Lời giải:

Mỗi cách sắp xếp 10 người thành một hàng dọc cũng là một kết quả của sự sắp xếp thứ tự 10 phần tử của tập hợp. Trong đó tập hợp là tiểu đội và mỗi người là một phần tử. 

Như vậy số cách sắp xếp chính là số các hoàn vị của 10 phần tử, là: 10!= 3628800 (cách).

Lấy hai điểm bất kì trong số 4 điểm đã cho, một điểm làm gốc, một điểm làm ngọn sẽ được một véc tơ.

Chú ý: Véc tơ có phân biệt điểm đầu và điểm cuối.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD};$ $\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DB};\overrightarrow{DC}$

Lời giải:

Để hai đội bất kì gặp nhau đúng một lần, tức là trong số 16 đội mỗi trận sẽ lấy 2 đội bất kì, và mỗi lần lấy có ít nhất 1 đội khác với các lần khác. Nói cách khác, số trận đấu chính là số tập hợp con gồm 2 phần tử của tâp hợp gồm 16 phần tử .

Số trận đấu là số tổ hợp chập 2 của 16 phần tử:

 $C_{16}^2=\frac{16!}{2!(16-2)!}=\frac{16!}{2!.14!}=\frac{15.16}{2}=120$ (trận).

Bài tập trang 54, 55 SGK Toán 11

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ?

Số tự nhiên chẵn cần lập có dạng $\overline{abcdef}$, với $a,b,c,d,e,f$ $\in \left\{1,2,3,4,5,6\right\}$, có kể đến thứ tự, $f$ chia hết cho $2$.

+) $f$ chia hết cho $2$ nên $f\in \{2;4;6\}$ có $3$ cách.

+) $e\ne f$ nên có 5 cách chọn.

+) $d\ne e,f$ nên có 4 cách chọn.

+) $c\ne f,e,d$ nên có 3 cách chọn.

+) $b\ne f,e,d,c$ nên có 2 cách chọn.

+) $a\ne f,e,d,c,b$ nên có 1 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.4.3.2.1=360 số tự nhiên chẵn.

Do đó có: 720-360=360 số tự nhiên lẻ.

Cách khác:

+) Chọn $f$ có 3 cách chọn

+) 5 chữ số còn lại có 5!=120 cách sắp xếp thứ tự.

Theo quy tắc nhân có $3.5!=360$ (số).

c) Có bao nhiêu số bé hơn $432000$?

Gọi số tự nhiên cần lập có dạng $\overline{abcdef}$, $a,b,c,d,e,f\in \left\{1;2;...;6\right\}$.

Xét các trường hợp:

- TH1: $a=4,b=3$.

+) Nếu $c=2$ thì $d,e,f$ là các số còn lại $1,5,6$. khi đó số lập được sẽ lớn hơn $432000$

+) $c<2$ nên $c=1$, có $1$ cách chọn $c$.

Số cách chọn $d,e,f$ là số hoán vị của $3$ chữ số còn lại nên có $3!$ cách.

Do đó có $\mathrm{1.1.1.3}!=6$ số.

- TH2: $a=4,b<3$.

+) Có $1$ cách chọn $a$.

+) $b<3$ nên $b\in \left\{1;2\right\}$, có $2$ cách chọn $b$.

Số cách chọn $c,d,e,f$ là số hoán vị của $4$ chữ số nên có $4!$ cách.

Do đó có $2.4!=48$ số.

- TH3: $a<4$.

Vì $a<4$ nên $a\in \left\{1;2;3\right\}$ và có $3$ cách chọn $a$.

Số cách chọn các chữ số $b,c,d,e,f$ là số hoán vị của $5$ chữ số còn lại nên có $5!$ cách.

Do đó có $3.5!=360$ số.

Vậy có $6+48+360=414$ số.

Lời giải:

Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho $10$ người khách vào một dãy $10$ ghế là một hoán vị của $10$ người.

Suy ra số các cách để xếp chỗ ngồi cho $10$ người khách vào một dãy $10$ ghế là:

$P_{10}=10!=3628800$ (cách)

Lời giải:

Mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một cách chọn 3 bông hoa từ 7 bông và sắp thứ tự cho chúng (theo thứ tự của ba lọ).

Do đó mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một chỉnh hợp chập $3$ của $7$ bông hoa.

Vậy số cách cắm hoa là: $A_7^3=210$ (cách).

Lời giải:

Để mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau, ta cần chọn ra 4 trong số 6 bóng và sắp sếp theo một thứ tự nào đó để mắc nối tiếp chung (do các bóng đèn đều khác nhau)

Nên số cách mắc sẽ là số chỉnh hợp chập 4 của 6 bóng đèn đã cho, bằng:$A_{\mathbf{6}}^{\mathbf{4}}=360$ (cách).

Lời giải:

Cứ ba điểm phân biệt không thẳng hàng thì xác định một tam giác.

Do đó mỗi tập con gồm $3$ điểm (không phân biệt thứ tự) của tập hợp $6$ điểm đã cho xác định duy nhất một tam giác.

Vậy số tam giác chính bằng số tổ hợp chập 3 của 6, là: $C_6^3=20$ (tam giác)

Một hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường thẳng song song và 2 đường vuông góc bất kì trong các đường đã cho.

+) Chọn $2$ đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm $4$ đường thẳng song song đã cho. 

+) Chọn $2$ đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm $5$ đường thẳng đã cho, vuông góc với $4$ đường thẳng song song.

Sau đó sử dụng quy tắc nhân.

Lời giải:

Ta thấy: Một hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường song song và 2 đường vuông góc bất kì.

+) Chọn $2$ đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm $4$ đường thẳng song song đã cho có $C_4^2=6$ (cách)

+) Chọn $2$ đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm $5$ đường thẳng đã cho, vuông góc với $4$ đường thẳng song song có $C_5^2=10$ (cách).

Vậy theo quy tắc nhân có $6.10=60$ (cách) hay $60$ hình chữ nhật.