Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng | Giải Toán lớp 11

274

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về phép đồng dạng lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Câu hỏi 1 trang 30 SGK Hình học 11: Chứng minh nhận xét 2: Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

Lời giải:

Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M,N thành 2 điểm M,N sao cho: 

{OM=kOMON=kON

MN=ONOM=kONkOM=k(ONOM)=kMN|MN|=|kMN|MN=|k|MN

Câu hỏi 2 trang 30 SGK Hình học 11: Chứng minh nhận xét 3. 

Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk.

Lời giải:

- Phép đồng dạng tỉ số k biến 2 điểm M,N thành 2 điểm M,N sao cho MN=kMN

- Phép đồng dạng tỉ số p biến 2 điểm M,N thành 2 điểm M,N sao choMN=pMN

MN=pMN=p.k.MN

Vậy: Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk.

Câu hỏi 3 trang 31 SGK Hình học 11: Chứng minh tính chất a: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

Lời giải:

Phép đồng dạng tỉ số k biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng thành 3 điểm A,B,C sao cho:

AB=k.AB;BC=k.BC;AC=k.AC

A,B,C thẳng hàng và B nằm giữa A,CAB+BC=AC

Do đó k.AB+k.BC=k.AC hay AB+BC=AC

A,B,C thẳng hàng và B nằm giữa A,C.

Câu hỏi 4 trang 31 SGK Hình học 11: Gọi A,B lần lượt là ảnh của A,B qua phép đồng dạng F, tỉ số k. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của AB thì M=F(M) là trung điểm của AB.
Phương pháp giải:

Cần chứng minh:

+) AM=MB=12.AB

+) A,M,B thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi A,B,M lần lượt là ảnh của A,B,M qua phép đồng dạng F, tỉ số k

AB=k.AB;AM=k.AM

M là trung điểm ABAM=12.ABkAM=12.k.AB hay AM=12.AB

Lại có A,B,M thẳng hàng nên A,B,M thẳng hàng.

Vậy M là trung điểm của AB.

Câu hỏi 5 trang 33 SGK Hình học 11: Hai đường tròn (hai hình vuông, hai hình chữ nhật) bất kì có đồng dạng với nhau không?

Lời giải:

Hai đường tròn bất kì đồng dạng với nhau.

Hai hình vuông bất kì đồng dạng với nhau.

Hai hình chữ nhật bất kì chưa chắc đồng dạng với nhau vì tỉ lệ các kích thước tương ứng chưa chắc bằng nhau.

Bài tập trang 33 SGK Toán 11

Bài 1 trang 33 SGK Hình học 11: Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số 12 và phép đối xứng qua đường trung trực của BC.
Phương pháp giải:

B1: xác định ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự

B2: xác định ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng

Lưu ý: để tìm ảnh của tam giác qua phép dời hình, ta tìm ảnh của từng đỉnh. Các đỉnh mới tạo thành ảnh của tam giác qua phép dời hình đó.

Lời giải:

V(B;12)(A)=ABA=12BA

A là trung điểm của AB.

Tương tự ta có V(B;12)(C)=C thì C'\) là trung điểm của BC.

V(B;12)(B)=B

Do đó V(B;12)(ΔABC)=ΔABC.

Dọi d là đường trung trực của BC. Khi đó,

Đd(B)=CĐd(A)=A ;Đd(C)=C

Nên phép đối xứng qua đường trung trực của BC biến  ΔABC thành  ΔACC.

Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng đã cho là tam giác ACC.

Bài 2 trang 33 SGK Hình học 11: Cho hình chữ nhật ABCD,AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H,K,L và J lần lượt là trung điểm của AD,BC,KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.
Phương pháp giải:

Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sau:

- Phép vị tự tâm C tỉ số 2.

- Phép đối xứng tâm I.

Lời giải:

Ta có: J,L,K,I là trung điểm của CI,CK,CB,CA nên

CI=2CJ V(C,2)(J)=I

CK=2CL V(C,2)(L)=K,

CB=2CK V(C,2)(K)=B,

CA=2CI V(C,2)(I)=A

Do đó V(C,2)(JLKI)=IKBA.

Lại có, DI(I)=I,DI(K)=H

DI(B)=D,DI(A)=C

Nên DI(IKBA)=IHDC.

Do đó tồn tại phép đồng dạng (hợp bởi phép vị tự và phép đối xứng tâm) biến hình thang JLKI thành hình thang IHDC.

Vậy hai hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng.

Cách khác:

I là trung điểm AC;BD;HK

I(H)=K;I(D)=B;I(C)=A.

 Hình thang IKBA đối xứng với hình thang IHDC qua I (1)

J;L;K;I lần lượt là trung điểm của CI;CK;CB;CA

 

 Hình thang JLKI là ảnh của hình thang IKBA qua phép vị tự tâm C tỉ số 12

 Hình thang JLKI là ảnh của hình thang IHDC qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép vị tự tâmC tỉ số 12.

IJKI và IHDC đồng dạng.

Bài 3 trang 33 SGK Hình học 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1;1) và đường trong tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 45 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2.
Phương pháp giải:

Phép quay tâm O, góc quay 450 biến đường tròn tâm I bán kính R thành đường tròn tâm I1 bán kính R, với I1=Q(O;450)(I).

Phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến đường tròn tâm I1, bán kính R thành đường tròn tâm I2; bán kính R2, với I2=V(O;2)(I1);R2=2R.

Lời giải:

+ Gọi (I1;R1)=Q(O;45)(I;R) (Phép quay đường tròn tâm I, bán kính R qua tâm O một góc 450).

{I1=Q(O;45)(I)R1=R

Xác định I1:

Ta có:

I1=Q(O;45)(I){OI1=OIIOI1^=45o{OI1=OI=12+12=2IOI1^=45oI1OyI1(0;2)

+ Gọi I2(x;y)=V(O;2)(I1) ta có:

OI2=2OI1

{x=2.0=0y=2.2=2

I(0;2)

Do đó phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến đường tròn tâm I1, bán kính R thành đường tròn tâm I2(0;2); bán kính R2=2R=22.

Vậy phương trình đường tròn tâm I2, bán kính R2 là x2+(y2)2=8.

Chú ý:

Cách khác để tìm I1 (chỉ dùng cho trắc nghiệm) như sau:

Gọi I1(x;y)=Q(I;450)(I) ta có:

{x=1.cos451.sin45=0y=1.sin45+1.cos45=2 I1(0;2).

Bài 4 trang 33 SGK Hình học 11 :Cho tam giác ABC vuông tại A,AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.
Phương pháp giải:

Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình:

- Phép đối xứng qua đường thẳng d, với d là phân giác của góc B.

- Phép vị tự tâm B, tỉ số AC/AH.

Lời giải:

Gọi d là đường phân giác của B^.

Gọi A=Dd(H),C=Dd(A).

Dễ thấy AAB,CBC.

Ta có Dd biến HBA thành ABC.

Suy ra HBA=ABC nên góc A=H=900

CA//CA

Theo định lý Ta-let có BABA=BCBC=ACAC=ACAH=k

BA=kBA V(B;k)(A)=A

BC=kBCV(B;k)(C)=C 

Mà V(B;k)(B)=B nên V(B;k)(ΔABC)=ΔABC.

Do đó phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp Dd và V(B,k) sẽ biến HBA thành ABC.

Lý thuyết Bài 8: Phép đồng dạng

1. Định nghĩa

Phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0), nếu với hai điểm M,N bất kì và ảnh M,N tương ứng của chúng, ta luôn có MN=kMN

2. Nhận xét

a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1

b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|

c) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk

d) Phép đồng dạng tỉ số k là hợp thành của một phép dời hình và một phép vị tự tỉ số k hoặc k. Nó cũng là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k hoặc k và một phép dời hình

3. Tính chất

Phép đồng dạng tỉ số k có các tính chất:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữ các điểm ấy.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng a thành đoạn thẳng có độ dài bằng ka.

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k, biến góc thành góc bằng nó.

- Nếu một phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác ABC thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiến của tam giác thành các vị trí đó trong tam giác ABC.

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.

e) Biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, đỉnh thành đỉnh, cạnh thành cạnh.

4. Hai hình đồng dạng

Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

Đánh giá

0

0 đánh giá