Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Phép đối xứng trục chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về phép đối xứng trục lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Phép đối xứng trục

Trả lời câu hỏi giữa bài:

$M^{\prime }={Đ}_d\left(M\right)\iff M={Đ}_d\left(M^{\prime }\right)$.

Lời giải:

$M^{\prime }={Đ}_d\left(M\right)$ nghĩa là phép biến hình này biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó và biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành $M^{\prime }$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $M{M}^{\prime }$

$+)M\in d\Rightarrow M^{\prime }={Đ}_d\left(M\right)\equiv M\Rightarrow M={Đ}_d\left(M^{\prime }\right)$

$+)M\notin d\Rightarrow M^{\prime }={Đ}_d\left(M\right)$ thì $d$ là đường trung trực của $M{M}^{\prime }$

$\Rightarrow M^{\prime }\notin d$ và phép biến hình biến mỗi điểm $M^{\prime }$ thành $M$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $M^{\prime }M$

$\Rightarrow M={Đ}_d\left(M^{\prime }\right)$.

Lời giải:

Gọi $A^{\prime }(a,b)$ và $B^{\prime }(c,d)$ lần lượt là ảnh của  $A(1;2)$ và $B(5;0)$  qua phép đối xứng trục qua trục $Oy$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \{\begin{array}{c}a=-1\hfill \\ b=2\hfill \end{array};\{\begin{array}{c}c=-5\hfill \\ d=0\hfill \end{array}\\ & \Rightarrow A^{\prime }(-1,2);B^{\prime }(-5,0)\end{array}$

b) Tìm một số hình tứ giác có trục đối xứng.

Lời giải:

a)

Các chữ cái có trục đối xứng là: H; A; O

b)

1 số hình tứ giác có trục đối xứng là: hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân.

Bài tập trang 11 SGK Toán 11

Lời giải:

Gọi $A^{\prime },B^{\prime }$ là ảnh của $A,B$ qua phép đối xứng qua trục $Ox.$

Ta có: 

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\prime }}=x_A=1\\ y_{A^{\prime }}=-y_A=-\left(-2\right)=2\end{array}\\ \Rightarrow A^{\prime }\left(1;2\right)\\ \{\begin{array}{l}{x}_{B^{\prime }}=x_B=3\\ y_{B^{\prime }}=-y_B=-1\end{array}\Rightarrow B^{\prime }\left(3;-1\right)\end{array}$

Do đó $A^{\prime }=(1;2),B^{\prime }=(3;-1)$.

Ảnh của đường thẳng $AB$ qua phép đối xứng trục $Ox$ là đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }.$

Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(2;-3\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{A^{\prime }{B}^{\prime }}}=\left(3;2\right)$ là VTPT của A'B'.\)

$A^{\prime }{B}^{\prime }$ đi qua $A^{\prime }(1;2)$ nên có phương trình:

$3(x-1)+2(y-2)=0$ hay $3x+2y-7=0.$

Cách khác:

Sử dụng công thức viết pt đường thẳng đi qua hai điểm (chương trình nâng cao, tham khảo)

Đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ có phương trình $\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-2}{-1-2}\iff \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}$ $\iff -3x+3=2y-4$ $\iff 3x+2y-7=0$.

Lời giải:

Cách 1:

Cho $x=0$ suy ra $-y+2=0$ hay $y=2.$

Cho $x=-1$ suy ra $-3.(-1)-y+2=0$ hay $y=-1.$

Do đó ta được hai điểm $A(0;2)$ và $B(-1;-1)$ thuộc $d$.

Gọi $A^{\prime }$ = $D_{Oy}(A)$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{A^{\prime }}=-x_A=0\\ y_{A^{\prime }}=y_A=2\end{array}\Rightarrow A^{\prime }\left(0;2\right)$

$B^{\prime }$ = $D_{Oy}(B)$ 

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{B^{\prime }}=-x_B=1\\ y_{B^{\prime }}=y_B=-1\end{array}\Rightarrow B^{\prime }\left(1;-1\right)$

Khi đó ảnh của đường thẳng $d$ qua phép đối xứng trục $Oy$ là đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }.$

Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(1;-3\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{A^{\prime }{B}^{\prime }}}=\left(3;1\right)$ là VTPT của $A^{\prime }{B}^{\prime }.$

Mà $A^{\prime }{B}^{\prime }$ đi qua $A^{\prime }(0;2)$ nên có phương trình:

$3(x-0)+1.(y-2)=0$ hay $3x+y-2=0.$

Cách 2:

Gọi $M(x;y)$ bất kì thuộc $d$, $M^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ là ảnh của $M(x;y)$ qua phép đối xứng trục $Oy$ nên $M^{\prime }$ thuộc $d^{\prime }$.

Khi đó $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-x\\ y^{\prime }=y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-x^{\prime }\\ y=y^{\prime }\end{array}$

Ta có $M$ thuộc $d\iff 3x-y+2=0$ $\iff -3x^{\prime }-y^{\prime }+2=0$

$\iff M^{\prime }$ thuộc đường thẳng $d^{\prime }$ có phương trình $3x+y-2=0$.

Phương pháp giải:

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. 

Lời giải:

- W, V, E, T, A, M: Mỗi chữ cái là một hình có trục đối xứng.

- Chữ I có hai trục đối xứng.

- Chữ O có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm.

- Chữ N là hình không có trục đối xứng.

Lý thuyết Bài 3: Phép đối xứng trục

1. Định nghĩa

Cho đường thẳng $d$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành $M^{\prime }$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $M{M}^{\prime }$, được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng $d$ hay phép đối xứng trục $d$.

Phép đối xứng trục $d$ thường được kí hiệu là ${Đ}_d$

Nếu hình $H^{\prime }$ là ảnh của hình $H$ qua ${Đ}_d$ thì ta còn nói $H$ đối xứng với $H^{\prime }$ qua $d$, hay $H$ và $H^{\prime }$ đối xứng với nhau qua $d$.

2. Nhận xét

+) Cho đường thẳng $d$. Với mỗi điểm $M$, gọi $M^{″}$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $d$. Khi đó

$M^{\prime }={Đ}_{d}M)$ $\iff$ $\overrightarrow{M^{″}{M}^{\prime }}$ = $-\overrightarrow{M^{″}M}$

+) $M^{\prime }={Đ}_d(M)$ $\iff$ $M={Đ}_d(M^{\prime })$

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $Ox$

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\\ y^{\prime }=-y.\end{array}$

4. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $Oy$

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=-x\\ y^{\prime }=y\end{array}$

5. Tính chất

+) Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

+) Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

6. Trục đối xứng của một hình

Đường thẳng $d$ được gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu phép đối xứng qua $d$ biến $H$ thành chính nó. Tức ${Đ}_d(H^{\prime })=H$

Khi đó ta nói $H$ là hình có trục đối xứng.