Toán 11 Bài 7: Phép vị tự | Giải Toán lớp 11

Trần Thị Hường Ngày: 20-05-2022 Lớp 11

419

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 7: Phép vị tự chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về phép vị tự lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 7: Phép vị tự

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Câu hỏi 1 trang 25 SGK Hình học 11: Cho tam giác

A B C .

Gọi

E

và

F

tương ứng là trung điểm của

A B

và

A C .

Tìm một phép vị tự biến

B

và

C

tương ứng thành

E

và

F .

Lời giải:

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} A E = \frac{1}{2} A B \\ A F = \frac{1}{2} A C \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B} \\ \vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{A C} \end{cases} \\ \Rightarrow {\begin{cases} V_{(A, \frac{1}{2})} (B) = E \\ V_{(A, \frac{1}{2})} (C) = F \end{cases} \end{array}$

Vậy: Phép vị tự tâm $A$ , tỉ số $\frac{1}{2}$ biến điểm $B$ thành điểm $E$ và biến điểm $C$ thành điểm $F .$

Câu hỏi 2 trang 25 SGK Hình học 11: Chứng minh nhận xét 4:

$M = V_{(O, k)} (M) \Leftrightarrow M = V_{(O, 1 / k)} (M)$ .

Lời giải:

$\begin{aligned} M^{'} = V_{(O, k)} (M) \Rightarrow \vec{O M^{'}} = k . \vec{O M} \\ \Rightarrow \vec{O M} = \frac{1}{k} \vec{O M^{'}} hay M = V_{(O, \frac{1}{k})} (M^{'}) \\ M = V_{(O, \frac{1}{k})} (M^{'}) \Rightarrow \vec{O M} = \frac{1}{k} \vec{O M^{'}} \\ \Rightarrow \vec{O M^{'}} = k . \vec{O M} h a y M^{'} = V_{(O, k)} (M) \end{aligned}$

Câu hỏi 3 trang 25 SGK Hình học 11: Để ý rằng: điểm B nằm giữa hai điểm A và C khi và chỉ khi

\vec{A B} = t \vec{A C}; 0 < t < 1

Sử dụng ví dụ trên chứng minh rằng nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’.

Phương pháp giải:

+) $B$ nằm giữa $A$ và $C$ $\Leftrightarrow \vec{A B} = t \vec{A C}; 0 < t < 1$ .

+) $\vec{A B} = t \vec{A C} \Leftrightarrow \vec{A^{'} B^{'}} = t \vec{A^{'} C^{'}}$ .

Lời giải:

Theo ví dụ 2, ta có:

$\vec{A B} = t \vec{A C} \Rightarrow \vec{A^{'} B^{'}} = t \vec{A^{'} C^{'}}$

Mà $0 < t < 1 \Rightarrow B^{'}$ nằm giữa $A^{'}$ và $C^{'}$ .

Câu hỏi 4 trang 26 SGK Hình học 11: Cho tam giác

A B C

có

A^{'}, B^{'}, C^{'}

theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

B C, C A, A B .

Tìm một phép vị tự biến tam giác

A B C

thành tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

(h.1.56).

Phương pháp giải:

Phép vị tự biến $Δ A B C$ thành $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ tức là biến các đỉnh $A, B, C$ tương ứng thành $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ .

Do đó cần tìm các phép vị tự cùng tâm, cùng tỉ số biến đỉnh cũ thành đỉnh mới.

Lời giải:

Theo đề bài ta có: $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}$ là các đường trung tuyến của $Δ A B C$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm $Δ A B C$

Suy ra

${\begin{matrix} \vec{G A^{'}} = - \frac{1}{2} \vec{G A} \\ \vec{G B^{'}} = - \frac{1}{2} \vec{G B} \\ \vec{G C^{'}} = - \frac{1}{2} \vec{G C} \end{matrix}$

Vậy phép vị tự tâm $G$ , tỉ số $k = - \frac{1}{2}$ biến mỗi điểm $A, B, C$ thành $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ nên biến tam giác $A B C$ thành tam giác $A^{'} B^{'} C^{'} .$

Bài tập trang 29 SGK Toán 11

Bài 1 trang 29 SGK Hình học 11: Cho tam giác

A B C

có ba góc nhọn và

H

là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác

A B C

qua phép vị tự tâm

H

, tỉ số

\frac{1}{2} .

Phương pháp giải:

+) Tìm ảnh của từng đỉnh. Ảnh của tam giác là tam giác tạo bởi ba điểm ảnh đó.

+) $V_{(H, \frac{1}{2})} (M) = M^{'} \Leftrightarrow \vec{H M^{'}} = \frac{1}{2} . \vec{H M}$ .

Lời giải:

Gọi $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ lần lượt là ảnh của $A, B, C$ qua $V_{(H, \frac{1}{2})}$ ta có:

+) $A^{'} = V_{(H, \frac{1}{2})} (A) \Rightarrow \vec{H A^{'}} = \frac{1}{2} \vec{H A}$ $\Rightarrow A^{'}$ là trung điểm của $A H$ .

+) $B^{'} = V_{(H, \frac{1}{2})} (B) \Rightarrow \vec{H B^{'}} = \frac{1}{2} \vec{H B}$ $\Rightarrow B^{'}$ là trung điểm của $B H$ .

+) $C^{'} = V_{(H, \frac{1}{2})} (C) \Rightarrow \vec{H C^{'}} = \frac{1}{2} \vec{H C}$ $\Rightarrow C^{'}$ là trung điểm của $C H$ .

Vậy $V_{(H, \frac{1}{2})} (Δ A B C) = A^{'} B^{'} C^{'}$ , trong đó $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ lần lượt là trung điểm của $H A, H B, H C$ .

Bài 2 trang 29 SGK Hình học 11: Tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong các trường hợp sau

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn.

Lời giải:

Cách xác định tâm vị tự:

- Lấy điểm $M$ thuộc đường tròn $(I)$ .

- Qua $I^{'}$ kẻ đường thẳng song song với $I M$ , đường thẳng này cắt đường tròn $(I^{'})$ tại $M^{'}$ và $M^{″}$ .

- Hai đường thẳng $M M^{'}$ và $M M^{″}$ cắt đường thẳng $I I^{'}$ theo thứ tự $O$ và $O^{'}$ .

Khi đó, $O$ và $O^{'}$ là các tâm vị tự cần tìm.

Vì hai đường tròn đã cho có bán kính khác nhau nên chúng có hai tâm vị tự là $O$ và $O^{'}$ , xác định trong từng trường hợp như sau (xem hình vẽ):

a) Trường hợp 1: Hai đường tròn không cắt nhau.

b) Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc nhau.

c) Trường hợp 3: Hai đường tròn chứa nhau.

Bài 3 trang 29 SGK Hình học 11: Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm

O

sẽ được một phép vị tự tâm

O

Phương pháp giải:

V_{(O, k)} (M) = M^{'} \Leftrightarrow \vec{O M^{'}} = k \vec{O M} .

Lời giải:

Với mỗi điểm $M$ , gọi:

$M^{'}$ = $V_{(O, k)} (M)$

$M^{″} = V_{(O, p)} (M^{'})$

Khi đó:

$\vec{O M^{'}}$ = $k \vec{O M}$

$\vec{O M^{″}}$ = $p \vec{O M^{'}}$

Suy ra: $\vec{O M^{″}}$ = $p \vec{O M^{'}}$ = $p k \vec{O M}$

Từ đó suy ra $M^{″} = V_{(O, p k)} (M)$ .

Vậy thực hiện liên tiếp hai phép vị tự ${V_{(O, k)}}^{}$ và ${V_{(O, p)}}^{}$ sẽ được phép vị tự ${V_{(O, p k)}}^{}$ .

Lý thuyết Bài 7: Phép vị tự

1. Định nghĩa

Cho điểm $O$ và số $k \neq 0$ . Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M^{'}$ sao cho $\vec{O M^{'}} = k$ $\vec{O M}$ , được gọi là phép vị tự tâm $O$ , tỉ số $k$

Phép vị tự tâm $O$ , tỉ số $k$ và thường được kí hiệu là ${V_{(O, k)}}^{}$

Nhận xét

- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó

- Khi $k = 1$ , phép vị tự là phép đồng nhất

- Khi $k = - 1$ , phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự

- $M^{'}$ = ${V_{(O, k)}}^{} (M)$ $\Leftrightarrow M =$ $V_{(O, \frac{1}{k})} (M^{'})$

2. Tính chất

- Nếu phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$ biến hai điểm $M, N$ tùy ý theo thứ tự thành $M^{'}, N^{'}$ thì $\vec{M^{'} N^{'}}$ = $k \vec{M N}$ và $M^{'} N^{'} = | k | M N$

- Phép vị tự tỉ số $k$ có các tính chất:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng $a$ thành đoạn thẳng có độ dài bằng $| k | a$