Toán 11 Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Toán 11 Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau | Giải Toán lớp 11

Trần Thị Hường Ngày: 20-05-2022 Lớp 11

397

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Câu hỏi 1 trang 20 SGK Hình học 11: Cho hình vuông

A B C D

, gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

. Tìm ảnh của các điểm

A, B, O

qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm

O

góc

90^{0}

và phép đối xứng qua đường

B D

(h.1.41).

Lời giải:

$\begin{array}{l} Q_{(O; 90^{0})} (A) = D; D_{B D} (D) = D \\ Q_{(O; 90^{0})} (B) = A; D_{B D} (A) = C \\ Q_{(O; 90^{0})} (O) = O; D_{B D} (O) = O \end{array}$

Câu hỏi 2 trang 21 SGK Hình học 11: Hãy chứng minh tính chất 1.

Gợi ý. Sử dụng tính chất điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$ khi và chỉ khi $A B + B C = A C$ (h.1.43).

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa: phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cảnh giữa hai điểm bất kỳ.

Lời giải:

Gọi ảnh của 3 điểm $A, B, C$ qua phép dời hình $F$ là 3 điểm $A^{'}, B^{'}, C^{'} .$

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cảnh giữa hai điểm bất kỳ nên:

$A B = A^{'} B^{'}, B C = B^{'} C^{'}, A C = A^{'} C^{'}$

Ta có: $A, B, C$ thằng hàng và $B$ nằm giữa $A$ và $C \Rightarrow A B + B C = A C$

$\Rightarrow A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'} = A^{'} C^{'}$

Hay $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ thẳng hàng và $B^{'}$ nằm giữa $A^{'}$ và $C^{'} .$

Câu hỏi 3 trang 21 SGK Hình học 11: Gọi

A^{'}, B^{'}

lần lượt là ảnh của

A, B

qua phép dời hình

F

. Chứng minh rằng nếu

M

là trung điểm của

A B

thì

M^{'} = F (M)

là trung điểm của

A^{'} B^{'} .

Phương pháp giải:

+) Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

+) Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

Lời giải:

Gọi $A^{'}, B^{'}, M^{'}$ lần lượt là ảnh của $A, B, M$ qua phép dời hình $F$

Theo tính chất 1 ta có: $A B = A^{'} B^{'}$ và $A M = A^{'} M^{'}$ ; Ba điểm $A^{'} B^{'}, M^{'}$ thẳng hàng, trong đó $M^{'}$ nằm giữa.

$M$ là trung điểm $A B \Rightarrow A M = \frac{1}{2} A B$

Kết hợp (1) $\Rightarrow A^{'} M^{'} = \frac{1}{2} A^{'} B^{'} \Rightarrow M^{'}$ là trung điểm $A^{'} B^{'} .$

Câu hỏi 4 trang 22 SGK Hình học 11: Cho hình chữ nhật

A B C D .

Gọi

E, F, H, I

theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

A B, C D, B C, E F .

Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác

A E I

thành tam giác

F C H

(h.1.46)

Lời giải:

- Phép đối xứng qua tâm $I$ biến:

+) $A$ thành $C$

+) $E$ thành $F$

+) $I$ thành $I$

Nên biến $Δ A E I$ thành $Δ C F I .$

- Phép đối xứng qua trục là đường thẳng $d$ biến:

+) $C$ thành $F$

+) $F$ thành $C$

+) $I$ thành $H$

Do đó biến $Δ C F I$ thành $Δ F C H .$

Vậy phép dời hình cần tìm là hợp của hai phép đối xứng tâm $I$ và đối xứng trục qua đường thẳng $d .$

Câu hỏi 5 trang 23 SGK Hình học 11: Cho hình chữ nhật

A B C D .

Gọi

I

là giao điểm của

A C

và

B D .

Gọi

E, F

theo thứ tự là trung điểm của

A D

và

B C .

Chứng minh rằng các hình thang

A E I B

và

C F I D

bằng nhau.

Lời giải:

$I$ là giao điểm $A C$ và $B D$ nên $I$ là trung điểm của $A C$ và $B D$

Mà $A C = B D \Rightarrow A I = B I = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D$

Gọi $E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A D$ và $B C \Rightarrow E F$ là đường trung bình của hình chữ nhật $A B C D$ và $A E = B F = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} B C$

$\Rightarrow E F / / A B \Rightarrow E F$ vuông góc với $A D$ và $E F$ vuông góc với $B C$

Xét hai tam giác vuông $A E I$ và $B F I$ có:

$A I = B I$

$A E = B F$

$\Rightarrow Δ A E I = Δ B F I$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow E I = F I$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow I$ là trung điểm $E F$

Do đó, phép đối xứng qua tâm $I$ biến hình thang $A E I B$ thành hình thang $C F I D$

⇒ Hai hình thang $A E I B$ và $C F I D$ bằng nhau.

Bài tập trang 23, 24 SGK Toán 11

Bài 1 trang 23 SGK Hình học 11: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3;2), B(-4;5) và C(-1;3).

a) Chứng minh rằng các điểm $A^{'} (2; 3), B^{'} (5; 4)$ và $C^{'} (3; 1)$ theo thứ tự là ảnh của $A, B$ và $C$ qua phép quay tâm $O$ góc $- 90^{\circ}$ .

b) Gọi tam giác $A_{1}$ $B_{1}$ $C_{1}$ là ảnh của tam giác $A B C$ qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$ góc $- 90^{\circ}$ và phép đối xứng qua trục $O x$ . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ${A_{1}}^{}$ ${B_{1}}^{}$ ${C_{1}}^{}$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định nghĩa phép quay

$Q_{(O; α)} (M) = M^{'}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} O M^{'} = O M \\ (O M, O M^{'}) = α \end{cases}$

b) Thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$ góc quay $- 90^{0}$ và phép đối xứng trục $O x$ trên mặt phẳng tọa độ $O x y .$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{O A} = (- 3; 2); \vec{O A^{'}} = (2; 3) . \\ O A = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = O A^{'} \\ \vec{O A} . \vec{O A^{'}} = (- 3) .2 + 2.3 = 0 \\ \Rightarrow \hat{A O A^{'}} = 90^{o} \\ \Rightarrow (O A; O A^{'}) = - \hat{A O A^{'}} = - 90^{o} \\ \Rightarrow A^{'} = Q_{(O; - 90^{o})} (A) . \end{array}$

Tương tự ta cũng có $Q_{(O; - 90^{0})} (B) = B^{'},$ $Q_{(O; - 90^{0})} (C) = C^{'}$ .

Chú ý:

Cách giải tham khảo (công thức mở rộng)

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay: Ảnh của điểm $M (x; y)$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $α$ là điểm $M^{'} (x^{'}; y^{'})$ với $x^{'}; y^{'}$ thỏa mãn hệ phương trình ${\begin{cases} x^{'} = x \cos α - y \sin α \\ y^{'} = x \sin α + y \cos α \end{cases}$

(hình bên)

Phép quay tâm góc $- 90^{0}$ biến điểm $M (x; y)$ thành điểm $M^{'} (x^{'}; y^{'})$ với ${\begin{cases} x^{'} = x \cos (- 90^{0}) - y \sin (- 90^{0}) = y \\ y^{'} = x \sin (- 90^{0}) + y \cos (- 90^{0}) = - x \end{cases}$

$\Rightarrow A^{'} (2; 3); B^{'} (5; 4); C^{'} (3; 1)$ lần lượt là ảnh của $A, B, C$ qua phép quay tâm $O,$ góc quay $- 90^{0}$ .

(Hình 1.26)

Gọi tam giác ${A_{1}}^{}$ ${B_{1}}^{}$ ${C_{1}}^{}$ là ảnh của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ qua phép đối xứng trục $O x$ .

Khi đó,

$\begin{array}{l} A_{1} = D_{O x} (A^{'}) \Rightarrow A_{1} (2; - 3) \\ B_{1} = D_{O x} (B^{'}) \Rightarrow B_{1} (5; - 4) \\ C_{1} = D_{O x} (C^{'}) \Rightarrow C_{1} (3; - 1) \end{array}$

Vậy $A_{1} (2; - 3), {B_{1}}^{} (5; - 4), {C_{1}}^{} (3; - 1) .$

Bài 2 trang 24 SGK Hình học 11: Cho hình chữ nhật

A B C D

. Gọi

E, F, H, K, O, I, J

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B, B C, C D, D A, K F, H C, K O

. Chứng minh hai hình thang

A E J K

và

F O I C

bằng nhau.

Phương pháp giải:

Gọi L là trung điểm của OF, thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sau:

- Phép đối xứng trục EO.

- Phép tịnh tiến theo .

Các phép tịnh tiến và phép đối xứng trục hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lời giải:

Gọi L là trung điểm của OF.

+ Vì EO là đường trung trực của các đoạn thẳng AB; KF; JL

⇒ B = ĐEO (A); F = ĐEO (K) ; L = ĐEO (J); E = ĐEO (E)

⇒ Hình thang BFLE là ảnh của hình thang AKJE qua phép đối xứng trục EO.

⇒ Hai hình thang BFLE và AKJE bằng nhau (1).

⇒ Hình thang FCIO là ảnh của hình thang BFLE qua phép tịnh tiến theo

⇒ Hai hình thang FCIO và BFLE bằng nhau (2)

Từ (1) và (2) ⇒ hai hình thang FCIO và AKJE bằng nhau

Bài 3 trang 24 SGK Hình học 11: Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác

A B C

thành tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác

A B C

tương ứng thành trọng tâm của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

Phương pháp giải:

Phép dời hình biến các đoạn thẳng thành các đoạn thẳng, do đó biến các trung tuyến thành các trung tuyến tương ứng.

Lời giải:

Gọi phép dời hình đó là $f$ .

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC, G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do $f$ biến $A B, A C$ thành $A^{'} B^{'}, A^{'} C^{'}$ nên f biến $M, N$ thành $M^{'}, N^{'}$ là trung điểm của của $A^{'} B^{'}, A^{'} C^{'}$ .

Vậy $f$ biến các trung tuyến $C M, B N$ của tam giác $A B C$ tương ứng thành các trung tuyến $C^{'} M^{'}, B^{'} N^{'}$ của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Do đó f biến G là giao điểm của CM, BN thành G' là giao điểm của C'M', B'N' hay G' là trọng tâm tam giác A'B'C'.

Từ đó suy ra $f$ biến trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ thành trọng tâm $G^{'}$ của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Cách khác:

Gọi f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Gọi D là trung điểm của BC, D’ = f(D).

Gọi G là trọng tâm ΔABC, G’ = f(G).

+ B, D, C thẳng hàng ⇒ B’; D’; C’ thẳng hàng.

+ A; G; D thẳng hàng ⇒ A’; G’; D’ thẳng hàng.

+ B’D’ = BD = BC/2 = B’C’/2 ⇒ D’ là trung điểm B’C’.

+ A’G’ = AG = 2.AD/3 = 2.A’D’/3 ⇒ G’ là trọng tâm ΔA’B’C’.

Vậy phép dời hình f biến trọng tâm G của ΔABC thành trọng tâm G’ của ΔA’B’C’ (đpcm).

Lý thuyết Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

1. Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Nghĩa là với hai điểm $M, N$ tùy ý và ảnh $M^{'}, N^{'}$ tương ứng của chúng, ta luôn có $M^{'} N^{'} = M N$

2. Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là những phép dời hình.

3. Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.

4. Phép dời hình có các tính chất:

a, Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b, Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn bằng nó.

c, Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

d, Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

5. Nếu một phép dời hình biến tam giác $A B C$ thành tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường trọn nội tiếp, ngoại tiếp.. của tam giác $A B C$ tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường trọng nội tiếp, ngoại tiếp... của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .