Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm | Giải Toán lớp 11

Trần Thị Hường Ngày: 20-05-2022 Lớp 11

464

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về phép đối xứng tâm lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Câu hỏi 1 trang 13 SGK Hình học 11: Chứng minh rằng

M = Đ_{I} (M) \Leftrightarrow M = Đ_{I} (M^{'}) C

Lời giải:

$M = Đ_{I} (M)$ nghĩa là phép biến hình này biến điểm $I$ thành chính nó

hoặc biến mỗi điểm $M$ khác $I$ thành $M^{'}$ sao cho $I$ là trung điểm

của đoạn thẳng $M M^{'}$

$+) M \equiv I \Rightarrow M^{'} = Đ_{I} (M) \equiv M \equiv I \Rightarrow M = Đ_{I} (M^{'})$

$+) M \neq I \Rightarrow M^{'} = Đ_{I} (M)$ thì $I$ là trung điểm của MM’

$\Rightarrow M^{'} \neq I$ và phép biến hình biến mỗi điểm $M^{'}$ thành $M$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $M^{'} M$

$\Rightarrow M = Đ_{I} (M^{'})$ .

Câu hỏi 2 trang 13 SGK Hình học 11: Cho hình bình hành

A B C D

. Gọi

O

là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng kẻ qua

O

vuông góc với

A B,

cắt

A B

ở

E

và cắt

C D

ở

F .

Hãy chỉ ra các cặp điểm trên hình vẽ đối xứng với nhau qua tâm

O

Lời giải:

- Hình bình hành $A B C D$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo $\Rightarrow O$ là trung điểm mỗi đường nên $A$ và $C$ đối xứng nhau qua tâm $O$ .

$B$ và $D$ đối xứng nhau qua tâm $O$

- Xét hai tam giác vuông $A E O$ và $C F O$ có:

$O A = O C$ (do $O$ là trung điểm $A C$ )

$∠ (A O E) = ∠ (C O F)$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ A E O = Δ C F O$ (cạnh huyền – góc nhọn kề)

$\Rightarrow O E = O F$ (hai cạnh tương ứng)

Nên $O$ là trung điểm $E F$

$\Rightarrow E$ và $F$ đối xứng nhau qua tâm $O$ .

Câu hỏi 3 trang 13 SGK Hình học 11: Trong mặt phẳng tọa độ

O x y

cho điểm

A (- 4; 3)

. Tìm ảnh của

A

qua phép đối xứng tâm

O

Phương pháp giải:

Cho

A (x, y)

và

A^{'} = Đ_{O} (A) = (x^{'}, y^{'})

thì

x^{'} = - x; y^{'} = - y

hay

A^{'} (- x, - y) .

Lời giải:

Gọi $A^{'} (a, b)$ là ảnh của $A^{'}$ qua phép đối xứng tâm $O \Rightarrow a = 4$ và $b = - 3$ .

Câu hỏi 4 trang 14 SGK Hình học 11: Chọn hệ tọa độ

O x y,

rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

O

chứng minh lại tính chất 1.

Lời giải:

Gọi $M (x; y), N (a; b)$ bất kì.

$M^{'} (x^{'}; y^{'}), N^{'} (a^{'}; b^{'})$ là ảnh của $M, N$ qua phép đối xứng tâm $O .$

Khi đó,

$\begin{array}{l} {\begin{cases} x^{'} = - x \\ y^{'} = - y \end{cases} và {\begin{cases} a^{'} = - a \\ b^{'} = - b \end{cases} \\ \Rightarrow M^{'} (- x; - y); N^{'} (- a^{'} - b) \\ \Rightarrow \vec{M^{'} N^{'}} = (- a + x; - b + y) (1) \\ \vec{M N} = (a - x; b - y) \\ \Rightarrow - \vec{M N} = (- a + x; - b + y) (2) \end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \vec{M^{'} N^{'}} = - \vec{M N}$

$\Rightarrow M^{'} N^{'} = M N$ .

Câu hỏi 5 trang 15 SGK Hình học 11: Trong các chữ sau, chữ nào là hình có tâm đối xứng?

Lời giải:

Các chữ có tâm đối xứng là: H, N, O, I.

Câu hỏi 6 trang 15 SGK Hình học 11 :Tìm một số hình tứ giác có tâm đối xứng.

Lời giải:

Các tứ giác có tâm đối xứng là: hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật.

Bài tập trang 15 SGK Toán 11

Bài 1 trang 15 SGK Hình học 11: Trong mặt phẳng tọa độ

O x y

cho điểm

A (- 1; 3)

và đường thẳng

d

có phương trình

x - 2 y + 3 = 0

. Tìm ảnh của

A

và

d

qua phép đối xứng tâm

O

Phương pháp giải:

Gọi $A^{'}$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng tâm $O$ , khi đó $O$ là trung điểm của $A A^{'}$ $\Rightarrow {\begin{cases} x_{A^{'}} = 2 x_{O} - x_{A} \\ y_{A^{'}} = 2 y_{O} - y_{A} \end{cases}$

Tìm ảnh của đường thẳng $d$ qua phép đối xứng tâm $O .$

Cách 1:

Bước 1: Lấy hai điểm $B, C$ bất kì thuộc đường thẳng $d .$

Bước 2: Xác định ảnh $B^{'}; C^{'}$ của $B; C$ qua phép đối xứng tâm $O .$

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng $B^{'} C^{'}$ ; khi đó $B^{'} C^{'}$ chính là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép đối xứng tâm $O .$

Cách 2:

Bước 1: Ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$ là đường thẳng song song với $d,$ suy ra dạng phương trình đường thẳng $d^{'} .$

Bước 2: Lấy một điểm $B$ bất kì thuộc $d,$ tìm ảnh $B^{'}$ của điểm $B$ qua phép đối xứng tâm $O .$

Bước 3: Thay tọa độ điểm $B^{'}$ vào phương trình đường thẳng $d^{'}$ và suy ra phương trình đường thẳng $d^{'} .$

Lời giải:

Gọi $A^{'}$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng tâm $O$ , khi đó $O$ là trung điểm của $A A^{'}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{O} = \frac{x_{A} + x_{A^{'}}}{2} \\ y_{O} = \frac{y_{A} + y_{A^{'}}}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} x_{A^{'}} = 2 x_{O} - x_{A} \\ y_{A^{'}} = 2 y_{O} - y_{A} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A^{'}} = 2.0 - (- 1) = 1 \\ y_{A^{'}} = 2.0 - 3 = - 3 \end{cases}$

$\Rightarrow A^{'} (1; - 3)$

Để tìm ảnh của đường thẳng $d$ ta có thể dùng các cách sau:

Cách 1:

+) Lấy 2 điểm bất kì thuộc $d .$

(Bằng cách chọn giá trị cho $x$ (hoặc $y$ ) rồi thay vào phương trình của $d$ , suy ra giá trị của $y$ (hay $x)$ . )

Chọn $y = 0$ ta có: $x - 2.0 + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3 \Rightarrow B (- 3; 0) \in d$

Chọn $x = - 1$ ta có: $- 1 - 2 y + 3 = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow C (- 1; 1) \in d$ .

Do đó, đường thẳng $d$ đi qua $B (- 3; 0)$ và $C (- 1; 1)$ .

+) Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm $O$ :

$B^{'} = D_{O} (B) = (3; 0)$ và $C^{'} = D_{O} (C) = (1; - 1)$ .

Đường thẳng $B^{'} C^{'}$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O .$

$\vec{B^{'} C^{'}} = (2; 1) \Rightarrow \vec{n_{B^{'} C^{'}}} = (1; - 2)$ là VTPT của $B^{'} C^{'} .$

+) Phương trình $B^{'} C^{'}$ đi qua $B^{'} (3; 0)$ , có $V T P T \vec{n_{B^{'} C^{'}}} = (1; - 2)$ là:

$1 (x - 3) - 2 (y - 0) = 0$ hay $x - 2 y - 3 = 0.$

Cách 2:

Đường thẳng $d$ đi qua $B (- 3; 0)$

Do $O$ không thuộc $d$ nên gọi $d^{'}$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$ thì nó song song với $d$ .

Do đó $d^{'}$ có phương trình $x - 2 y + C = 0$ $(C \neq 3)$ .

Gọi $B^{'}$ là ảnh của $B$ qua phép đối xứng tâm $O$ ta có: $B^{'} = (3; 0)$

Vì $B^{'} \in (d^{'}) \Rightarrow 3 + C = 0 \Rightarrow C = - 3$ (tm).

Vậy ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$ là đường thẳng $d^{'}$ có phương trình $x - 2 y - 3 = 0$ .

Bài 2 trang 15 SGK Hình học 11: Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm đối xứng?

Phương pháp giải:

Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến H thành chính nó.

Lời giải:

Hình tam giác đều không có tâm đối xứng, nó có 3 trục đối xứng.

Hình ngũ giác đều không có tâm đối xứng, nó có 5 trục đối xứng.

Hình bình hành và lục giác đều là những hình có tâm đối xứng.

Bài 3 trang 15 SGK Hình học 11: Tìm một hình có vô số tâm đối xứng?

Lời giải:

Đường thẳng, hình gồm hai đường thẳng song song là những hình có vô số tâm đối xứng.

Lý thuyết Bài 4: Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa

Cho điểm $O$ . Phép biến hình biến điểm $O$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành $M^{'}$ sao cho $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $M M^{'}$ được gọi là phép đối xứng tâm $O$ .

$O$ được gọi là tâm đối xứng

Phép đối xứng tâm $O$ thường được kí hiệu là $Đ_{O}$

Nếu hình $H^{'}$ là ảnh của hình $H$ qua $Đ_{O}$ thì ta còn nói là $H^{'}$ đối xứng với $H$ qua tâm $O$ , hay $H$ và $H^{'}$ đối xứng với nhau qua $O$ .

$M^{'}$ = $Đ_{O} (M)$ $\Leftrightarrow$ $\vec{O M^{'}}$ = $- \vec{O M}$

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

${\begin{matrix} x^{'} = - x \\ y^{'} = - y \end{matrix}$

3. Tính chất

+) Nếu $Đ_{O}$ (M) $= M^{'}$ , $N^{'} =$ $Đ_{O} (N)$ thì $\vec{M^{'} N^{'}}$ = $- \vec{M N}$ từ đó suy ra $M^{'} N^{'} = M N$

+) Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

4. Tâm đối xứng của một hình

Điểm $O$ được gọi là tâm đối xứng của hình $H$ nếu phép đối xứng tâm $O$ biến $H$ thành chính nó. Khi đó ta nói hình có tâm đối xứng.