Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Phép vị tự (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Phép vị tự (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

I. Lý thuyết Phép vị tự

1. Định nghĩa

    Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM'→ = kOM→ được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.

    Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V_(O;k).

Nhận xét

    Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

    Khi k = 1, phép vị tự là đồng nhất.

    Khi k = –1, phép vị tự là phép đối xứng tâm.

    M’ = V_{(O; k)}(M) ⇔ M = V_{(O; 1/k)}(M’)

2. Tính chất

Tính chất 1

    Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì M'N'→ = kMN→ và M’N’ = |k|.MN.

Tính chất 2

Phép vị tự tỉ số k:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

    Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R.

II. Bài tập Phép vị tự

Câu 1. Cho hai đường thẳng song song d và $d\text{'}$. Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số $k=20$ biến đường thẳng d thành đường thẳng $d\text{'}$?

A.  0

B.  1

C.  2

D. Vô số.

Đáp án: D

Câu 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và $d\text{'}$. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành đường thằng $d\text{'}$?

A.  0

B.  1

C.   2

D. Vô số.

Đáp án: A

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm $A\left(1;2\right)$, $B\left(-3;4\right)$ và $I\left(1;1\right)$. Phép vị tự tâm I tỉ số $k=-\frac{1}{3}$ biến điểm A thành $A\text{'}$, biến điểm B thành $B\text{'}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.  $A\text{'}B\text{'}=AB.$

B.   $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right).$

C.   $A\text{'}B\text{'}=2\sqrt{5}.$

D.   $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\left(-4;2\right).$

Đáp án: B

Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và $d\text{'}$. Có bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành chính nó.

A. 0

B.  1

C.  2

D. Vô số.

Đáp án: D

Câu 5. Cho phép vị tự tỉ số k= 2 biến điểm A thành điểm B, biến điểm C thành điểm D. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}.$ 

B. $2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.$

C. $2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}.$

D. $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BD}.$

Đáp án: C

Câu 6. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, D là trung điểm BC. Gọi V là phép vị tự tâm G tỉ số k biến điểm A thành điểm D. Tìm k.

A.  $k=\frac{3}{2}$

B.  $k=-\frac{3}{2}$

C.  $k=\frac{1}{2}$

D.  $k=-\frac{1}{2}$

Đáp án: D

Câu 7. Cho đường tròn $\left(O;R\right)$. Có bao nhiêu phép vị tự biến $\left(O;R\right)$ thành chính nó?

A.  0

B.  1

C.  2

D. Vô số.

Đáp án: D

Câu 8. Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn $\left(O;R\right)$ thành đường tròn $\left(O;R\right)$ 

với $R\ne R\text{'}$?

A. 0

B.  1

C.  2 

D. Vô số.

Đáp án: C

Câu 9. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 1 là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm.

B. Phép đối xứng trục.

C. Phép quay một góc khác $k\pi$.

D. Phép đồng nhất.

Đáp án: D

Câu 10. Phép vị tự tâm O tỉ số k = -1 là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm.

B. Phép đối xứng trục.

C. Phép quay một góc khác $k\pi$.

D. Phép đồng nhất.

Đáp án: A

Câu 11. Phép vị tự không thể là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đồng nhất.

B. Phép quay.

C. Phép đối xứng tâm.

D. Phép đối xứng trục.

Đáp án: D

Câu 12. Phép vị tự tâm O tỉ số k $\left(k\ne 0\right)$  biến mỗi điểm M thành điểm $M\text{'}$.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{k}\overrightarrow{O{M}^{\text{'}}}.$

B. $\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{O{M}^{\text{'}}}.$

C. $\overrightarrow{OM}=-k\overrightarrow{O{M}^{\text{'}}}.$

D. $\overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{O{M}^{\text{'}}}.$

Đáp án: A

Câu 13. Phép vị tự tâm O tỉ số -3 lần lượt biến hai điểm A, B thành hai điểm C, D. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AC}=-3\overrightarrow{BD}.$

B. $3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$

C. $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{CD}.$

D. $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}.$

Đáp án: B

Câu 14. Cho hai đường tròn bằng nhau $\left(O;R\right)$ và $\left(O\text{'};R\text{'}\right)$ với tâm O và $O\text{'}$ phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến $\left(O;R\right)$ thành $\left(O\text{'};R\text{'}\right)$?

A.  0

B.  1

C.  2

D. Vô số.

Đáp án: B

Câu 15. Cho đường tròn $\left(O;R\right)$. Có bao nhiêu phép vị tự với tâm O biến thành $\left(O;R\right)$ chính nó?

A.  0

B.  1

C.  2

D. Vô số.

Đáp án: C

Câu 16. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi $A\text{'},B\text{'},C\text{'}$ lần lượt là trụng điểm của các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Khi đó, phép vị tự nào biến tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ thành tam giác ABC ?  

A. Phép vị tự tâm G , tỉ số k=2

B. Phép vị tự tâm G, tỉ số k= -2

C. Phép vị tự tâm G , tỉ số k = -3

D. Phép vị tự tâm G, tỉ số k = 3

Đáp án: B

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ lần lượt có phương trình $x-2y+1=0$,  $x-2y+4=0$ và điểm $I\left(2;1\right)$. Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng ${\Delta }_1$ thành ${\Delta }_2$. Tìm k.

A.  k= 1

B.  k= 2

C.  k= 3

D.  k= 4

Đáp án: D

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=4$ và điểm $I\left(2;-3\right)$. Gọi $\left(C\text{'}\right)$ là ảnh của $\left(C\right)$  qua phép vị tự tâm I tỉ số k= -2 . Khi đó $\left(C\text{'}\right)$ có phương trình là:

 A. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+19\right)}^2=16.$

B. ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y+9\right)}^2=16.$

C. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-19\right)}^2=16.$

D. ${\left(x+6\right)}^2+{\left(y+9\right)}^2=16.$

Đáp án: A

Câu 19. Xét phép vị tự $V_{\left(I,3\right)}$ biến tam giác ABC thành tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Hỏi chu vi tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ gấp mấy lần chu vi tam giác ABC .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 6

Đáp án: C

Câu 20. Một hình vuông có diện tích bằng 4. Qua phép vị tự $V_{\left(I,-2\right)}$ thì ảnh của hình vuông trên có diện tích tăng gấp mấy lần diện tích ban đầu.

A. $\frac{1}{2}.$

B. 2

C. 4

D. 8

Đáp án: C

Câu 21. Cho đường tròn $\left(O;3\right)$ và điểm I nằm ngoài $\left(O\right)$ sao cho $OI=9.$ Gọi $\left(O\text{'};R\text{'}\right)$ là ảnh của $\left(O;3\right)$ qua phép vị tự $V_{\left(I,5\right)}$. Tính $R\text{'}.$ 

A. $R\text{'}=9.$

B. $R\text{'}=\frac{5}{3}.$

C. $R\text{'}=27.$

D. $R\text{'}=15.$

Đáp án: D

Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm $I\left(2;3\right)$ tỉ số $k=-2$ biến điểm $M\left(-7;2\right)$ thành điểm $M\text{'}$ có tọa độ là:

A. $\left(-10;2\right)$

B. $\left(20;5\right)$

C. $\left(18;2\right)$

D. $\left(-10;5\right)$

Đáp án: B

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự V tỉ số k= 2 biến điểm $A\left(1;-2\right)$ thành điểm $A\text{'}\left(-5;1\right).$ Hỏi phép vị tự V biến điểm $B\left(0;1\right)$ thành điểm có tọa độ nào sau đây?

 A.  $\left(0;2\right).$

B.  $\left(12;-5\right).$

C.  $\left(-7;7\right).$

D.  $\left(11;6\right).$

Đáp án: C

Câu 24. Cho hai đường thẳng song song d và $d\text{'}$ và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thằng $d\text{'}$?

A.  0

B.  1

C.  2

D. Vô số.

Đáp án: B

Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm $M\left(4;6\right)$ và $M\text{'}\left(-3;5\right)$.

Phép vị tự tâm I , tỉ số $k=\frac{1}{2}$ biến điểm M thành $M\text{'}$. Tìm tọa độ tâm vị tự  I.

A.  $I\left(-4;10\right).$

B.  $I\left(11;1\right).$

C.  $I\left(1;11\right).$

D.  $I\left(-10;4\right).$

Đáp án: D

Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm $I\left(-2;-1\right),M\left(1;5\right)$ và $M\text{'}\left(-1;1\right)$.

Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành $M\text{'}$. Tìm k. 

A.  $k=\frac{1}{3}.$

B.  $k=\frac{1}{4}.$

C.  $k=3.$

D.  $k=4.$

Đáp án: A

Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $d:2x+y-3=0.$ Phép vị tự tâm O, tỉ số $k=2$ biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A.  $2x+y+3=0.$

B.  $2x+y-6=0.$

C.  $4x-2y-3=0.$

D.  $4x+2y-5=0.$

Đáp án: B

Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $\Delta :x+2y-1=0$ và điểm $I\left(1;0\right)$. Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng $∆$ thành $∆\text{'}$ có phương trình là:

A. $x-2y+3=0.$

B. $x+2y-1=0.$

C. $2x-y+1=0.$

D. $x+2y+3=0.$

Đáp án: B

Câu 29. Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy là AB và CD

thỏa mãn AB= 3CD . Phép vị tự biến điểm A thành điểm C và biến điểm B thành điểm D có tỉ số k là:

A.  $k=3.$

B.  $k=-\frac{1}{3}.$

C.  $k=\frac{1}{3}.$

D.  $k=-3.$

Đáp án: B

Câu 30. Cho hình thang ABCD, với $\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Xét phép vị tự tâm I tỉ số k biến $\overrightarrow{AB}$ thành $\overrightarrow{CD}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.  $k=-\frac{1}{2}.$    

B.  $k=\frac{1}{2}.$          

C.  $k=-2.$        

D.  $k=2.$

Đáp án: A

Câu 31. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 5x + 2y-7 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2.

A. 5x + 2y + 14 = 0.

B. 5x + 2y + 7 = 0.

C. 5x - 2y + 14 = 0.

D. 5x + 2y - 14 = 0.

Đáp án: A

Câu 32. Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: d: 4x – 3y + 1 = 0, k = -3

A. 4x – 2y – 3 = 0

B. 4x – 2y + 1 = 0

C. 12x + 9y – 3 = 0

D. 4x – 2y + 3 = 0

Đáp án: A

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình 2x + 3y - 1 = 0 và điểm I(-1;3), phép vị tự tâm I tỉ số k = -3 biến đường thẳng (d) thành đường thẳng (d'). Viết phương trình đường thẳng (d')

A. 2x + 3y + 25 = 0

B. 2x + 3y – 25 = 0

C. 2x – 3y – 25 = 0

D. 6x – 9y – 3 = 0

Đáp án: A

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm I(1;4) tỉ số k = -2, biến đường thẳng d có phương trình : 7x + 3y - 4 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình:

A. 7x + 3y - 49 = 0

B. 3x + 7y - 47 = 0

C. 7x + 3y + 49 = 0

D. 3x + 7y - 49 = 0

Đáp án: A

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = -2, biến đường tròn (C) có phương trình: x² + y² = 9 thành đường tròn (C’) có phương trình:

A. x² + y² = 18

B. x² + y² = 36

C. x² + y² = 9

D. x² + y² = 6

Đáp án: B