Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng

Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng | Giải Toán lớp 11

Trần Thị Hường Ngày: 20-05-2022 Lớp 11

366

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về phép đồng dạng lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Câu hỏi 1 trang 30 SGK Hình học 11: Chứng minh nhận xét 2: Phép vị tự tỉ số

k

là phép đồng dạng tỉ số

| k | .

Lời giải:

Phép vị tự tâm $O$ , tỉ số $k$ biến điểm $M, N$ thành 2 điểm $M^{'}, N^{'}$ sao cho:

${\begin{matrix} \vec{O M^{'}} = k \vec{O M} \\ \vec{O N^{'}} = k \vec{O N} \end{matrix}$

$\begin{aligned} \Rightarrow \vec{M^{'} N^{'}} = \vec{O N^{'}} - \vec{O M^{'}} \\ = k \vec{O N} - k \vec{O M} \\ = k (\vec{O N} - \vec{O M}) = k \vec{M N} \\ \Rightarrow | \vec{M^{'} N^{'}} | = | k \vec{M N} | \\ \Rightarrow M^{'} N^{'} = | k | M N \end{aligned}$

Câu hỏi 2 trang 30 SGK Hình học 11: Chứng minh nhận xét 3.

Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số $k$ và phép đồng dạng tỉ số $p$ ta được phép đồng dạng tỉ số $p k .$

Lời giải:

- Phép đồng dạng tỉ số $k$ biến 2 điểm $M, N$ thành 2 điểm $M^{'}, N^{'}$ sao cho $\vec{M^{'} N^{'}} = k \vec{M N}$

- Phép đồng dạng tỉ số $p$ biến 2 điểm $M^{'}, N^{'}$ thành 2 điểm $M^{″}, N^{″}$ sao cho $\vec{M^{″} N^{″}} = p \vec{M^{'} N^{'}}$

$\Rightarrow \vec{M^{″} N^{″}} = p \vec{M^{'} N^{'}} = p . k . \vec{M N}$

Vậy: Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số $k$ và phép đồng dạng tỉ số $p$ ta được phép đồng dạng tỉ số $p k .$

Câu hỏi 3 trang 31 SGK Hình học 11: Chứng minh tính chất a: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

Lời giải:

Phép đồng dạng tỉ số $k$ biến 3 điểm $A, B, C$ thẳng hàng thành 3 điểm $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ sao cho:

$A^{'} B^{'} = k . A B; B^{'} C^{'} = k . B C; A^{'} C^{'} = k . A C$

$A, B, C$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $A, C \Leftrightarrow A B + B C = A C$

Do đó $k . A B + k . B C = k . A C$ hay $A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'} = A^{'} C^{'}$

$\Rightarrow A^{'}, B^{'}, C^{'}$ thẳng hàng và $B^{'}$ nằm giữa $A^{'}, C^{'}$ .

Câu hỏi 4 trang 31 SGK Hình học 11: Gọi

A^{'}, B^{'}

lần lượt là ảnh của

A, B

qua phép đồng dạng

F,

tỉ số

k

. Chứng minh rằng nếu

M

là trung điểm của

A B

thì

M^{'} = F (M)

là trung điểm của

A^{'} B^{'} .

Phương pháp giải:

Cần chứng minh:

+) $A^{'} M^{'} = M^{'} B^{'} = \frac{1}{2} . A^{'} B^{'}$

+) $A^{'}, M^{'}, B^{'}$ thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi $A^{'}, B^{'}, M^{'}$ lần lượt là ảnh của $A, B, M$ qua phép đồng dạng $F,$ tỉ số $k$

$\Rightarrow A^{'} B^{'} = k . A B; A^{'} M^{'} = k . A M$

$M$ là trung điểm $A B \Rightarrow A M = \frac{1}{2} . A B \Rightarrow k A M = \frac{1}{2} . k . A B$ hay $A^{'} M^{'} = \frac{1}{2} . A^{'} B^{'}$

Lại có $A, B, M$ thẳng hàng nên $A^{'}, B^{'}, M^{'}$ thẳng hàng.

Vậy $M^{'}$ là trung điểm của $A^{'} B^{'} .$

Câu hỏi 5 trang 33 SGK Hình học 11: Hai đường tròn (hai hình vuông, hai hình chữ nhật) bất kì có đồng dạng với nhau không?

Lời giải:

Hai đường tròn bất kì đồng dạng với nhau.

Hai hình vuông bất kì đồng dạng với nhau.

Hai hình chữ nhật bất kì chưa chắc đồng dạng với nhau vì tỉ lệ các kích thước tương ứng chưa chắc bằng nhau.

Bài tập trang 33 SGK Toán 11

Bài 1 trang 33 SGK Hình học 11: Cho tam giác

A B C

. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm

B

tỉ số

\frac{1}{2}

và phép đối xứng qua đường trung trực của

B C

Phương pháp giải:

B1: xác định ảnh của tam giác $A B C$ qua phép vị tự

B2: xác định ảnh của tam giác $A B C$ qua phép đối xứng

Lưu ý: để tìm ảnh của tam giác qua phép dời hình, ta tìm ảnh của từng đỉnh. Các đỉnh mới tạo thành ảnh của tam giác qua phép dời hình đó.

Lời giải:

$V_{(B; \frac{1}{2})} (A) = A^{'} \Rightarrow \vec{B A^{'}} = \frac{1}{2} \vec{B A}$

$\Rightarrow A^{'}$ là trung điểm của $A B .$

Tương tự ta có $V_{(B; \frac{1}{2})} (C) = C^{'}$ thì C'\) là trung điểm của $B C .$

$V_{(B; \frac{1}{2})} (B) = B$

Do đó $V_{(B; \frac{1}{2})} (Δ A B C) = Δ A^{'} B C^{'}$ .

Dọi $d$ là đường trung trực của $B C .$ Khi đó,

$Đ_{d} (B) = C$ ; $Đ_{d} (A^{'}) = A^{″}$ ; $Đ_{d} (C^{'}) = C^{'}$

Nên phép đối xứng qua đường trung trực của $B C$ biến $Δ A^{'} B C^{'}$ thành $Δ A^{″} C C^{'}$ .

Vậy ảnh của tam giác $A B C$ qua phép đồng dạng đã cho là tam giác $A^{″} C C^{'}$ .

Bài 2 trang 33 SGK Hình học 11: Cho hình chữ nhật

A B C D, A C

và

B D

cắt nhau tại

I

. Gọi

H, K, L

và

J

lần lượt là trung điểm của

A D, B C, K C

và

I C

. Chứng minh hai hình thang

J L K I

và

I H D C

đồng dạng với nhau.

Phương pháp giải:

Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sau:

- Phép vị tự tâm $C$ tỉ số $2.$

- Phép đối xứng tâm $I .$

Lời giải:

Ta có: $J, L, K, I$ là trung điểm của $C I, C K, C B, C A$ nên

$\vec{C I} = 2 \vec{C J}$ $\Rightarrow V_{(C, 2)} (J) = I$

$\vec{C K} = 2 \vec{C L}$ $\Rightarrow V_{(C, 2)} (L) = K,$

$\vec{C B} = 2 \vec{C K}$ $\Rightarrow V_{(C, 2)} (K) = B,$

$\vec{C A} = 2 \vec{C I}$ $V_{(C, 2)} (I) = A$

Do đó $V_{(C, 2)} (J L K I) = I K B A$ .

Lại có, $D_{I} (I) = I, D_{I} (K) = H$

$D_{I} (B) = D, D_{I} (A) = C$

Nên $D_{I} (I K B A) = I H D C$ .

Do đó tồn tại phép đồng dạng (hợp bởi phép vị tự và phép đối xứng tâm) biến hình thang $J L K I$ thành hình thang $I H D C$ .

Vậy hai hình thang $J L K I$ và hình thang $I H D C$ đồng dạng.

Cách khác:

+ $I$ là trung điểm $A C; B D; H K$

$\Rightarrow_{I} (H) = K;_{I} (D) = B;_{I} (C) = A .$

$\Rightarrow$ Hình thang $I K B A$ đối xứng với hình thang $I H D C$ qua $I$ (1)

+ $J; L; K; I$ lần lượt là trung điểm của $C I; C K; C B; C A$

$\Rightarrow$ Hình thang $J L K I$ là ảnh của hình thang $I K B A$ qua phép vị tự tâm $C$ tỉ số $\frac{1}{2}$

$\Rightarrow$ Hình thang $J L K I$ là ảnh của hình thang $I H D C$ qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm $I$ và phép vị tự tâm $C$ tỉ số $\frac{1}{2}$ .

$\Rightarrow I J K I$ và $I H D C$ đồng dạng.

Bài 3 trang 33 SGK Hình học 11: Trong mặt phẳng

O x y

cho điểm

I (1; 1)

và đường trong tâm

I

bán kính

2

. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm

O

, góc

45^{\circ}

và phép vị tự tâm

O

, tỉ số

\sqrt{2}

Phương pháp giải:

Phép quay tâm $O$ , góc quay $45^{0}$ biến đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ thành đường tròn tâm $I_{1}$ bán kính $R$ , với $I_{1} = Q_{(O; 45^{0})} (I)$ .

Phép vị tự tâm $O$ , tỉ số $\sqrt{2}$ biến đường tròn tâm $I_{1}$ , bán kính $R$ thành đường tròn tâm $I_{2}$ ; bán kính $R_{2}$ , với $I_{2} = V_{(O; \sqrt{2})} (I_{1}); R_{2} = \sqrt{2} R$ .

Lời giải:

+ Gọi $(I_{1}; R_{1}) = Q_{(O; 45)} (I; R)$ (Phép quay đường tròn tâm $I,$ bán kính $R$ qua tâm $O$ một góc $45^{0}) .$

$\Rightarrow {\begin{cases} I_{1} = Q_{(O; 45)} (I) \\ R_{1} = R \end{cases}$

Xác định $I_{1}$ :

Ta có:

$\begin{array}{l} I_{1} = Q_{(O; 45)} (I) \Rightarrow {\begin{cases} O I_{1} = O I \\ \hat{I O I_{1}} = 45^{o} \end{cases} \\ \Rightarrow {\begin{cases} O I_{1} = O I = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \\ \hat{I O I_{1}} = 45^{o} \Leftrightarrow I_{1} \in O y \end{cases} \\ \Rightarrow I_{1} (0; \sqrt{2}) \end{array}$

+ Gọi $I_{2} (x^{″}; y^{″}) = V_{(O; \sqrt{2})} (I_{1})$ ta có:

$\vec{O I_{2}} = \sqrt{2} \vec{O I_{1}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x^{″} = 2.0 = 0 \\ y^{″} = \sqrt{2} . \sqrt{2} = 2 \end{cases}$

$\Rightarrow I^{″} (0; 2)$

Do đó phép vị tự tâm $O$ , tỉ số $\sqrt{2}$ biến đường tròn tâm $I_{1}$ , bán kính R thành đường tròn tâm $I_{2} (0; 2)$ ; bán kính $R_{2} = \sqrt{2} R = 2 \sqrt{2}$ .

Vậy phương trình đường tròn tâm $I_{2}$ , bán kính $R_{2}$ là $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ .

Chú ý:

Cách khác để tìm $I_{1}$ (chỉ dùng cho trắc nghiệm) như sau:

Gọi $I_{1} (x^{'}; y^{'}) = Q_{(I; 45^{0})} (I)$ ta có:

${\begin{cases} x^{'} = 1. \cos 45 - 1. \sin 45 = 0 \\ y^{'} = 1. \sin 45 + 1. \cos 45 = \sqrt{2} \end{cases}$ $\Rightarrow I_{1} (0; \sqrt{2})$ .

Bài 4 trang 33 SGK Hình học 11 :Cho tam giác

A B C

vuông tại

A, A H

là đường cao kẻ từ

A

. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác

H B A

thành tam giác

A B C

Phương pháp giải:

Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình:

- Phép đối xứng qua đường thẳng $d,$ với $d$ là phân giác của góc $B .$

- Phép vị tự tâm $B,$ tỉ số $A C / A H .$

Lời giải:

Gọi $d$ là đường phân giác của $\hat{B}$ .

Gọi $A^{'} = D_{d} (H), C^{'} = D_{d} (A)$ .

Dễ thấy $A^{'} \in A B, C^{'} \in B C$ .

Ta có $D_{d}$ biến $∆ H B A$ thành $∆ A^{'} B C^{'}$ .

Suy ra $∆ H B A$ = $∆ A^{'} B C^{'}$ nên góc $A^{'} = H = 90^{0}$

$\Rightarrow C^{'} A^{'} / / C A$

Theo định lý Ta-let có $\frac{B A}{B A^{'}} = \frac{B C}{B C^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}} = \frac{A C}{A H} = k$

$\Rightarrow \vec{B A} = k \vec{B A^{'}}$ $\Rightarrow V_{(B; k)} (A^{'}) = A$

$\vec{B C} = k \vec{B C^{'}}$ $\Rightarrow V_{(B; k)} (C^{'}) = C$

Mà $V_{(B; k)} (B) = B$ nên $V_{(B; k)} (Δ A^{'} B C^{'}) = Δ A B C$ .

Do đó phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp $D_{d}$ và $V_{(B, k)}$ sẽ biến $△$ $H B A$ thành $△$ $A B C$ .

Lý thuyết Bài 8: Phép đồng dạng

1. Định nghĩa

Phép biến hình $f$ được gọi là phép đồng dạng tỉ số $k$ , $(k > 0)$ , nếu với hai điểm $M, N$ bất kì và ảnh $M^{'}, N^{'}$ tương ứng của chúng, ta luôn có $M^{'} N^{'} = k M N$

2. Nhận xét

a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số $1$

b) Phép vị tự tỉ số $k$ là phép đồng dạng tỉ số $| k |$

c) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số $k$ và phép đồng dạng tỉ số $p$ ta được phép đồng dạng tỉ số $p k$

d) Phép đồng dạng tỉ số $k$ là hợp thành của một phép dời hình và một phép vị tự tỉ số $k$ hoặc $- k$ . Nó cũng là hợp thành của một phép vị tự tỉ số $k$ hoặc $- k$ và một phép dời hình

3. Tính chất

Phép đồng dạng tỉ số $k$ có các tính chất:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữ các điểm ấy.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng $a$ thành đoạn thẳng có độ dài bằng $k a$ .

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là $k$ , biến góc thành góc bằng nó.

- Nếu một phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiến của tam giác thành các vị trí đó trong tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .