Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Phép quay chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về phép quay lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Phép quay

Trả lời câu hỏi giữa bài:

- Biến điểm $A$ thành điểm $B;$

- Biến điểm $C$ thành điểm $D.$

Lời giải:

Dễ thấy $A,B$ là hai đỉnh kề nhau của hình bát giác đều nội tiếp đường tròn lớn.

Khi đó $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)={\displaystyle \frac{{360}^0}{8}}={45}^0$.

Mà $OA=OB$ nên phép quay tâm $O$ góc quay ${45}^0$ biến $A$ thành $B.$

$C,D$ là hai đỉnh kề nhau của hình lục giác đều nội tiếp đường tròn nhỏ.

Khi đó $\left(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}\right)={\displaystyle \frac{{360}^0}{6}}={60}^0$.

Mà $OC=OD$ nên phép quay tâm $O$ góc quay ${60}^0$ biến $C$ thành $D$.

Lời giải:

Khi bánh xe A quay theo chiều dương thì bánh xe B quay theo chiều âm.

Phương pháp giải:

Xác định chiều quay và độ lớn của góc quay.

Lời giải:

Từ lúc 12 giờ đến 15 giờ (từ số 12 đến số 3 là $\frac{1}{4}$ vòng tròn) kim giờ quay cùng chiều kim đồng hồ (ngược chiều dương) nên góc quay là $-{90}^o$

Từ lúc 12 giờ đến 15 giờ kim phút quay cùng chiều kim đồng hồ (ngược chiều dương) được 3 vòng tròn hay góc quay được là $-{1080}^o.$

a) Tìm ảnh của điểm $C$ qua phép quay tâm $A$ góc ${90}^{\circ }$.

b) Tìm ảnh của đường thẳng $BC$ qua phép quay tâm $O$ góc ${90}^{\circ }$.

Phương pháp giải:

a) Xác định ảnh:

+) Nối $C$ với $A$, vẽ tia $At$ (về phía ngược chiều kim đồng hồ so với tia $AC$) sao cho $\widehat{CAt}={90}^0.$

+) Trên tia $At$, lấy điểm $E$ sao cho $AC=AE.$

Chỉ ra vị trí của điểm $E.$

Cách khác: Lấy $E$, chứng tỏ $E$ là ảnh của $C$ qua phép quay đó.

Lời giải:

a)

Gọi $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua tâm $D$. Ta có: tam giác ACE vuông cân tại A.

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}AC=AE\\ \left(AC,AE\right)={90}^0\end{array}$

Khi đó ${Q_{(A,{90}^{\circ })}}^{}$ (C) = $E$

b)

$\{\begin{array}{l}OC=OB\\ \left(OB,OC\right)={90}^0\end{array}$ $\Rightarrow Q_{\left(O,{90}^0\right)}\left(B\right)=C$

$\{\begin{array}{l}OD=OC\\ \left(OC,OD\right)={90}^0\end{array}$ $\Rightarrow Q_{\left(O,{90}^0\right)}\left(C\right)=D$

Vậy ảnh của đường thẳng $BC$ qua phép quay tâm $O$ góc ${90}^{\circ }$ là đường thẳng $CD$.

Lời giải:

* Ta có $A(2;0)$ thuộc tia $Ox.$

Gọi $Q_{\left(O,90\right)}\left(A\right)=B$ thì $B$ thuộc tia $Oy$ và $OA=OB$ nên $B(0;2).$

* Lấy $A(2;0),B(0;2)$ thuộc $d$

Ta có: $Q_{\left(O;{90}^0\right)}\left(A\right)=B\Rightarrow B\left(0;2\right)$

$Q_{\left(O;{90}^0\right)}\left(B\right)=A^{\prime }\Rightarrow A^{\prime }\left(-2;0\right)$

Do đó $Q_{\left(O;{90}^0\right)}$ biến đường thẳng $AB$ thành đường thẳng $B{A}^{\prime }$ hay biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $B{A}^{\prime }$.

Mà $B\left(0;2\right),A^{\prime }\left(-2;0\right)$ nên đường thẳng $A^{\prime }B$ có phương trình ${\displaystyle \frac{x}{-2}}+{\displaystyle \frac{y}{2}}=1$

$\iff -x+y=2$ $\iff x-y+2=0$

Chú ý: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn $A\left(a;0\right),B\left(0;b\right)$ $\Rightarrow AB:{\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=1$ với $ab\ne 0$.

Cách khác:

Gọi $d^{\prime }$ là ảnh của $d$ qua $Q_{\left(O;{90}^0\right)}$

Dễ thấy $A(2;0)$ thuộc $d$ vì $2+0-2=0.$

$Q_{\left(O;{90}^0\right)}\left(A\right)=B$$\Rightarrow B\left(0;2\right)$ thuộc $d^{\prime }.$

Do $d^{\prime }=Q_{\left(O;{90}^0\right)}\left(d\right)$ $\Rightarrow \left(d,d^{\prime }\right)={90}^0\Rightarrow d^{\prime }\mathrm{\perp }d$.

Mà $\overrightarrow{n_d}=\left(1;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{d^{\prime }}}=\left(1;-1\right)$ là $VTPT$ của $d^{\prime }.$

$d^{\prime }$ đi qua $B(0;2)$ và nhận $(1;-1)$ làm $VTPT$ nên có phương trình:

$1(x-0)-1(y-2)=0$ hay $x-y+2=0.$

Lý thuyết Bài 5: Phép quay

1. Định nghĩa

Cho điểm $O$ và góc lượng giác $\alpha$. Phép biến hình biến $O$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M^{\prime }$ sao cho $O{M}^{\prime }=OM$ và góc lượng giác $(OM;O{M}^{\prime })$ bằng $\alpha$ được gọi là phép quay tâm $O$ góc $\alpha$.

Điểm $O$ được gọi là tâm quay còn $\alpha$ được gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm $O$ góc $\alpha$ thường được ký hiệu $Q_{\left(O,\alpha \right)}$.

2. Nhận xét

a) Chiều dương của phép quay trùng với chiều dương của đường tròn lượng giác, đó là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

b) Đặc biệt:

- Phép quay $Q_{(O,2k\pi )}$ với mọi số nguyên $k$ là phép đồng nhất.

- Phép quay $Q_{(O,(2k+1)\pi )}$ với mọi số nguyên $k$ là phép đối xứng tâm $O$

3. Tính chất

+) Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

+) Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

+) Phép quay góc $\alpha$ với $0\le |\alpha |\le$ $\frac{\pi }{2}$,biến đường thẳng $d$ thành đường thằng $d^{\prime }$ sao cho góc giữa $d$ và $d^{\prime }$ bằng $|\alpha |$.

4. Ví dụ

Cho tam giác $ABC$ và điểm $O$ nằm ngoài tam giác. Dựng ảnh của tam giác qua phép quay tâm $O$ góc quay ${60}^0$.