Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 2: Tập hợp ℝ các số thực sách Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7 Tập 1. Mời các bạn đón xem:

Giải SGK Toán 7 Bài 2 (Cánh diều): Tập hợp ℝ các số thực

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Khởi động trang 38 Toán lớp 7 Tập 1: Các số hữu tỉ và vô tỉ được gọi chung là số gì?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Các số hữu tỉ và vô tỉ được gọi chung là số thực. Tập hợp các số thực được kí hiệu là ℝ.

I. SỐ THỰC

Hoạt động 1 trang 38 Toán lớp 7 Tập 1: a) Nêu hai ví dụ về số hữu tỉ. b) Nêu hai ví dụ về số vô tỉ.

Lời giải:.

a) Hai ví dụ về số hữu tỉ là: $\frac{1}{3}; 0,5$

b) Hai ví dụ về số vô tỉ là: $\sqrt{2}; \sqrt{11}$

Hoạt động 2 trang 38 Toán lớp 7 Tập 1: a) Nêu biểu diễn thập phân của số hữu tỉ.

b) Nêu biểu diễn thập phân của số vô tỉ.

Lời giải:

a) Các số hữu tỉ được biểu diễn bằng các số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

b) Các số vô tỉ được biểu diễn bằng các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

II. BIỂU DIỄN SỐ THỰC TRÊN TRỤC SỐ

Hoạt động 3 trang 39 Toán lớp 7 Tập 1: Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: -1/2; 1; 1,25; 7/4

Lời giải:

+ Biểu diễn số hữu tỉ $\frac{-1}{2}$

• Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm –1 đến điểm 0) thành hai phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng $\frac{1}{2}$ đơn vị cũ).

• Đi theo chiều ngược với chiều dương của trục số, bắt đầu từ điểm 0, ta lấy 1 đơn vị mới đến điểm A. Điểm A biểu diễn số hữu tỉ $\frac{-1}{2}$ (như hình vẽ).

+ Biểu diễn số hữu tỉ 1: Theo chiều dương của trục số, ta lấy 1 đơn vị đến điểm B. Điểm B biểu diễn số hữu tỉ 1. 

+ Biểu diễn số hữu tỉ 1,25:

• Viết số 1,25 dưới dạng phân số tối giản 1,25 = $\frac{125}{100}$ = $\frac{5}{4}$

• Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm 0 đến điểm 1) thành bốn phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng $\frac{1}{4}$ đơn vị cũ).

• Đi theo chiều dương của trục số, bắt đầu từ điểm 0, ta lấy 5 đơn vị mới đến điểm C. Điểm C biểu diễn số hữu tỉ 1,25 (như hình vẽ).

+ Biểu diễn số hữu tỉ $\frac{7}{4}$

• Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm 0 đến điểm 1) thành bốn phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng $\frac{1}{4}$ đơn vị cũ).

• Đi theo chiều dương của trục số, bắt đầu từ điểm 0, ta lấy 7 đơn vị mới đến điểm D. Điểm D biểu diễn số hữu tỉ $\frac{7}{4}$ (như hình vẽ).

III. ĐỐI SỐ CỦA MỘT SỐ THỰC

Hoạt động 4 trang 39 Toán lớp 7 Tập 1: Đọc kĩ nội dung sau:

Gọi A là điểm (nằm bên phải điểm gốc 0) biểu diễn số thực $\sqrt{2}$ trên trục số nằm ngang. Gọi B là điểm nằm bên trái điểm gốc 0 sao cho OA = OB (điểm O biểu diễn điểm gốc 0). Khi đó, điểm B biểu diễn một số thực, kí hiệu là $-\sqrt{2}$ (Hình 6).

Hai điểm biểu diễn các số thực $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ nằm về hai phía của điểm gốc 0 và cách đều điểm gốc 0.

Luyện tập 1 trang 40 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số đối của mỗi số sau: 

Lời giải:

Số đối của $\frac{2}{-9}$ là $\frac{2}{9}$.

Số đối của –0,5 là 0,5.

Số đối của $-\sqrt{3}$ là 

IV. SO SÁNH CÁC SỐ THỰC

Hoạt động 5 trang 40 Toán lớp 7 Tập 1: a) So sánh hai số thập phân sau: –0,617 và –0,614.

b) Nêu quy tắc so sánh hai số thập phân hữu hạn.

Lời giải:

a) Vì –0,617 và –0,614 là hai số thập phân âm nên ta đi so sánh hai số đối của chúng là 0,617 và 0,614.

Ta thấy phần nguyên của hai số cần so sánh đều là 0 nên ta chuyển sang so sánh phần thập phân của chúng.

Ta thấy ở hàng phần mười và hàng phần trăm của hai số này giống nhau nên ta so sánh đến hàng phần nghìn. 

Vì 7 > 4 nên 0,617 > 0,614 do đó –0,617 < –0, 614.

b) Quy tắc so sánh hai số thập phân hữu hạn.

- Nếu hai số thập phân hữu hạn a, b đem so sánh là hai số thập phân dương thì ta đi so sánh phần nguyên của chúng. Nếu phần nguyên bằng nhau thì ta so sánh đến phần thập phân, bắt đầu từ hàng phần mười, nếu hàng phần mười bằng nhau thì ta so sánh đến hàng phần trăm…đến cùng một hàng nào đó, số thập phân nào có chữ số ở hàng tương ứng lớn hơn thì lớn hơn.

- Nếu hai số thập phân hữu hạn a, b đem so sánh có một số là số thập phân âm, một số là số thập phân dương thì số thập phân dương luôn lớn hơn số thập phân âm.

- Nếu hai số thập phân hữu hạn a, b đem so sánh là hai số thập phân âm thì ta so sánh hai số đối của chúng với nhau. Số nào có số đối lớn hơn thì nhỏ hơn.

Chú ý: Số thập phân âm luôn nhỏ hơn 0, số thập phân dương luôn lớn hơn 0.

Luyện tập 2 trang 41 Toán lớp 7 Tập 1: So sánh hai số thực sau: 

a) 1,(375) và $1\frac{3}{8}$;

b) –1,(27) và  –1,272.

Lời giải:

a) Ta có: $1\frac{3}{8}=\frac{11}{8}=\mathrm{1,375}=\mathrm{1,3750}$ và 1, (375) = 1, 375375…

Ta thấy kể từ trái sang phải, chữ số hàng phần mười, phần trăm, phần nghìn của hai số này giống nhau và cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở vị trí hàng phần chục nghìn.

Do 3 > 0 nên 1,375375… > 1,3750 hay 1,(375) > $1\frac{3}{8}$.

b) Ta có: –1,(27) = –1,2727… và –1,272 = –1,2720. 

Hai số này là hai số thập phân âm nên ta đi so sánh hai số đối của chúng.

Số đối của –1,2727… là 1,2727… 

Số đối của –1,2720 là 1,2720.

Ta thấy kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở vị trí hàng phần chục nghìn. 

Do 7 > 0 nên 1,2727… > 1,2720 do đó –1,2727… < –1,2720

Hay –1,(27) < –1,272.

BÀI TẬP

Bài 1 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Nếu a $\in \mathbb{Z}$ thì a $\in ℝ$.

b) Nếu a $\in \mathbb{Q}$ thì a $\in ℝ$.

c) Nếu a $\in ℝ$ thì a $\in \mathbb{Z}$.

d) Nếu a $\in ℝ$ thì a $\notin \mathbb{Q}$.

Lời giải:

a) Nếu a ∈ ℤ thì a ∈ ℝ.

Nếu a ∈ ℤ tức a là số nguyên, mà mọi số nguyên đều là số thực, do đó a ∈ ℝ.

Vậy phát biểu a) đúng.

b) Nếu a ∈ ℚ thì a ∈ ℝ.

Nếu a ∈ ℚ tức a là số hữu tỉ, mà mọi số hữu tỉ đều là số thực a ∈ ℝ.

Vậy phát biểu b) đúng.

c) Nếu a ∈ ℝ thì a ∈ ℤ.

Nếu a ∈ ℝ tức a là số thực, mà không phải số thực nào cũng là số nguyên.

Chẳng hạn, 1,4 ∈ ℝ nhưng 1,4 ∉ ℤ.

Do đó phát biểu c) sai.

d) Nếu a ∈ ℝ thì a ∉ ℚ.

Nếu a ∈ ℝ tức a là số thực, mà không phải số thực nào cũng không phải là số hữu tỉ.

Chẳng hạn, $\frac{3}{3}$ ∈ ℝ nhưng $\frac{3}{3}$ ∈ ℚ

Do đó phát biểu d) sai.

Vậy, trong các phát biểu trên: Phát biểu đúng là a và b; Phát biểu sai là c và d.

Bài 2 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số đối của mỗi số sau:$\frac{-8}{35};\frac{5}{-6};-\frac{18}{7};\mathrm{1,15};-\mathrm{21,54};-\sqrt{7};\sqrt{5}$.

Lời giải:

Số đối của $\frac{-8}{35}$ là $\frac{8}{35}$.

Số đối của $\frac{5}{-6}$ là $\frac{5}{6}$.

Số đối của $-\frac{18}{7}$ là $\frac{18}{7}$.

Số đối của 1,15 là - 1,15.

Số đối của –21,54 là 21,54.

Số đối của $-\sqrt{7}$ là $\sqrt{7}$.

Số đối của $\sqrt{5}$ là $-\sqrt{5}$.

Bài 3 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1: So sánh:

a) –1,(81) và –1,812;

b) $2\frac{1}{7}$ và 2,142;

c) –48,075… và –48,275…;

d) $\sqrt{5}$ và $\sqrt{8}$

Lời giải:

a) Hai số cần so sánh là hai số âm nên ta đi so sánh số đối của chúng.

Số đối của –1,(81) là 1,(81). 

Số đối của –1,812 là 1,812.

Ta có: 1,(81) = 1, 8181…

So sánh: 1,8181…và 1,812 ta thấy: Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở vị trí hàng phần nghìn. Mà 8 > 2 nên 1,8181… > 1,812. 

Do đó –1,8181… < –1,812 hay –1,(81) < -1,812.

b) Ta thấy $2\frac{1}{7}$ và 2,142 có phần nguyên giống nhau nên ta đi so sánh $\frac{1}{7}$ và 0,142.

Ta thực hiện đặt phép tính chia 1 cho 7 như sau:

Vậy $\frac{1}{7}=\mathrm{0,1428...}$

Ta so sánh 0,1428… và 0,1420

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần chục nghìn. Mà 8 > 0 nên 0,1428… > 0,1420 hay $\frac{1}{7}>\mathrm{0,142}$ nên $2\frac{1}{7}>\mathrm{2,142}$

c) Hai số cần so sánh là hai số âm nên ta đi so sánh hai số đối của chúng.

Số đối của –48,075… là 48,075… 

Số đối của –48,275… là 48,275… 

Ta so sánh 48,075…   và 48,275… 

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng phần mười. Mà 0 < 2 nên 48,075… < 48,275…Do đó –48,075… > –48,275…

d) Vì 8 > 5 > 0 nên $\sqrt{8}>\sqrt{5}$.

Bài 4 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm chữ số thích hợp cho $\boxed{?}$:

a) $-\mathrm{5,02}<-\mathrm{5,}\boxed{?}1$;

b) $-\mathrm{3,7}\boxed{?}8>-\mathrm{3,715}$;

c) $-\mathrm{0,5}\boxed{?}\left(742\right)<-\mathrm{0,59653}$;

d) $-\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)<-\mathrm{1,49}$.

Lời giải:

a) Vì $-\mathrm{5,02}<-\mathrm{5,}\boxed{?}1$ nên 5,02 > 5,$\boxed{?}$1 .

Ta xét hai số 5,02 và 5,$\boxed{?}$1 thấy phần nguyên của hai số giống nhau nên để số 5,02 > 5,$\boxed{?}$1 thì $\boxed{?}$ phải điền số 0 vì nếu là số lớn hơn 0 thì không thỏa mãn.

b) Vì $-\mathrm{3,7}\boxed{?}8>-\mathrm{3,715}$ nên 3,7$\boxed{?}$8 < 3,715. 

Ta xét hai số 3,7 8 và 3,715 thấy phần nguyên và hàng phần mười của hai số giống nhau; hàng phần nghìn có 8 > 5 nên hàng phần trăm của 3,7$\boxed{?}$8 phải nhỏ hơn hàng phần trăm của 3,715. 

Do đó $\boxed{?}$ chỉ có thể là 0.

c) Vì $-\mathrm{0,5}\boxed{?}\left(742\right)<-\mathrm{0,59653}$ nên 0,5$\boxed{?}$(742) > 0,59653. 

Ta xét hai số 0,5$\boxed{?}$(742) và 0,59653 thấy phần nguyên và hàng phần mười của hai số giống nhau nếu $\boxed{?}$ nhỏ hơn 9 thì 0,5$\boxed{?}$(742) < 0,58653 nên $\boxed{?}$ chỉ có thể là 9.

d) Vì $-\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)<-\mathrm{1,49}$ nên 1,$\left(4\boxed{?}\right)$ > 1,49

Ta có: $\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)=\mathrm{1,4}\boxed{?}4\boxed{?}\mathrm{...}$ ta thấy nếu $\boxed{?}$< 9 thì $\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)=\mathrm{1,4}\boxed{?}4\boxed{?}\mathrm{...}$< 1,49 nên $\boxed{?}$ chỉ có thể là 9.

Bài 5 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: 

–2,63…; 3,(3); –2,75…; 4,62.

b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: 

1,371…; 2,065; 2,056…; –0,078…;1,(37).

Lời giải:

a) Nhận thấy trong các số trên thì có số thập phân dương và số thập phân âm và số thập phân âm luôn nhỏ hơn số thập phân dương.

Do đó ta chia thành các số trên thành hai nhóm để so sánh là nhóm số thập phân âm và nhóm số thập phân dương.

Nhóm 1: –2,63…; –2,75…

Nhóm 2: 3, (3); 4,62.

+) Xét nhóm 1: –2,63…; –2,75….

Đây là hai số thập phân âm nên ta so sánh số đối của chúng là 2,63… và 2,75…

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau của hai số 2,63… và 2,75… là cặp số hàng phần mười. Mà 6 < 7 nên 2,63… < 2,75…. Do đó –2,63… > –2,75…

+) Xét nhóm 2: 3,(3); 4,62

Ta có 3,(3) = 3,33…

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau của hai số 3,33…và 4,62 là cặp số hàng đơn vị. 

Mà 3 < 4 nên 3,33… < 4,62.

Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: -2,75…; -2,63…; 3,(3); 4,62.

b) Ta thấy số thập phân âm bé hơn số thập phân dương nên –0,078 nhỏ nhất

Ta đi so sánh 1,371…; 2,065; 2,056…; 1,(37).

Vì 2 > 1 nên ta sẽ có những số có phần nguyên là 2 sẽ lớn hơn những số có phần nguyên là 1. 

Ta chia bốn số trên thành 2 nhóm để so sánh.

+) Nhóm 1 gồm 1,371… và 1,(37) = 1,3737…

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau của hai số 1,371… và 1,3737… là cặp số hàng phần nghìn. 

Mà 3 > 1 nên 1,3737… > 1,371… 

Do đó 1,(37) > 1,371….

+) Nhóm 2 gồm 2,065 và 2,056….

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau của hai số 2,065 và 2,056…. là cặp số hàng phần trăm mà 6 > 5 nên 2,065 > 2,056…

Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần: 2,065; 2,056…; 1,(37); 1,371…; –0,078…