Phép đối xứng tâm (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

Nguyễn Thúy Ngày: 28-08-2022 Lớp 11

449

Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Phép đối xứng tâm (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

I. Lý thuyết Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa

(ảnh 5)

Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I.

Nếu hình H là ảnh của hình H qua Đ_I thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua tâm I, hay H và H’ đối xứng với nhau qua I.

Từ đinh nghĩa suy ra M = Đ_I(M) ⇔ IM'→ = - IM→

2. Biểu thức toạ độ

Với O(0;0), ta có M(x’; y’) = Đ_O[M(x;y)] thì

(ảnh 4)

Với I(a; b), ta có M(x’; y’) = Đ_I(x’; y’) thì

(ảnh 3)

3. Tính chất

Tính chất 1

Nếu Đ_I(M) = M’ và Đ_I(N) = N thì M'N'→ = – MN→, từ đó suy ra M’N’ = MN.

(ảnh 2)

Tính chất 2

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

(ảnh 1)

4. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa

Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó.

Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng.

II. Bài tập Phép đối xứng tâm

Câu 1. Hình nào sau đây có tâm đối xứng?

A. Hình thang.

B. Hình tròn.

C. Parabol.

D. Tam giác bất kì.

Đáp án: B

Câu 2. Cho tam giác $A B C$ có $A, B$ cố định; điểm $C$ di động trên đường thẳng d . Dựng hình bình hành $A M B C$ . Quỹ tích điểm $M$ là:

A. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm A

B. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm B

C. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AB

D. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AC

Đáp án: C

Câu 3. Cho hình bình hành $A B C D$ ( $A B C D$ không là hình thoi). Trên đường chéo $B D$ lấy hai điểm $M, N$ sao cho $B M = M N = N D$ .

Gọi $P, Q$ lần lượt là giao điểm của $A N$ và $C D$ ; $C M$ và $A B$ . Tìm mệnh đề sai.

A. P và Q đối xứng qua O

B. M và N đối xứng qua O

C. M là trọng tâm tam giác ABC

D. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đáp án: D

Câu 4. Trong các hình sau đây, hình nào không có tâm đối xứng?

A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.

B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.

C. Hình lục giác đều.

D. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp.

Đáp án: B

Câu 5. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng ?

A. Đường elip.

B. Đường hypebol.

C. Đường parabol.

D. Đồ thị hàm số $y = \sin x .$

Đáp án: C

Câu 6. Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Đáp án: B

Câu 7. Cho hai đường thẳng song song $d$ và $d'$ Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thằng đó thành chính nó?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Đáp án: A

Câu 8. Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$ Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Đáp án: B

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho elip $(E)$ có phương trình $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1.$ Viết phương trình elip $(E')$ là ảnh của elip $(E)$ qua phép đối xứng tâm $I (1; 0) .$

A. $(E') : \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1.$

B. $(E') : \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1.$

C. $(E') : \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1.$

D. $(E') : \frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1.$

Đáp án: B

Câu 10. Cho tam giác $A B C$ không cân. Hai điểm $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A B, A C$ . Gọi O là trung điểm của $M N$ . Điểm $A^{'}$ đối xứng với A qua O . Tìm mệnh đề sai.

A. $A M A^{'} N$ là hình bình hành

B. $B M N A^{'}$ là hình bình hành

C. $B, C$ đối xứng với nhau qua $A'$

D. $B M N A^{'}$ là hình thoi.

Đáp án: D

Câu 11. Cho bốn đường thẳng $a, b, a', b'$ trong đó $a ∥ a'$ , $b ∥ b'$ và $a$ cắt $b$ . Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến các đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt thành các đường thẳng $a'$ và $b'$ ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Đáp án: B

Câu 12. Hình nào sau đây vừa có tâm đối xứng, vừa có trục đối xứng?

A. Hình bình hành.

B. Hình bát giác đều.

C. Hình ngũ giác đều

D. Hình tam giác đều.

Đáp án: B

Câu 13. Hình nào sau đây có trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng?

A. Hình bình hành.

B. Hình bát giác đều.

C. Đường thẳng.

D. Hình tam giác đều.

Đáp án: D

Câu 14. Hình nào sau đây có trục đối xứng và đồng thời có tâm đối xứng?

(ảnh 6)

A. Hình 1 và Hình 2.

B. Hình 1 và Hình 3.

C. Hình 2 và Hình 3.

D. Hình 1, Hình 2 và Hình 3.

Đáp án: C

Câu 15. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.

B. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.

C. Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.

D. Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.

Đáp án: B

Câu 16. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

B. Nếu IM’ = IM thì Đ_I(M) = M’.

C. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

D. Phép đối xứng tâm biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

Đáp án: B

Câu 17. Ảnh của đường thẳng $Δ : x - y - 4 = 0$ qua phép đối xứng tâm $I (a; b)$ là đường thẳng $Δ' : x - y + 2 = 0$ .

Tính giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} .$

A. $P_{\min} = \sqrt{2} .$

B. $P_{\min} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

C. $P_{\min} = \frac{1}{2} .$

D. $P_{\min} = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Đáp án: C

Câu 18. Cho lục giác đều $A B C D E F$ tâm O . Tìm ảnh của tam giác $A B D$ qua phép đối xúng tâm O.

A. $Δ A D B .$

B. $Δ D E A .$

C. $Δ D C F .$

D. $Δ E A D .$

Đáp án: B

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho phép đối xứng tâm $I (1; 2)$ biến điểm $M (x; y)$ thành $M' (x'; y')$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\{\begin{matrix} x' = - x + 2 \\ y' = - y - 2 \end{matrix} .$

B. $\{\begin{matrix} x' = - x + 2 \\ y' = - y + 4 \end{matrix} .$

C. $\{\begin{matrix} x' = - x + 2 \\ y' = - y - 4 \end{matrix} .$

D. $\{\begin{matrix} x' = x + 2 \\ y' = y - 2 \end{matrix} .$

Đáp án: B

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho phép đối xứng tâm $O (0; 0)$ biến điểm $M (- 2; 3)$ thành điểm $M'$ có tọa độ là:

A. $M' (- 4; 2) .$

B. $M' (2; - 3) .$

C. $M' (- 2; 3) .$

D. $M' (2; 3) .$

Đáp án: B

Câu 21. Phép đối xứng tâm $I (a; b)$ biến điểm $A (1; 3)$ thành điểm $A' (1; 7)$ . Tính tổng $T = a + b$ .

A. $T = 4.$

B. $T = 6.$

C. $T = 7.$

D. $T = 8.$

Đáp án: B

Câu 22. Phép đối xứng tâm $O (0, 0)$ biến điểm $A (m; - m)$ thành điểm $A'$ nằm trên đường thẳng $x - y + 6 = 0.$ Tìm m .

A. $m = 3$

B. $m = 4$

C. $m = - 3$

D. $m = - 4$

Đáp án: A

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho điểm $M (2; 1) .$ Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v} = (1; 2)$ biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau?

A. $A (1; 3)$

B. $B (2; 0)$

C. $C (0; 2)$

D. $D (- 1; 1)$

Đáp án: D

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y,$ tìm phương trình đường tròn $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ : ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ qua phép đối xứng tâm $O (0; 0)$ .

A. $(C') : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9.$

B. $(C') : {(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9.$

C. $(C') : {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9.$

D. $(C') : {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9.$

Đáp án: D

Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $Δ : y + 2 = 0$ và đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} = 13.$ Qua phép đối xứng tâm $I (1; 0)$ điểm M trên $∆$ biến thành điểm N trên $(C) .$ Độ dài nhỏ nhất của đoạn MN bằng:

A. $5.$

B. 6

C. $4 \sqrt{5}$

D. $4 \sqrt{2}$

Đáp án: D

Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho đường thẳng $d : 3 x - 2 y - 1 = 0.$ Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

A. $3 x + 2 y + 1 = 0.$

B. $- 3 x + 2 y - 1 = 0.$

C. $3 x + 2 y - 1 = 0.$

D. $3 x - 2 y - 1 = 0.$

Đáp án: B

Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y,$ tìm phương trình đường tròn $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} = 1$ qua phép đối xứng tâm $I (1; 0)$ .

A. $(C') : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1.$

B. $(C') : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1.$

C. $(C') : x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1.$

D. $(C') : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1.$

Đáp án: A

Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho đường tròn $(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16.$ Giả sử phép đối xứng tâm I biến điểm $A (1; 3)$ thành điểm $B (a; b) .$ Tìm phương trình của đường tròn $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép đối xứng tâm I.

A. $(C') : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 1.$

B. $(C') : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 4.$

C. $(C') : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 9.$

D. $(C') : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 16.$

Đáp án: D

Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 2 - 4 t \\ y = 1 + t \end{cases} .$ Ảnh của đường thẳng $∆$ qua phép đối xứng tâm $I (- 2; 2)$ có phương trình là:

A. $x + 4 y - 5 = 0.$

B. $x + 4 y - 6 = 0.$

C. $4 x - y + 1 = 0.$

D. $4 x - y - 1 = 0.$

Đáp án: B

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn $(C)$ và $(C')$ có phương trình lần lượt là $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 7 = 0$ và $x^{2} + y^{2} - 12 x - 8 y + 51 = 0$ .

Xét phép đối xứng tâm I biến $(C)$ và $(C')$ . Tìm tọa độ tâm I .

A. $I (2; 3) .$

B. $I (1; 0) .$

C. $I (8; 6) .$

D. $I (4; 3) .$

Đáp án: D

Câu 31. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - 6y + 5 = 0, điểm I(2;-4). Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

A. 2x - 6y - 9 = 0.

B. 2x - 6y - 61 = 0.

C. -2x - 6y - 61 = 0.

D. 2x + 6y - 61 = 0.

Đáp án: B

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x = 2. Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O?

A. x = -2.

B. y = 2.

C. x = 2.

D. y = -2.

Đáp án: A

Câu 33. Cho điểm I(1;1) và đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

A. d': x + y - 3 = 0.

B. d': x + 2y - 7 = 0.

C. d': 2x + 2y - 3 = 0.

D. d': x + 2y - 9 = 0.

Đáp án: D

Câu 34. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và điểm I(a;b). Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành đường thẳng d' có phương trình:

A. Ax + By + C – 2(Aa + Bb + C) = 0.

B. 2Ax + 2By + 2C – 3(Aa + Bb + C) = 0.

C. Ax + 3By + 2C – 27 = 0.

D. Ax + By + C – Aa – Bb – C = 0.

Đáp án: A

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm I(1;2) biến điểm M(x;y) thành M'(x';y'). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(ảnh 8)