Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

I. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

I.1 Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu:  hay u_n → 0 khi n → +∞.

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞ nếu 

Kí hiệu:  hay v_n → a khi n → +∞.

I.2  Một vài giới hạn đặc biệt

a)  với k nguyên dương;

b)  nếu |q| < 1;

Chú ý: Từ nay về sau thay cho  ta viết tắt là lim u_n = a.

I.3  Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

    lim (u_n + v_n) = a + b

    lim (u_n – v_n) = a – b

    lim (u_n.v_n) = a.b

I.4 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

I.5  Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì 

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (u_n) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

Kí hiệu: lim u_n = –∞ hay u_n → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: u_n = +∞ ⇔ lim(–u_n) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qⁿ = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì 

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0, ∀ n > 0 thì 

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì

II. Bài tập Giới hạn của dãy số

Câu 1: Cho cấp số nhân $u_n=\frac{1}{2^n}\forall n\ge 1$ .Khi đó:

A. $S=1$ 

B.  $S=\frac{1}{2^n}$

C.  $S=0$

D.  $S=2$

Đáp án: A

Câu 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn 0 ?

A. $u_n=\frac{n}{2}$

B.  $u_n=\frac{2}{n}$

C.  $u_n=n$

D.  $u_n=\sqrt{n}$

Đáp án: B

Câu 3: Cho $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân công bội $q=\frac{1}{3}$ và số hạng đầu $u_1=2$,

Đặt $S=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n$ . Giá $\lim S_n$ là:

A.   1

B.   23

C.   43

D.   3

Đáp án: D

Câu 4: Cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_1=2,u_2=1$. Đặt $S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n$ ), khi đó:

A.  $S_n=4\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$

B.  $S_n=4$

C.  $S_n=2$

D.  $S_n=\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$

Đáp án: A

Câu 5: Giá trị của $C=\lim \sqrt{\frac{{3.3}^n+4^n}{3^{n+1}+4^{n+1}}}$ bằng:

A.  +∞

B.  $\frac{1}{2}$

C.  0

D.  1

Đáp án: B

Câu 6: Biết $\lim u_n=3$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=3$

B. $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=-1$

C.  $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=2$

D.  $\lim \frac{3u_n-1}{u_n+1}=1$

Đáp án: C

Câu 7: Biết $\lim u_n=+\infty$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.  $\lim \frac{u_n+1}{3u_n^2+5}=1$

B.  $\lim \frac{u_n+1}{3u_n^2+5}=0$

C.  $\lim \frac{u_n+1}{3u_n^2+5}=\frac{1}{3}$

D.  $\lim \frac{u_n+1}{3u_n^2+5}=+\infty$

Đáp án: B

Câu 8: Cho hai dãy số $\left(u_n\right)$ , $\left(v_n\right)$ với $u_n=\frac{1}{n}$,$v_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$.

Biết  $\left|\frac{{(-1)}^n}{n}\right|\le \frac{1}{n}$. Chọn kết luận không đúng:

A.  $\lim u_n=0$

B.  $\lim v_n=0$

C.  $\lim u_n-\lim v_n=0$

D.  Không tồn tại 

Đáp án: D

Câu 9: Giới hạn $\lim \left({3.2}^{n+1}-{5.3}^n+7n\right)$ bằng :

A.  −∞.

B.  +∞.

C.  3.

D.  −5.

Đáp án: A

Câu 10: Giới hạn $\lim \frac{{\left(2-5n\right)}^3{(n+1)}^2}{2-25n^5}$ bằng?

A.   −4.

B.   −1.

C.   5.

D.   $\frac{-3}{2}$.

Đáp án: C

Câu 11: Giá trị của $\lim \frac{{(2n^2+1)}^4{(n+2)}^9}{n^{17}+1}$ bằng:

A.   +∞

B.   −∞

C.   16

D.   1

Đáp án: C

Câu 12: Chọn kết luận không đúng:

A.  $\lim \frac{1}{2^n}=0$

B.  $\lim \frac{1}{3^n}=0$

C.  $\lim \frac{1}{0,5^n}=0$

D.  $\lim \frac{1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}=0$  

Đáp án: C

Câu 13: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn $L=-\frac{1}{2}$. Chọn kết luận đúng:

A.  $lim\left(u_n+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$

B.  $lim\left(u_n+\frac{1}{2}\right)=0$

C.  $lim\left(u_n-\frac{1}{2}\right)=0$

D.  $lim\left(u_n-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$

Đáp án: B

Câu 14: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$. Khi đó $\lim \left(u_n\right)$ bằng?

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1.

D. 2

Đáp án: B

Câu 15: Giá trị của $D=\lim \left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt[3]{n^3+2n^2}\right)$ bằng:

A.  +∞

B.  −∞

C.  $\frac{1}{3}$

D.  1

Đáp án: C

Câu 16: Cho các dãy số $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$có $\lim u_n=\frac{5}{3}$, $\lim v_n=-\frac{2}{3}$. Chọn đáp án đúng:

A. $\lim \left(u_n-2v_n\right)=\frac{1}{3}$ 

B.  $\lim \left(2u_n-v_n\right)=4$

C.  $\lim \left(u_n-v_n\right)=1$

D.  $\lim \left(u_n+v_n\right)=\frac{1}{3}$

Đáp án: B

Câu 17: Cho $u_n=\frac{1-4n}{5n}$. Khi đó lim $u_n$ bằng?

A. $\frac{1}{5}$

B.  $\frac{-4}{5}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{-1}{5}$

Đáp án: B

Câu 18: Cho $u_n=\frac{n^2-3n}{1-4n^3}$. Khi đó $\lim u_n$ bằng?

A.   0

B. $\frac{-1}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $-\frac{3}{4}$

Đáp án: A

Câu 19: Cho $u_n=\frac{3^n+5^n}{5^n}$. Khi đó $\lim u_n$ bằng?

A.   0.

B.   1.

C.   $\frac{3}{5}$. 

D.   +∞.

Đáp án: B

Câu 20: Giá trị $\lim (n^3-2n+1)$ bằng

A.   0

B.   1

C.   −∞

D.   +∞

Đáp án: D

Câu 21: Giá trị $\lim (5n-n^2+1)$ bằng

A.   +∞

B.   −∞

C.   5

D.   −1

Đáp án: B

Câu 22. Giới hạn $\lim \left(\sqrt{n^2-n}-n\right)$ bằng?

A.  −∞.

B. $-\frac{1}{2}$.

C.   0.                

D.  +∞.

Đáp án: B

Câu 23: Giá trị của $B=\lim \left(\sqrt[3]{n^3+9n^2}-n\right)$ bằng:

A.  +∞

B.  −∞

C.  0

D.  3

Đáp án: D

Câu 24: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với

$u_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$+ 1. Khi đó $\lim \left(u_n\right)$bằng?

A.  $\frac{1}{2}$

B.  $\frac{1}{4}$

C.   1

D.   2

Đáp án: A

Câu 25: Giá trị $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n(n+1)}$ bằng

A.   −1.

B.   1.

C.   +∞.

D.   0.

Đáp án: D

Câu 26. Giới hạn $\lim \left(\sqrt{n^2-n+1}-\sqrt{n^2+1}\right)$ bằng?

A.   0.

B.  $-\frac{1}{2}$

C. $-\frac{1}{\sqrt{2}}$

D.  $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Đáp án: B

Câu 27: Giới hạn $\lim \frac{2n^2-n+4}{\sqrt{2n^4-n^2+1}}$ bằng?

A.  1

B. $\sqrt{2}$

C.  2

D.  $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Đáp án: B

Câu 28: Cho các số thực a, b thỏa $\left|a\right|<1;\left|b\right|<1$.

Tìm giới hạn $I=\lim \frac{1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n}$

A.   +∞

B.  $\frac{1-a}{1-b}$

C.  $\frac{1-b}{1-a}$

D.   1

Đáp án: C

Câu 29: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2},\left(n\ge 1\right)\end{array}\right.$. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Dãy $\left(u_n\right)$ là dãy giảm tới 1 khi n→+∞.

B. Dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng tới 1 khi n→+∞.

C. Không tồn tại giới hạn của dãy $\left(u_n\right)$.

D. Cả 3 đáp án trên đều sai.

Đáp án: C

Câu 30: Tính giới hạn của dãy số $u_n=q+2q^2+\mathrm{...}+n{q}^n$ với $\left|q\right|<1$

A. +∞

B. −∞ 

C. $\frac{q}{{\left(1-q\right)}^2}$

D. $\frac{q}{{\left(1+q\right)}^2}$

Đáp án: C

Câu 31: Tính lim(5n - n² + 1)

A. +∞

B. -∞

C. 5.

D. -1

B. 0

C. 3

D. - 7

Đáp án: A

A. – 3

B. 1

C. 2

D. 0

Đáp án: C

A. 1

B. 0

C. +∞

D. -∞

Đáp án: B

A. 3/2

B. 0

C. +∞.

D. 1