Lời giải:

Vì $lim{\displaystyle \frac{1}{n^3}}=0$ nên theo định nghĩa thì

${\displaystyle \frac{1}{n^3}}$ luôn nhỏ hơn một số dương $A$ bé tùy ý, kể từ một số hạng $N_0$ nào đó trở đi.

(${\displaystyle \frac{1}{n^3}}<A\iff n^3>{\displaystyle \frac{1}{A}}\Rightarrow n>\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{A}}}$. Chọn $N_0=[\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{A}}}]+1$, tức là từ số hạng thứ $n$ mà $n>N_0$ thì ${\displaystyle \frac{1}{n^3}}$ luôn nhỏ hơn $A$)

Mà $\left|u_n-1\right|<{\displaystyle \frac{1}{n^3}}$ nên $\left|u_n-1\right|<A$ với mọi $n>N_0=[\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{A}}}]+1$

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn $0$ thì $lim\left(u_n-1\right)=0$

$\Rightarrow lim{u}_n=1$. (đpcm)

Cách khác:

Các em có thể sử dụng định lý sau:

Cho hai dãy số $\left(u_n\right)$ và $\left(v_n\right)$. Nếu có $\left|u_n\right|\le v_n$ và $lim{v}_n=0$ thì $lim{u}_n=0$.

Cụ thể:

Vì $\left|u_n-1\right|<{\displaystyle \frac{1}{n^3}}$ và $lim{\displaystyle \frac{1}{n^3}}=0$ nên $lim\left(u_n-1\right)=0\iff lim{u}_n=1$.

a) $lim{\displaystyle \frac{6n-1}{3n+2}}$;

b) $lim{\displaystyle \frac{3n^2+n-5}{2n^2+1}}$;

c) $lim{\displaystyle \frac{3^n+{5.4}^n}{4^n+2^n}}$;

d) $lim{\displaystyle \frac{\sqrt{9n^2-n+1}}{4n-2}}$.

Phương pháp giải:

a) Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.

b) Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.

c) Chia cả tử và mẫu cho $4^n$ và sử dụng giới hạn $lim{q}^n=0\left(\left|q\right|<1\right)$.

d) Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.

Lời giải:

a)

Đặt $I=lim{\displaystyle \frac{6n-1}{3n+2}}$ $=lim{\displaystyle \frac{n\left(6-{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}{n\left(3+{\displaystyle \frac{2}{n}}\right)}}$$=lim{\displaystyle \frac{6-{\displaystyle \frac{1}{n}}}{3+{\displaystyle \frac{2}{n}}}}$

Vì khi $n\to \mathrm{\infty }$ thì $lim\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)=0$ nên $lim\left(6-{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)=6$ và $lim\left(3+{\displaystyle \frac{2}{n}}\right)=3$

Do đó $I={\displaystyle \frac{lim\left(6-{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}{lim\left(3+{\displaystyle \frac{2}{n}}\right)}}$ $={\displaystyle \frac{6}{3}}=2$

b)

Đặt $I=lim{\displaystyle \frac{3n^2+n-5}{2n^2+1}}$ $=lim{\displaystyle \frac{n^2\left(3+{\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{5}{n^2}}\right)}{n^2\left(2+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)}}$ $=lim{\displaystyle \frac{3+{\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{5}{n^2}}}{2+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}}$

Vì khi $n\to \mathrm{\infty }$ thì $lim\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)=0$ nên $=lim\left(3+{\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{5}{n^2}}\right)=3$ và $lim\left(2+\frac{1}{n^2}\right)=2$

Do đó $I={\displaystyle \frac{3}{2}}$

$lim{\displaystyle \frac{3^n+{5.4}^n}{4^n+2^n}}$;

c)

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $4^n$ ta được:

$lim{\displaystyle \frac{3^n+{5.4}^n}{4^n+2^n}}$ $=lim{\displaystyle \frac{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n+5}{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}}$ $={\displaystyle \frac{0+5}{1+0}}={\displaystyle \frac{5}{1}}$ $=5$.

d)

$lim{\displaystyle \frac{\sqrt{9n^2-n+1}}{4n-2}}$ = $lim{\displaystyle \frac{\sqrt{n^2\left(9-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}}{n(4-{\displaystyle \frac{2}{n}})}}$= $lim{\displaystyle \frac{\sqrt{9-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}}{4-{\displaystyle \frac{2}{n}}}}$ =${\displaystyle \frac{\sqrt{9}}{4}}$= ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

a) Gọi $u_n$ là diện tích của hình vuông màu xám thứ $n$. Tính $u_1,u_2,u_3$ và $u_n$.

b) Tính $lim{S}_n$ với $S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n$.

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích của hình vuông $S=a^2$ với $a$ là cạnh của hình vuông.

b) Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $S={\displaystyle \frac{u_1}{1-q}}\left(\left|q\right|<1\right)$.

Lời giải:

a)

Do hình vuông lớn có cạnh bằng 1, hình vuông màu xám thứ nhất có cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông lớn nên:

Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ nên $u_1={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4^1}}$.

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ nên ${\displaystyle u_2={\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{4^2}}$.

Hình vuông thứ ba có cạnh bằng ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ nên  ${\displaystyle u_3={\left(\frac{1}{8}\right)}^2=\frac{1}{4^3}}$

Tương tự, ta có $u_n={\displaystyle \frac{1}{4^n}}$

b)

Dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với  $u_1={\displaystyle \frac{1}{4}}$ và  $q={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Do đó

$lim{S}_n={\displaystyle \frac{u_1}{1-q}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{4}}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Lời giải:

Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=-1$ và $q=-{\displaystyle \frac{1}{10}}$

Vậy $S=-1+{\displaystyle \frac{1}{10}}-{\displaystyle \frac{1}{{10}^2}}+...+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{{10}^{n-1}}}+...$ $={\displaystyle \frac{u_1}{1-q}}$ $={\displaystyle \frac{-1}{1-(-{\displaystyle \frac{1}{10}})}}={\displaystyle \frac{-10}{11}}$.

a) $lim{\displaystyle \frac{3u_n-1}{u_n+1}};$

b) $lim{\displaystyle \frac{v_n+2}{v_n^2-1}}$.

Phương pháp giải:

a) Thay $lim{u}_n=3$ vào tính giới hạn.

b) Chia cả tử và mẫu cho $v_n^2$.

Lời giải:

a)

$lim{\displaystyle \frac{3u_n-1}{u_n+1}}={\displaystyle \frac{3lim{u}_n-1}{lim{u}_n+1}}={\displaystyle \frac{3.3-1}{3+1}}=2$

b)

Vì $lim{v}_n=+\mathrm{\infty }\Rightarrow lim{\displaystyle \frac{1}{v_n}}=0$

$lim{\displaystyle \frac{v_n+2}{v_n^2-1}}=lim{\displaystyle \frac{v_n^2\left({\displaystyle \frac{1}{v_n}}+{\displaystyle \frac{2}{v_n^2}}\right)}{v_n^2\left(1-{\displaystyle \frac{1}{v_n^2}}\right)}}$

$=lim{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{v_n}}+{\displaystyle \frac{2}{v_n^2}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{v_n^2}}}}={\displaystyle \frac{lim{\displaystyle \frac{1}{v_n}}+lim{\displaystyle \frac{2}{v_n^2}}}{1-lim{\displaystyle \frac{1}{v_n^2}}}}={\displaystyle \frac{0+0}{1-0}}=0$

Dưới đây ta sẽ trình bày một số phương pháp tìm giới hạn các dãy số thường gặp:

Dạng 1: Tính giới hạn dãy đa thức

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của $n$ ra làm nhân tử chung.

- Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân các giới hạn để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn $lim\left(n^3-n^2+n-1\right)$.

Ta có: $lim\left(n^3-n^2+n-1\right)=lim{n}^3\left(1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n^3}}\right)=+\mathrm{\infty }$

Dạng 2: Tính giới hạn dãy số hữu tỉ

Phương pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

- Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn $lim{\displaystyle \frac{2n-1}{n+1}}$.

Ta có: $lim{\displaystyle \frac{2n-1}{n+1}}=lim{\displaystyle \frac{2-{\displaystyle \frac{1}{n}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{n}}}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2$

Dạng 3: Giới hạn của dãy số chứa căn thức

Phương pháp:

- Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không.

+) Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1.

+) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:

- Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1.

Ví dụ: Tính giới hạn $lim\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)$.

Ta có:

$lim\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)=$ $lim{\displaystyle \frac{\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+2n}+n\right)}{\left(\sqrt{n^2+2n}+n\right)}}$ $=lim{\displaystyle \frac{n^2+2n-n^2}{\left(\sqrt{n^2+2n}+n\right)}}$ $=lim{\displaystyle \frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}}$ $=lim{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{2}{n}}}+1}}={\displaystyle \frac{2}{1+1}}=1$

Dạng 4: Dãy số chứa lũy thừa, mũ

Phương pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất.

- Bước 2: Sử dụng nhận xét $lim{q}^n=0$ với $\left|q\right|<1$.

Ví dụ: $lim{\displaystyle \frac{2^n+5^n}{{2.3}^n+{3.5}^n}}=lim{\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n+1}{2.{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n+3.1}}={\displaystyle \frac{0+1}{2.0+3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Dạng 5: Tính giới hạn bằng chứng minh hoặc dùng định nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số $\left(u_n\right),\left(v_n\right),\left(w_n\right)$.

Nếu $u_n<v_n<w_n,\mathrm{\forall }n$ và $lim{u}_n=lim{w}_n=L\Rightarrow lim{v}_n=L$.

Ta thường sử dụng phương pháp này cho việc tính giới hạn các dãy số có chứa sin, cos.

Ví dụ: Tính $lim{\displaystyle \frac{\sin 3n}{n}}$.

Ta có: $-1\le \sin 3n\le 1\Rightarrow {\displaystyle \frac{-1}{n}}\le {\displaystyle \frac{\sin 3n}{n}}\le {\displaystyle \frac{1}{n}}$

Mà $lim\left(-{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)=0;lim\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)=0$  nên $lim{\displaystyle \frac{\sin 3n}{n}}=0$.

1. Giới hạn hữu hạn

+) $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ khi và chỉ khi $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a\iff \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n-a)=0$.

2. Giới hạn vô cực

+) $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\infty$ khi và chỉ khi $u_n$ có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+ $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\infty \iff \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-u_n)=+\infty$.

3. Các giới hạn đặc biệt

a) $lim\frac{1}{n}=0$;

    $lim\frac{1}{n^k}=0$;

$lim{n}^k=+\infty$, với $k$ nguyên dương.

b) $lim{q}^n=0$ nếu $|q|<1$;

    $lim{q}^n=+\infty$ nếu $q>1$.

c) $limc=c$ ($c$ là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu $lim{u}_n=a$ và $lim{v}_n=b$, thì:

$lim\left(u_n+v_n\right)=a+b$

$lim(u_n-v_n)=a-b$

$lim(u_n.v_n)=ab$

$lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}$ (nếu $b\ne 0$).

b) Nếu $u_n\ge 0$ với mọi $n$ và $lim{u}_n=a$ thì $a>0$ và $lim\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu $lim{u}_n=a$ và $lim{v}_n=\pm \infty$ thì $lim\frac{u_n}{v_n}=0$.

b)  Nếu $lim{u}_n=a>0$, $lim{v}_n=0$ và $v_n>0$ với mọi $n$ thì $lim\frac{u_n}{v_n}=+\infty$

c) Nếu $lim{u}_n=+\infty$ và $lim{v}_n=a>0$ thì $lim(u_n.v_n)=+\infty$.

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội $q$ thỏa mãn $|q|<1$.

+) Công thức tính tổng $S$ của cấp số lùi vô hạn $(u_n)$:

$S=u_1+u_2+...+u_n+...=\frac{u_1}{1-q}$