1. Định nghĩa

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ_d

Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng với nhau qua d.

Nhận xét

    Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M₀ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó M’ = Đ_d(M) ⇔ M₀M'→ = - M₀M→.

    M’ = Đ_d(M) ⇔ M = Đ_d(M’)

2. Biểu thức toạ độ

    Nếu d ≡ Ox. Gọi M’(x’; y’) = Đ_Ox[M(x,y)] thì

    Nếu d ≡ Oy. Gọi M’(x’; y’) = Đ_Oy[M(x,y)] thì

3. Tính chất

Tính chất 1

    Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

    Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

4. Trục đối xứng của một hình

Định nghĩa

    Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

1. Định nghĩa

    Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

    Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

    Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I.

    Nếu hình H là ảnh của hình H qua Đ_I thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua tâm I, hay H và H’ đối xứng với nhau qua I.

    Từ đinh nghĩa suy ra M = Đ_I(M) ⇔ IM'→ = - IM→

2. Biểu thức toạ độ

    Với O(0;0), ta có M(x’; y’) = Đ_O[M(x;y)] thì

    Với I(a; b), ta có M(x’; y’) = Đ_I(x’; y’) thì

3. Tính chất

Tính chất 1

    Nếu Đ_I(M) = M’ và Đ_I(N) = N thì M'N'→ = – MN→, từ đó suy ra M’N’ = MN.

Tính chất 2

    Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

4. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa

    Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó.

    Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng.

PHÉP QUAY

1. Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; ON’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.

- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.

- Phép quay tâm O góc α thường được kí hiệu là Q_{(O, α)}

2. Tính chất

Tính chất 1

    Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

    Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BĂNG NHAU

1. Định nghĩa

    Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nhận xét

    Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

    Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.

2. Tính chất

Phép dời hình:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng bằng nó;

    Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Khái niệm hai hình bằng nhau

Định nghĩa

    Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

PHÉP VỊ TỰ

1. Định nghĩa

    Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM'→ = kOM→ được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.

    Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V_(O;k).

Nhận xét

    Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

    Khi k = 1, phép vị tự là đồng nhất.

    Khi k = –1, phép vị tự là phép đối xứng tâm.

    M’ = V_{(O; k)}(M) ⇔ M = V_{(O; 1/k)}(M’)

2. Tính chất

Tính chất 1

    Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì M'N'→ = kMN→ và M’N’ = |k|.MN.

Tính chất 2

Phép vị tự tỉ số k:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

    Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R.

PHÉP ĐỒNG DẠNG

1. Định nghĩa

    Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = k.MN.

Nhận xét

    Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

    Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

2. Tính chất

Phép đồng dạng tỉ số k:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng;

    Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.

3. Hình đồng dạng

Định nghĩa

    Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

B. Bài tập Ôn tập chương 1 Hình học

Câu 1: Trong một mặt phẳng, với phép biến hình f biến hình H thành hình H’. Khi đó

A. Mỗi hình H’ có ít nhất một hình H mà f(H) = H’

B. Mỗi hình H’ có không quá một hình H mà f(H) = H’

C. Mỗi hình H’ có chỉ một hình H mà f(H) = H’

D. Mỗi hình H’ có không phải một hình H mà f(H) = H’

Đáp án: C

Câu 2:  Cho tam giác ABC với G là trọng tâm, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $A^{\text{'}},B^{\text{'}},C^{\text{'}}$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác ABC. Hỏi qua phép biến hình nào thì điểm O biến thành điểm H ?

A. Phép vị tự tâm G , tỉ số -2 .

B. Phép quay tâm O , góc quay $60°$ . 

C. Phép tịnh tiến theo vectơ $\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ .

D. Phép vị tự tâm G, tỉ số $\frac{1}{2}$ .

Đáp án: A

Câu 3: Trong mặt phẳng, với H là một hình (không phải một điểm) và phép biến hình f mà f(H) = H’. Khi đó

A. f(M) = M với mọi điểm M thuộc H

B. f(M) ≠ M với mọi điểm M thuộc H

C. f(M) ≠ M hoặc f(M) = M với điểm M thuộc H

D. f(M) = M với đúng một điểm M thuộc H

Đáp án: C

Câu 4: Trong mặt phẳng,

A. Nếu phép biến hình f biến hình H thành hình H thì f là phép đồng nhất

B. Nếu phép biến hình f biến điểm M thành điểm M thì f là phép đồng nhất

C. Nếu phép biến hình f biến một số điểm M thành chính nó thì f là phép đồng nhất

D. Nếu phép biến hình f biến mọi điểm M thành chính nó thì f là phép đồng nhất

Đáp án: D

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây là sai ?

Trong mặt phẳng, có phép biến hình f

A. Biến mọi điểm M thành một điểm M’

B. Biến mọi điểm M thuộc đường thẳng d thành một điểm M’

C. Biến một điểm M thành hai điểm M’ và M’’ phân biệt

D. Biến hai điểm phân biệt M và M’ thành một điểm M’’

Đáp án: C

Câu 6: Cho hai điểm A,B phân biệt. Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A. Có duy nhất phép đối xứng trục biến điểm A  thành B.

B. Có duy nhất phép đối xứng tâm biến điểm A thành B.

C. Có duy nhất phép tịnh tiến biến điểm A thành  B.

D. Có duy nhất phép vị tự biến điểm A thành B.

Đáp án: D

Câu 7: Cho hai đường tròn tiếp xúc nhau ở A. Hãy chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:

A. Tiếp điểm A  là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

B. Tiếp điểm  A là một trong hai tâm vị tự trong hoặc ngoài của hai đường tròn.

C. Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài thì tiếp điểm A  là tâm vị tự trong.

D. Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc trong thì tiếp điểm  A là tâm vị tự ngoài.

Đáp án: A

Câu 8: Cho hai đường tròn bằng nhau $\left(O;R\right)$ và $\left(O^{\text{'}};R\right)$. Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn  $\left(O;R\right)$ thành $\left(O^{\text{'}};R\right)$ ?

A. Vô số.

B. 1 .

C. 2 .

D. Không có.

Đáp án: B

Câu 9: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Có một phép tịnh tiến biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.

B. Có một phép quay biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.

C. Có một phép vị tự biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.

D. Có một phép đối xứng trục biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.

Đáp án: D

Câu 10: Trong một mặt phẳng, với phép biến hình f biến hình H thành hình H’. Khi đó

A. Hình H’ có thể trùng với hình H

B. Hình H’ luôn luôn trùng với hình H

C. Hình H’ luôn là tập con của hình H

D. Hình H luôn là tập con của hình H’

Đáp án: A

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình  $x+2y–1=0$ và vectơ $\overrightarrow{v}=\left(2;m\right)$. Để phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$ biến đường thẳng d  thành chính nó, ta phải chọn m là số:

A.  2.

B.  -1.

C.  1.

D.  3. 

Đáp án: B

Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $d:Ax+By+C=0$ và điểm $I\left(a;b\right)$. Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành đường thẳng $d\text{'}$ có phương trình:

A. $Ax+By+C–2\left(Aa+Bb+C\right)=0$.

B. $Ax+By+2C–3\left(Aa+Bb+C\right)=0$

C.  $Ax+3By+2C–27=0$.

D.  $Ax+By+C–Aa–Bb–C=0$. 

Đáp án: A

Câu 13: Giả sử $\left(H_1\right)$ là hình gồm hai đường thẳng song song, $\left(H_2\right)$ là hình bát giác đều. Khi đó:

A. $\left(H_1\right)$ không có trục đối xứng, không có tâm đối xứng; $\left(H_2\right)$ có 8 trục đối xứng.

B. $\left(H_1\right)$ có vô số trục đối xứng, vô số có tâm đối xứng; $\left(H_2\right)$ có 8 trục đối xứng.

C. $\left(H_1\right)$ chỉ có một có trục đối xứng, không có tâm đối xứng; $\left(H_2\right)$ có 8 trục đối xứng.

D. $\left(H_1\right)$ có vô số trục đối xứng, chỉ có một tâm đối xứng; $\left(H_2\right)$ có 8 trục đối xứng.

Đáp án: B

Câu 14: Thực hiện liên tiếp một phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến ta được:

A. Phép quay.

B. Phép đối xứng trục.

C. Phép đối xứng tâm.

D. Phép tịnh tiến.

Đáp án: C

Câu 15: Cho hình $\left(H\right)$ gồm hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\text{'}}\right)$ có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại hai điểm. Trong những nhận xét sau, nhận xét nào đúng?

A. $\left(H\right)$ có hai trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.

B. $\left(H\right)$ có một trục đối xứng.

C. $\left(H\right)$ có hai tâm đối xứng và một trục đối xứng.

D. $\left(H\right)$  có một tâm đối xứng và hai trục đối xứng.

Đáp án: D

Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho phép đối xứng trục Oy, phép đối xứng trục Oy biến parabol $\left(P\right):x=4y^2$ thành parabol $\left(P^{\text{'}}\right)$ có phương trình là:

A. $y=4x^2$ .

B.  $y=–4x^2$.

C.  $x=–4y^2$.

D.  $x^2=y$. 

Đáp án: C

Câu 17: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?

A. Các hình HE, SHE, IS có một trục đối xứng

B. Các hình: CHAM, HOC, THI, GIOI không có trục đối xứng.

C. Các hình: SOS, COC, BIB có hai trục đối xứng

D. Có ít nhất một trong ba mệnh đề a,b,c  sai.

Đáp án: A

Câu 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)$  biến parabol (P): thành parabol (P): $y=x^2+1$ có phương trình $\left(P^{\text{'}}\right)$ là:

A. $y=–x^2–6x+5$.

B. $y=–x^2+6x–5$.

C. $y=x^2+6x+11$.

D. $y=–x^2–6x–7$. 

Đáp án: C

Câu 19: Cho hai điểm O và $O\text{'}$ phân biệt. Biết rằng phép đối xứng tâm O biến điểm M thành $M\text{'}$. Phép biến hình biến M thành $M_1$, phép đối xứng tâm $O\text{'}$ biến điểm $M_1$ thành $M\text{'}$. Phép biến hình biến M thành $M_1$ là phép gì?

A. Phép quay.

B. Phép vị tự.

C. Phép đối xứng tâm.

D. Phép tịnh tiến.

Đáp án: D

Câu 20: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.

B. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục.

C. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm sẽ được một phép đối xứng tâm.

D. Thực hiện liên tiếp hai phép quay sẽ được một phép quay.

Đáp án: A

Câu 21: Hai đường thẳng $\left(d\right)$ và $\left(d\text{'}\right)$ song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thằng $\left(d\right)$  thành đường thẳng $\left(d\text{'}\right)$ ?

A. Vô số.

B.  1.

C.  2.

D.  3. 

Đáp án: A

Câu 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm $A\left(2;5\right)$. Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)$ biến điểm A thành điểm nào trong các điểm sau đây?

A.  $B\left(3;1\right)$.

B.  $C\left(1;6\right)$.

C.  $D\left(3;7\right)$.

D.  $E\left(4;7\right)$.

Đáp án: C

Câu 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ, cho điểm $A\left(4;5\right)$. Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left(2;1\right)$ ?

A.  $B\left(3;1\right)$.

B.  $C\left(1;6\right)$.

C.  $D\left(4;7\right)$.

D.  $E\left(2;4\right)$. 

Đáp án: D

Câu 24: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Phép dời hình là một phép đồng dạng.

B. Phép vị tự là một phép đồng dạng.

C. Phép quay là một phép đồng dạng.

D. Phép đồng dạng là một phép dời hình.

Đáp án: D

Câu 25: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}\left(1;3\right)$ biến điểm  $M\left(–3;1\right)$ thành điểm $M\text{'}$ có tọa độ là:

A. $\left(–2;4\right)$.

B. $\left(–4;–2\right)$.

C. $\left(2;–4\right)$.

D. $\left(4;2\right)$.

Đáp án: A

Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy, cho $M\left(2;1\right)$. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}\left(2;3\right)$ biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau đây:

A.  $A\left(1;3\right)$.

B.  $B\left(2;0\right)$.

C.  $C\left(0;2\right)$.

D.  $D\left(4;4\right)$.

Đáp án: C

Câu 27: Trong mặt phẳng Oxy. Cho đường tròn $\left(C\right): {\left(x–1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=4$. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}\left(2;3\right)$ biến đường tròn $\left(C\right)$ thành đường tròn nào trong các phương trình sau đây:

A. $x^2+y^2=4$.

B. ${\left(x–2\right)}^2+{\left(y–6\right)}^2=4$.

C. ${\left(x–2\right)}^2+{\left(y–3\right)}^2=4$.

D. ${\left(x–1\right)}^2+{\left(y–1\right)}^2=4$.

Đáp án: D

Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $∆: x+y-2=0$. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}\left(3;2\right)$ biến đường thẳng $∆$ thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây:

A. $3x+3y–2=0$.

B. $x–y+2=0$.

C. $x+y+2=0$.

D. $x+y–3=0$.

Đáp án: D

Câu 29: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Thực hiện liên tiếp 2 phép tịnh tiến ta được một phép tịnh tiến.

B. Thực hiện liên tiếp 2 phép đối xứng trục ta được một phép đối xứng trục.

C. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm và phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng qua tâm.

D. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.

Đáp án: A

Câu 30: Trong mặt phẳng Oxy. Cho đường thẳng $\Delta :x+y–2=0$. Phép vị tự tâm  O tỉ số  k = -2 biến đường thẳng $∆$ thành $∆\text{'}$ có phương trình là:

A. $2x+2y=0$.

B. $2x+2y–4=0$.

C. $x+y+4=0$.

D. $x+y–4=0$.

Đáp án: C

Câu 31: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I (-1; -1) tỉ số  và phép quay tâm O góc -45 độ

A. x = 0 

B. y = 0 

C. x +y = 0

D. x - y = 0

Đáp án: A

Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị của hàm số y = sin⁡x. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ thị đó thành chính nó?

A. Không      

B. Một

C. Hai      

D. Vô số

Đáp án: D

Câu 33. Trong mặt phẳngOxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)² + (y - 2)² = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A. (x - 2)² + (y - 4)² = 16.

B. (x - 4)² + (y - 2)² = 4.

C. (x - 4)² + (y - 2)² = 16.

D. (x + 2)² + (y + 4)² = 16.

Đáp án: D

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)² + (y + 1)² = 9. Gọi (C')là ảnh của đường tròn (C) qua việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số  và phép tịnh tiến theo vectơ  = (1; -3). Tính bán kính R' của đường tròn (C').

A. R' = 9.

B. R' = 3.

C. R' = 27.

D. R' = 1.

Đáp án: D

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = -3, biến điểm M(-4;3) thành điểm M’ có tọa độ

A. M'(-12; -9)   

B. M'(12; 9)

C. M'(-9; 12)   

D. M'(12; -9)

Đáp án: A