Lời giải:

Quy tắc đặt tương ứng điểm  với điểm  nêu trên không phải là một phép biến hình vì  không phải là điểm duy nhất được xác định trên mặt phẳng

Ví dụ minh họa: 

Lời giải:

Phép tịnh tiến biến ba điểm $A,B,E$ theo thứ tự thành ba điểm $B,C,D$ là phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{v}$ như hình vẽ trên. Ở đó $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

Lấy 2 điểm $A$ và $B$ bất kì thuộc đường thẳng $d$.

Lần lượt tịnh tiến $A,B$ theo vecto $\overrightarrow{v}$ ta được 2 điểm $A^{\prime }$ và $B^{\prime }$

Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua 2 điểm $A^{\prime }$ và $B^{\prime }$ chính là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$.

Cách khác:

Do ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến là đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên ta có thể xác định ảnh như sau:

- Lấy một điểm $A$ bất kì thuộc $d$.

- Tìm ảnh $A^{\prime }$ của $A$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$.

- Nếu $A^{\prime }$ không thuộc $d$ thì qua $A^{\prime }$ kẻ đường thẳng song song với $d$ ta được đường thẳng cần tìm.

- Nếu $A^{\prime }$ thuộc $d$ thì ảnh cần tìm chính là đường thẳng $d$.

Lời giải:

Gọi $M(x^{\prime },y^{\prime })$ là ảnh của $M$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$

Ta có: $M(3;-1)$ và $\overrightarrow{v}=(1;2)$.

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=3+1\hfill \\ y^{\prime }=-1+2\hfill \end{array}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=4\hfill \\ y^{\prime }=1\hfill \end{array}\end{array}$

Vậy $M^{\prime }(4;1)$ là ảnh của $M$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$.

Bài tập trang 7, 8 SGK Toán 11

Lời giải:

$M^{\prime }$ = $T_{\overrightarrow{v}}$$(M)$ ⇔ $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{v}$ 

$\iff \overrightarrow{M^{\prime }M}$ $=-\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ =$-\overrightarrow{v}$

$\iff M=T_{-\overrightarrow{v}}(M^{\prime })$.

Lời giải:

+) Gọi $B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là ảnh của $B,C$ qua phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{AG}$.

Nhận xét:

$\begin{array}{l}{T}_{\overrightarrow{AG}}\left(A\right)=G\\ T_{\overrightarrow{AG}}\left(B\right)=B^{\prime }\iff \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AG}\\ T_{\overrightarrow{AG}}\left(C\right)=C^{\prime }\iff \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AG}\end{array}$

Từ đó ta có cách dựng:

Dựng điểm $B^{\prime },C^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AG}$

Khi đó ta được ảnh của tam giác $ABC$ qua $T_{\overrightarrow{AG}}$ là tam giác $G{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

+) $T_{\overrightarrow{AG}}\left(D\right)=A\iff \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AG}$ $\iff -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}\iff \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$

Do đó $A$ là trung điểm của $DG$ thì phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AG}$ biến $D$ thành $A$ (hình vẽ).

Cách khác:

Cách trên ta sử dụng cách dựng trực tiếp, dưới đây ta trình bày cách dựng hình bằng cách đoán rồi chứng minh hình có được là hình cần tìm. Các em có thể tham khảo:

- Dựng hình bình hành $AB{B}^{\prime }G$ và $AC{C}^{\prime }G.$

Khi đó ta có $\overrightarrow{AG}$ = $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.

Suy ra $T_{\overrightarrow{AG}}(A)=G$, $T_{\overrightarrow{AG}}(B)=B^{\prime }$, $T_{\overrightarrow{AG}}(C)=C^{\prime }$.

Do đó ảnh của tam giác $ABC$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AG}$ là tam giác $G{B}^{\prime }{C}^{\prime }.$

- Trên tia $GA$ lấy điểm $D$ sao cho $A$ là trung điểm của $GD.$

Khi đó ta có $\overrightarrow{DA}$ = $\overrightarrow{AG}$. Do đó, $T_{\overrightarrow{AG}}(D)=A$

Bài 3 trang 7 SGK Hình học 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (-1;2), hai điểm A(3;5), B( -1; 1) và đường thẳng d có phương trình x-2y+3=0.

a) Tìm tọa độ của các điểm $A^{\prime },B^{\prime }$ theo thứ tự là ảnh của $A,B$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$.

b) Tìm tọa độ của điểm $C$ sao cho $A$ là ảnh của $C$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$.

c)Tìm phương trình của đường thẳng $d^{\prime }$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$.

Phương pháp giải:

a)

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vector $\overrightarrow{v}\left(a;b\right)$ biến điểm $M(x;y)$ thành điểm $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$. Khi đó $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{v}\iff \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }-x=a\hfill \\ y^{\prime }-y=b\hfill \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+a\hfill \\ y^{\prime }=y+b\hfill \end{array}$

b) Tìm tọa độ của điểm $C$ sao cho $A$ là ảnh của $C$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$.

c) Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Lời giải:

a)

Giả sử $A^{\prime }=(x^{\prime };y^{\prime })$. Khi đó

$T_{\overrightarrow{v}}(A)=A^{\prime }$

$\iff \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{v}\iff \{\begin{array}{l}{x}^{\prime }-3=-1\\ y^{\prime }-5=2\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=3-1=2\\ y^{\prime }=5+2=7\end{array}$  $\Rightarrow A^{\prime }=(2;7)$

$T_{\overrightarrow{v}}\left(B\right)=B^{\prime }$ $\iff \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{v}$ $\iff \{\begin{array}{l}{x}^{\prime }-\left(-1\right)=-1\\ y^{\prime }-1=2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-1-1\\ y^{\prime }=1+2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-2\\ y^{\prime }=3\end{array}$ $\Rightarrow B^{\prime }\left(-2;3\right)$

b)

Ta có:

$T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)=A$ $\iff \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{v}$ $\iff \{\begin{array}{l}{x}_A-x_C=-1\\ y_A-y_C=2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{x}_C=x_A+1\\ y_C=y_A-2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{x}_C=3+1=4\\ y_C=5-2=3\end{array}$ $\Rightarrow C\left(4;3\right)$

Cách khác

Ta có $A=T_{\overrightarrow{v}}(C)$ ⇔ $C=T_{-\overrightarrow{v}}(A)$ (với $-\overrightarrow{v}=\left(1;-2\right)$)

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=3+1=4\hfill \\ y^{\prime }=5-2=3\hfill \end{array}\Rightarrow C\left(4;3\right)$

c)

Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi $M(x;y)$ bất kì thuộc $d$, $M^{\prime }=T_{\overrightarrow{v}}(M)=(x^{\prime };y^{\prime })$ nên $M^{\prime }$ thuộc $d^{\prime }.$

Khi đó 

$M^{\prime }=T_{\overrightarrow{v}}(M)$ $\iff \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x-1\hfill \\ y^{\prime }=y+2\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=x^{\prime }+1\hfill \\ y=y^{\prime }-2\hfill \end{array}$

Ta có $M\in d\iff x-2y+3=0$$\iff (x^{\prime }+1)-2(y^{\prime }-2)+3=0$ $\iff x^{\prime }-2y^{\prime }+8=0$

$\iff M^{\prime }\in d^{\prime }$ có phương trình $x-2y+8=0$.

Vậy $T_{\overrightarrow{v}}(d)=d^{\prime }:x-2y+8=0$

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi $T_{\overrightarrow{v}}(d)=d^{\prime }$.

Khi đó $d^{\prime }$ song song hoặc trùng với $d$ nên phương trình của nó có dạng $x-2y+C=0$.

Lấy một điểm thuộc $d$ chẳng hạn $B(-1;1)$, khi đó gọi $B^{\prime }=T_{\overrightarrow{v}}\left(B\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=-1-1=-2\hfill \\ y^{\prime }=1+2=3\hfill \end{array}$ $\Rightarrow B^{\prime }\left(-2;3\right)\in d^{\prime }$

$\Rightarrow -2-2.3+C=0\iff C=8$

Vậy phương trình đường thẳng $\left(d^{\prime }\right):x-2y+8=0$.

+ Lấy điểm $A$ bất kì thuộc $a$ và điểm $B$ bất kì thuộc $b$. 

Ta sẽ chứng minh mọi phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{AB}$ biến $a$ thành $b$.

+ Trên  $a$ lấy $M$ bất kì, gọi $M^{\prime }$ = $T_{\overrightarrow{AB}}$ $(M)$. Ta chứng minh  $M^{\prime }\in b$ 

Vì: $M^{\prime }$ = $T_{\overrightarrow{AB}}$ $(M)$ nên $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$= $\overrightarrow{AB}$.

Suy ra tứ giác $AM{M}^{\prime }B$ là hình bình hành, hay $AM//B{M}^{\prime }$

Vậy  $M^{\prime }\in b$ hay $B{M}^{\prime }$ trùng với $b$

+ Ta có: $A,M\in a$ nên  $T_{\overrightarrow{AB}}$ $(a)$ là đường thẳng đi qua  $T_{\overrightarrow{AB}}$ $(A)$ và  $T_{\overrightarrow{AB}}$ $(M)$

Mà: $B=T_{\overrightarrow{AB}}$ $(A)$ và  $M^{\prime }=T_{\overrightarrow{AB}}$ $(M)$

 $\Rightarrow b=T_{\overrightarrow{AB}}$ $(a)$

Vì $A,B$ là các điểm bất kì  ( trên $a$ và $b$ tương ứng) nên có vô số phép tịnh tiến biến $a$ thành $b$.

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $M$ của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất $M^{\prime }$ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

+) Nếu kí hiệu phép biến hình đó là $F$ thì ta viết $F(M)=M^{\prime }$ hay $M^{\prime }=F(M)$ và gọi điểm $M^{\prime }$ là ảnh của điểm $M$ hay $M$ là điểm tạo ảnh của $M^{\prime }$ qua phép biến hình $F$.

Chú ý: Đối với phép biến hình:

- Mỗi điểm $M$ chỉ có một ảnh $M^{\prime }$ duy nhất

- Có thể có nhiều điểm khác nhau cùng có chung một ảnh.

+) Nếu $H$ là một hình nào đó trong mặt phẳng ta kí hiệu $H^{\prime }=F(H)$ là tập hợp các điểm $M^{\prime }=F(M)$, với mọi điểm $M$ thuộc $H$. Khi đó ta nói $F$ biến hình $H$ thành $H^{\prime }$, hay hình $H^{\prime }$ là ảnh của hình $H$ qua phép biến hình $F$

+) Để chứng minh hình $H^{\prime }$ là ảnh của hình $H$ qua phép biến hình $F$ ta chứng minh rằng $M\in H\iff F(M)\in H^{\prime }$

+) Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sẽ được một phép biến hình. Phép biến hình này còn được gọi là hợp thành của hai phép biến hình đã cho.

+) Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

2. Phép tịnh tiến

Định nghĩa

Trong mặt phẳng có vectơ $\overrightarrow{v}$ . Phép biến hình biến mỗi đểm $M$ thành điểm $M^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ thường được kí hiệu là $T_{\overrightarrow{v}}$, $\overrightarrow{v}$ được gọi là vectơ tịnh tiến 

Như vậy: $T_{\overrightarrow{v}}(M)=M^{\prime }$⇔ $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ =  $\overrightarrow{v}$

Tính chất

+) Nếu $T_{\overrightarrow{v}}(M)=M^{\prime }$, $T_{\overrightarrow{v}}(N)=N^{\prime }$ thì $\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}=\overrightarrow{MN}$ từ đó suy ra $MN=M^{\prime }{N}^{\prime }$. Như vậy phép tịnh tiến là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách.

+) Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thằng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Cho vectơ $\overrightarrow{v}$ $(a;b)$ và hai điểm $M(x;y),M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$. Khi đó:

$M^{\prime }=T_{\overrightarrow{v}}(M)$ ⇔ $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+a\\ y^{\prime }=y+b\end{array}$