frac{\sqrt{\frac{1}{n}} - \frac{2}{n}}{3 + \frac{7}{n}} = \frac{\sqrt{lim \frac{1}{n}} - lim \frac{2}{n}}{3 + lim \frac{7}{n}} \\ = \frac{0 - 0}{3 + 0} = 0 \\ O = lim \frac{3^{n} - {5.4}^{n}}{1 - 4^{n}} = lim \frac{4^{n} [{(\frac{3}{4})}^{n} - 5]}{4^{n} [{(\frac{1}{4})}^{n} - 1]} \\ = lim \frac{{(\frac{3}{4})}^{n} - 5}{{(\frac{1}{4})}^{n} - 1} = \frac{lim {(\frac{3}{4})}^{n} - 5}{lim {(\frac{1}{4})}^{n} - 1} \\ = \frac{0 - 5}{0 - 1} = 5 \end{array}$

Vậy số $1530$ là mã số của chữ $H O A N$ .

Câu 4 trang 142 SGK Đại số và giải tích 11:

a) Có nhận xét gì về công bội của các cấp số nhân lùi vô hạn.

b) Cho ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định nghĩa và công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

b) Sử dụng định nghĩa và công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải:

a) Công bội $q$ của cấp số nhân lùi vô hạn phải thoả mãn $| q | < 1$ .

Ví dụ: cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1} = 2$ và công bội là: $q = \frac{- 1}{2}$

$2, - 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2^{2}}, . . .$

+ Và tổng là: $S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{2}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{4}{3}$

+ Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = 3$ và công bội là $q = \frac{1}{3}$

$3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3^{2}}, . . .$

+ Và tổng là: $S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{2}$ .

Câu 5 trang 142 SGK Đại số và giải tích 11: Tính các giới hạn sau:

a) $lim_{x \to 2} \frac{x + 3}{x^{2} + x + 4}$ ;

b) $lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 3 x}$ ;

c) $lim_{x \to 4^{-}} \frac{2 x - 5}{x - 4}$ ;

d) $lim_{x \to + \infty} (- x^{3} + x^{2} - 2 x + 1)$ ;

e) $lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3}{3 x - 1}$ ;

f) $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} - x}{3 x - 1}$ .

Phương pháp giải:

a) Hàm số xác định tại $2$ nên $lim_{x \to 2} f (x) = f (2)$ .

b) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

c) Đánh giá giới hạn dạng $\frac{L}{0}$ .

d) Đặt $x^{3}$ làm nhân tử chung.

e) Chia cả tử và mẫu cho $x$ .

f) Chia cả tử và mẫu cho $x$ .

Lời giải:

$lim_{x \to 2} \frac{x + 3}{x^{2} + x + 4} = \frac{2 + 3}{2^{2} + 2 + 4} = \frac{1}{2}$ .

$\begin{aligned} lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 3 x} \\ = lim_{x \to - 3} \frac{(x + 2) (x + 3)}{x (x + 3)} \\ = lim_{x \to - 3} \frac{x + 2}{x} \\ = \frac{- 3 + 2}{- 3} = \frac{1}{3} \end{aligned}$

Chú ý:

Tam thức $f (x) = a x^{2} + b x + c$ có hai nghiệm $x = x_{1}, x = x_{2}$ thì ta có thể viết lại $f (x)$ thành $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Áp dụng ta bấm máy thấy $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ có hai nghiệm $x_{1} = - 2, x_{2} = - 3$ nên có thể phân tích:

$x^{2} + 5 x + 6$ $= 1. [x - (- 1)] . [x - (- 2)]$ $= (x + 2) (x + 3)$

$lim_{x \to 4^{-}} \frac{2 x - 5}{x - 4}$

Ta có: $lim_{x \to 4^{-}} (2 x - 5) = 2.4 - 5 = 3 > 0$

và ${\begin{matrix} x - 4 < 0, \forall x < 4 \\ lim_{x \to 4^{-}} (x - 4) = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow lim_{x \to 4^{-}} \frac{2 x - 5}{x - 4} = - \infty$

$lim_{x \to + \infty} (- x^{3} + x^{2} - 2 x + 1)$

$= lim_{x \to + \infty} x^{3} (- 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})$

Vì $lim_{x \to + \infty} x^{3} = + \infty$ và $lim_{x \to + \infty} (- 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = - 1 < 0$ nên

$lim_{x \to + \infty} (- x^{3} + x^{2} - 2 x + 1)$ $= - \infty$

$\begin{aligned} lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3}{3 x - 1} = lim_{x \to - \infty} \frac{x (1 + \frac{3}{x})}{x (3 - \frac{1}{x})} \\ = lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{3 - \frac{1}{x}} \\ = \frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{- 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}} \\ = \frac{1 + 0}{- 3 - 0} = \frac{1}{3} \end{aligned}$

$\begin{aligned} lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} - x}{3 x - 1} \\ = lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}})} - x}{3 x - 1} \\ = lim_{x \to - \infty} \frac{| x | \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - x}{3 x - 1} \\ = lim_{x \to - \infty} \frac{- x \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - x}{x (3 - \frac{1}{x})} \\ = lim_{x \to - \infty} \frac{x [- \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - 1]}{x (3 - \frac{1}{x})} \\ = lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - 1}{3 - \frac{1}{x}} \\ = \frac{- \sqrt{1 - 0 + 0} - 1}{3 - 0} = \frac{- 2}{3} \end{aligned}$

Câu 6 trang 142 SGK Đại số và giải tích 11: Cho hai hàm số

f (x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2}}

và

g (x) = \frac{x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2}}

a) Tính $lim_{x \to 0} f (x); lim_{x \to 0} g (x); lim_{x \to + \infty} f (x); lim_{x \to + \infty} g (x)$

b) Hai đường cong sau đây (h.60) là đồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đó.

Phương pháp giải:

+) Tính giới hạn khi $x$ tiến đến 0: Đánh giá giới hạn $\frac{L}{0}$

+) Tính giới hạn khi $x$ tiến ra vô cùng: Chia cả tử và mẫu cho $x$ mũ bậc cao nhất của cả tử và mẫu.

+) Tính giới hạn khi $x$ tiến đến 0: Đánh giá giới hạn $\frac{L}{0}$

+) Tính giới hạn khi $x$ tiến ra vô cùng: Chia cả tử và mẫu cho $x$ mũ bậc cao nhất của cả tử và mẫu.

Lời giải:

+) $lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} \frac{1 - x^{2}}{x^{2}} = + \infty$

Vì: $lim_{x \to 0} (1 - x^{2}) = 1 > 0,$

$lim_{x \to 0} x^{2} = 0; x^{2} > 0, \forall x \neq 0$

+) $lim_{x \to 0} g (x) = lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2}} = + \infty$

Vì: $lim_{x \to 0} (x^{3} + x^{2} + 1) = 1 > 0, lim_{x \to 0} x^{2} = 0, x^{2} > 0,$ $\forall x \neq 0$

$\begin{aligned} lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{1 - x^{2}}{x^{2}} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{x^{2}} - 1) = - 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} lim_{x \to + \infty} g (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2}} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} (1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}})}{x^{3} (\frac{1}{x})} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x}} = + \infty \end{aligned}$

Gọi $(C_{1})$ và $(C_{2})$ lần lượt là hai đồ thị của hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$

+) Vì $lim_{x \to + \infty} f (x) = - 1$ nên $(C_{1})$ có nhánh vô tận tiến gần đến đường thẳng $y = - 1$ $k h i x \to \infty$

+) Vì $lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$ $(C_{2})$ có nhánh vô tận đi lên khi $x \to + \infty$

Dựa vào đặc điểm của $(C_{1})$ và $(C_{2})$ như trên ta có $(C_{1})$ là đồ thị b và $(C_{2})$ là đồ thị a.

Câu 7 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11: Xét tính liên tục trên R của hàm số:

g (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} k h i x > 2 \\ 5 - x k h i x \leq 2 \end{cases}

Phương pháp giải:

Hàm đa thức và hàm phân thức liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 2$ .

Hàm số liên tục tại $x = 2$ $\Leftrightarrow lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2)$ .

Lời giải:

Ta có:

$\begin{aligned} lim_{x \to 2^{+}} g (x) = lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} \\ = lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x - 2) (x + 1)}{x - 2} \\ = lim_{x \to 2^{+}} (x + 1) = 3 (1) \end{aligned}$

$lim_{x \to 2^{-}} g (x) = lim_{x \to 2^{-}} (5 - x) = 3 (2)$

$g (2) = 5 - 2 = 3 (3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $lim_{x \to 2} g (x) = g (2)$ .

Do đó hàm số $y = g (x)$ liên tục tại $x_{0} = 2$

Mặt khác trên $(- \infty, 2)$ , $g (x)$ là hàm đa thức và trên $(2, + \infty)$ , $g (x)$ là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên $(2, + \infty)$ nên hàm số $g (x)$ liên tục trên hai khoảng $(- \infty, 2)$ và $(2, + \infty)$

Vậy hàm số $y = g (x)$ liên tục trên $R$ .

Câu 8 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11: Chứng minh rằng phương trình

x^{5} - 3 x^{4} + 5 x - 2 = 0

có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng

(- 2, 5)

Phương pháp giải:

- Hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $[a; b]$ và có $f (a) . f (b) < 0$ . Khi đó phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm $x_{0} \in (a; b)$ .

- Xét hàm số $f (x) = x^{5} - 3 x^{4} + 5 x - 2$

- Thay một số giá trị của $x$ (trong khoảng $(- 2; 5)$ vào $f (x)$ và tính giá trị.

- Sử dụng lý thuyết trên đánh giá số nghiệm ít nhất của phương trình trong khoảng $(- 2; 5)$ .

Lời giải:

Đặt $f (x) = x^{5} - 3 x^{4} + 5 x - 2$ , ta có:

+) Hàm số $f (x)$ là hàm số đa thức liên tục trên $R$ .

$\begin{aligned} {\begin{matrix} f (0) = - 2 < 0 \\ f (1) = 1 - 3 + 5 - 2 = 1 > 0 \\ f (2) = 2^{5} - {3.2}^{4} + 5.2 - 2 = - 8 < 0 \\ f (3) = 3^{5} - {3.3}^{4} + 5.3 - 2 = 13 > 0 \end{matrix} \\ \Rightarrow {\begin{matrix} f (0) . f (1) < 0 (1) \\ f (1) . f (2) < 0 (2) \\ f (2) . f (3) < 0 (3) \end{matrix} \end{aligned}$

Do đó $f (x)$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(0, 1)$ , một nghiệm trên khoảng $(1, 2)$ , một nghiệm trên khoảng $(2, 3)$ .

Mà các khoảng $(0; 1)$ , $(1; 2)$ và $(2; 3)$ đôi một không có điểm chung.

Vậy phương trình $x^{5} - 3 x^{4} + 5 x - 2 = 0$ có ít nhất ba nghiệm trên khoảng $(- 2, 5)$ (đpcm).

Câu 9 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm

B. Nếu $(u_{n})$ là dãy số tăng thì $lim u_{n} = + \infty$

C. Nếu $lim u_{n} = + \infty$ và $lim v_{n} = + \infty$ thì $lim (u_{n} - v_{n}) = 0$

D. Nếu $u_{n} = a^{n}$ và $- 1 < a < 0$ thì $lim u_{n} = 0$

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án.

Lời giải:

+) Câu A sai

“Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai.

Xét phần ví dụ sau:

Dãy số: $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ có $lim \frac{{(- 1)}^{n}}{n} = 0$

Ta có: $u_{1} = - 1 < u_{2} = \frac{1}{2}, u_{2} = \frac{1}{2} > u_{3} = - \frac{1}{3}$

$\Rightarrow$ Dãy số $u_{n}$ không tăng cũng không giảm.

+) Câu B sai

“Nếu $(u_{n})$ là dãy số tăng thì $lim (u_{n}) = + \infty$ ” là mệnh đề sai, chẳng hạn: Dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = 1 - \frac{1}{n}$

Xét hiệu: $u_{n + 1} - u_{n} = (1 - \frac{1}{n + 1}) - (1 - \frac{1}{n})$ $= \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ $= \frac{1}{n (n + 1)} > 0$

$\Rightarrow (u_{n})$ là dãy số tăng.

${limu}_{n} = lim (1 - \frac{1}{n}) = 1$

+) Câu C sai, xem phần ví dụ sau:

Hai dãy số $u_{n} = \frac{n^{2}}{n + 2}, v_{n} = n + 1$

+ ${lim u}_{n} = lim \frac{n^{2}}{n + 2} = lim \frac{n^{2}}{n^{2} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})}$ $= lim \frac{1}{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = + \infty$

+ $lim v_{n} = lim (n + 1) = + \infty$

+ Nhưng :

$\begin{aligned} lim (u_{n} - v_{n}) = lim [\frac{n^{2}}{n + 2} - (n + 1)] \\ = lim \frac{- 3 n - 2}{n + 2} = lim \frac{n (- 3 - \frac{2}{n})}{n (1 + \frac{2}{n})} \\ = lim \frac{- 3 - \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = - 3 \neq 0 \end{aligned}$

+) Câu D đúng vì $lim q^{n} = 0$ khi $| q | < 1$ . Do đó: $- 1 < a < 0$ thì $lim a^{n} = 0$

Chọn đáp án D.

Câu 10 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11: Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = \frac{1 + 2 + 3 + . . . + n}{n^{2} + 1}

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $lim u_{n} = 0$

B. ${limu}_{n} = \frac{1}{2}$

C. $lim u_{n} = 1$

D. Dãy $(u_{n})$ không có giới hạn khi $n \to - \infty$

Phương pháp giải:

$1 + 2 + 3 + . . . + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

Lời giải:

Vì $1 + 2 + 3 + . . . . + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

Nên: $u_{n} = \frac{n (n + 1)}{2 (n^{2} + 1)}$

$\begin{aligned} \Rightarrow lim u_{n} = lim \frac{n (n + 1)}{2 (n^{2} + 1)} = lim \frac{n^{2} (1 + \frac{1}{n})}{n^{2} (2 + \frac{2}{n^{2}})} \\ = lim \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{2}{n^{2}}} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

Chọn đáp án B.

Câu 11 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11: Cho dãy số

(u_{n})

với :

u_{n} = \sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2} + . . . . . . + (\sqrt{2})^{n}

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $lim u_{n} = \sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2} + . . . + (\sqrt{2})^{n} + . . .$ $= \frac{\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$

B. $lim u_{n} = - \infty$

C. $lim u_{n} = + \infty$

D. Dãy số $(u_{n})$ không có giới hạn khi $n \to + \infty$

Phương pháp giải:

Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là u1 và công bội q là: $\frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ .

Lời giải:

+ Ta có $(u_{n})$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là $u_{1} = \sqrt{2}$ và công bội $q = \sqrt{2}$ nên:

$\begin{aligned} u_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{\sqrt{2} [1 - {(\sqrt{2})}^{n}]}{1 - \sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{2} [{(\sqrt{2})}^{n} - 1]}{\sqrt{2} - 1} \\ \Rightarrow lim u_{n} = lim \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} . [{(\sqrt{2})}^{n} - 1] \end{aligned}$

Vì $\sqrt{2} > 1$ nên $lim [(\sqrt{2})^{n} - 1] = + \infty; \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} > 1$ ;

$\Rightarrow lim u_{n} = + \infty$

Chọn đáp án C.

Chú ý:

Đây không phải cấp số nhân lùi vô hạn nên không áp dụng công thức A được.

Câu 12 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11:

lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 3 x - 1}{x - 1}

bằng:

A. $- 1$ B. $- \infty$

C. $- 3$ D. $+ \infty$

Phương pháp giải:

Đánh giá giới hạn $\frac{L}{0}$ .

Lời giải:

Ta có: $lim_{x \to 1^{-}} (- 3 x - 1) = - 4 < 0$

${\begin{matrix} x - 1 < 0, \forall x < 1 \\ lim_{x \to 1^{-}} (x - 1) = 0 \end{matrix} \Rightarrow lim \frac{- 3 x - 1}{x - 1} = + \infty$

Chọn đáp án D.

Câu 13 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11: Cho hàm số: $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{x}$ .

$lim_{x \to - \infty} f (x)$ bằng:

A. $+ \infty$ B. $1$

C. $- \infty$ D. $- 1$

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu của hàm số cho lũy thừa bậc cao nhất của x và tính giới hạn.

Lời giải:

Ta có:

$lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{1 - x^{2}}{x} = lim \frac{x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - 1)}{x^{2} . \frac{1}{x}} = lim \frac{\frac{1}{x^{2}} - 1}{\frac{1}{x}}$

Vì $lim_{x \to - \infty} [\frac{1}{x^{2}} - 1] = - 1 < 0$ (1)

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0, x \to - \infty \Rightarrow \frac{1}{x} < 0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$

Chọn đáp án A.

Câu 14 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11: Cho hàm số:

$f (x) = {\begin{matrix} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} nếu x \neq 3 \\ m nếu x = 3 \end{matrix}$

Hàm số đã cho liên tục tại $x = 3$ khi $m$ bằng:

A. $4$ B. $- 1$

C. $1$ D. $- 4$

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại x = 3khi và chỉ khi $lim_{x \to 3} f (x) = f (3)$

Lời giải:

Ta có:

+) $f (3) = m$

+) $lim_{x \to 3} f (x)$ $= lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2}$ $= lim_{x \to 3} \frac{(3 - x) (\sqrt{x + 1} + 2)}{x + 1 - 4}$ $= lim_{x \to 3} \frac{(3 - x) (\sqrt{x + 1} + 2)}{- (3 - x)}$ $= lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} + 2}{- 1}$ $= \frac{\sqrt{3 + 1} + 2}{- 1}$ $= - 4$

Hàm số $y = f (x)$ liên tục tại $x = 3$ $\Leftrightarrow lim_{x \to 3} f (x) = f (3) \Leftrightarrow m = - 4$

Chọn đáp án D.

Câu 15 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11:Cho phương trình:

- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0

(1)

Mệnh đề sai là:

A. Hàm số $f (x) = - 4 x^{3} + 4 x - 1$ liên tục trên $R$

B. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng $(- \infty, 1)$

C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng $(- 2, 0)$

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $(- 3, \frac{1}{2})$

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) và có $f (a) . f (b) < 0$ . Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm $x_{0} \in (a; b)$ .

Lời giải:

Mệnh đề A đúng vì $f (x)$ là hàm số đa thức nên liên tục trên $R$ .

Mệnh đề B sai vì:

+ Xét hàm số $f (x) = - 4 x^{3} + 4 x - 1$ , ta có $f (1) = - 1; f (- 2) = 23 \Rightarrow f (1) . f (- 2) = - 23 < 0$

+ Ta lại có hàm số $f (x)$ liên tục trên $(- 2, 1)$ nên phương trình có ít nhất một nghiệm $x_{0} \in (- 2, 1)$

Do đó, phương trình $- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$ có nghiệm trên $(- \infty, 1)$

Mệnh đề C đúng vì:

$f (0) = - 1, f (- 2) = 23$ $\Rightarrow f (- 2) . f (0) = - 23 < 0$

nên phương trình $f (x) = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $(- 2; 0)$ .

Mệnh đề D đúng vì:

$f (\frac{1}{2}) = - 4. {(\frac{1}{2})}^{3} + 4. \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow f (0) . f (\frac{1}{2}) = (- 1) . \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} < 0$ nên phương trình $f (x) = 0$ có nghiệm ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0; \frac{1}{2})$

Mà pt $f (x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(- 2; 0)$ nên $f (x) = 0$ có ít nhất 2 nghiệm thuộc $(- 2; \frac{1}{2}) \subset (- 3; \frac{1}{2})$ .