Lời giải:

$\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^4={\left(a+b\right)}^3\left(a+b\right)\\ =(a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3)\left(a+b\right)\\ =a^4+3a^{3}b+3a^2{b}^2+a{b}^3+a^{3}b+3a^2{b}^2+3a{b}^3+b^4\\ =a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\end{array}$

a) $1+2+3+4={C^2}_5$

b) $1+2+\dots +7={C^2}_8$

Lời giải:

a) $1+2+3+4={C^2}_5$

Dựa vào tam giác Pa-xcan:

$\begin{array}{l}{C^1}_4=4;{C^2}_4=6\\ {C^2}_5={C^1}_4+{C^2}_4=4+6=10\\ \text{Mà }1+2+3+4=10\\ \Rightarrow 1+2+3+4={C^2}_5\end{array}$

b) $1+2+\dots +7={C^2}_8$

Dựa vào tam giác Pa-xcan:

$\begin{array}{l}{C^1}_7=7;{C^2}_7=21\\ {C^2}_8={C^1}_7+{C^2}_7=7+21=28\\ 1+2+\cdots +7=\frac{\left(\left(1+7\right).7\right)}{2}=28\\ \Rightarrow 1+2+\cdots +7={C^2}_8\end{array}$

Bài tập trang 57, 58 SGK Toán 11

a) ${\left(a+2b\right)}^5$;

b) ${(a-\sqrt{2})}^6$;

c) ${(x-\frac{1}{x})}^{13}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...\\ ...+C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n\end{array}$

Trong trường hợp số mũ $n$ khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Lời giải:

Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

$(a+2b{)}^5=a^5+5a^4.2b+10a^3.(2b{)}^2+10a^2(2b{)}^3$

$+5a.(2b{)}^4+(2b{)}^5$$=a^5+10a^{4}b+40a^3{b}^2+80a^2{b}^3+80a{b}^4+32b^5$

$\begin{array}{l}C2:{\left(a+2b\right)}^5\\ =C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^4{\left(2b\right)}^1+C_5^2{a}^3{\left(2b\right)}^2\\ +C_5^3{a}^2{\left(2b\right)}^3+C_5^4{a}^1{\left(2b\right)}^4+C_5^5{\left(2b\right)}^5\\ =a^5+10a^{4}b+40a^3{b}^2+80a^2{b}^3+80a{b}^4+32b^5\end{array}$

b) ${\left(a-\sqrt{2}\right)}^6$

Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

${\left(a-\sqrt{2}\right)}^6=a^6+6a^5\left(-\sqrt{2}\right)+15a^4{\left(-\sqrt{2}\right)}^2$

$+20a^3{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+15a^{{}^2}{\left(-\sqrt{2}\right)}^4+6a{\left(-\sqrt{2}\right)}^5$

$+{\left(-\sqrt{2}\right)}^6$$=a^6-6\sqrt{2}{a}^5+30a^4-40\sqrt{2}{a}^3$

$+60a^2-24\sqrt{2}a+8$

$\begin{array}{l}C2:{\left(a-\sqrt{2}\right)}^6\\ =C_6^0{a}^6+C_6^1{a}^5{\left(-\sqrt{2}\right)}^1+C_6^2{a}^4{\left(-\sqrt{2}\right)}^2\\ +C_6^3{a}^3{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+C_6^4{a}^2{\left(-\sqrt{2}\right)}^4\\ +C_6^5{a}^1{\left(-\sqrt{2}\right)}^5+C_6^6{\left(-\sqrt{2}\right)}^6\\ =a^6-6\sqrt{2}{a}^5+30a^4-40\sqrt{2}{a}^3+60a^2\\ -24\sqrt{2}a+8\end{array}$

c) ${\displaystyle {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{13}}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{13}\\ =C_{13}^0{x}^{13}+C_{13}^1{x}^{12}.\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+C_{13}^2{x}^{11}.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2\\ +C_{13}^3{x}^{10}.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^3+C_{13}^4{x}^9.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^4\\ +C_{13}^5{x}^8.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^5+C_{13}^6{x}^7.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^6\\ +C_{13}^7{x}^6.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^7+C_{13}^8{x}^5.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^8\\ +C_{13}^9{x}^4.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^9+C_{13}^{10}{x}^3.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{10}\\ +C_{13}^{11}{x}^2.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{11}+C_{13}^{12}x.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{12}+C_{13}^{13}.{\left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{13}\\ =C_{13}^0{x}^{13}+C_{13}^1{x}^{12}.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^1}{x}}+C_{13}^2{x}^{11}.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^2}{x^2}}\\ +C_{13}^3{x}^{10}.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^3}{x^3}}+C_{13}^4{x}^9.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^4}{x^4}}\\ +C_{13}^5{x}^8.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^5}{x^5}}+C_{13}^6{x}^7.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^6}{x^6}}\\ +C_{13}^7{x}^6.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^7}{x^7}}+C_{13}^8{x}^5.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^8}{x^8}}\\ +C_{13}^9{x}^4.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^9}{x^9}}+C_{13}^{10}{x}^3.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{10}}{x^{10}}}\\ +C_{13}^{11}{x}^2.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{11}}{x^{11}}}+C_{13}^{12}x.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{12}}{x^{12}}}+C_{13}^{13}.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{13}}{x^{13}}}\\ =C_{13}^0{x}^{13}-C_{13}^1{x}^{11}+C_{13}^2{x}^9-C_{13}^3{x}^7+C_{13}^4{x}^5\\ -C_{13}^5{x}^3+C_{13}^{6}x-C_{13}^7.{\displaystyle \frac{1}{x}}+C_{13}^8.{\displaystyle \frac{1}{x^3}}-C_{13}^9.{\displaystyle \frac{1}{x^5}}\\ +C_{13}^{10}.{\displaystyle \frac{1}{x^7}}-C_{13}^{11}.{\displaystyle \frac{1}{x^9}}+C_{13}^{12}.{\displaystyle \frac{1}{x^{11}}}-C_{13}^{13}.{\displaystyle \frac{1}{x^{13}}}\end{array}$

B1: Khai triển ${\left(x+\frac{2}{x^2}\right)}^6$ về dạng $\sum _{k=1}^6{A}_k.x^{i_k}$

B2: Tìm k để $i_k=3$ từ đó suy ra $A_k$

KL: Hệ số của $x^3$ là $A_k$

Lời giải:

Số hạng tổng quát:

$\begin{array}{l}{\left(x+\frac{2}{x^2}\right)}^6=\sum _{k=1}^6{C}_6^k.x^{6-k}.{\left({\displaystyle \frac{2}{x^2}}\right)}^k=\sum _{k=1}^6{C}_6^k.x^{6-k}.{\displaystyle \frac{2^k}{{\left(x^2\right)}^k}}\\ =\sum _{k=1}^6{C}_6^k.x^{6-k}.{\displaystyle \frac{2^k}{x^{2k}}}=\sum _{k=1}^6{C}_6^k{x}^{6-k-2k}{.2}^k\\ =\sum _{k=1}^6{C}_6^k{.2}^k.x^{6-3k}\end{array}$

Số hạng chứa $x^3$ ứng với $6-3k=3\iff k=1$

Do đó hệ số của $x^3$ trong khai triển của biểu thức đã cho là: $C_6^1{.2}^1=2.6=12$

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của nhị thức Newton:

$$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$$

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: $x^m.x^n=x^{m+n};{\displaystyle \frac{x^m}{x^n}}=x^{m-n}$.

Để tìm hệ số của $x^2$ ta cho số mũ của x bằng 2, giải phương trình tìm n.

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton:

$$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$$

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: $x^m.x^n=x^{m+n};{\displaystyle \frac{x^m}{x^n}}=x^{m-n}$.

Để tìm hệ số của số hạng không chứa $x$ ta cho số mũ của x bằng 0, giải phương trình tìm $k$

Lời giải:

Số hạng tổng quát:

$\begin{array}{l}{T}_{k+1}=C_8^k.{\left(x^3\right)}^{8-k}.{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^k\\ =C_8^k.x^{24-3k}.{\displaystyle \frac{1}{x^k}}\\ =C_8^k{x}^{24-3k-k}\\ =C_8^k{x}^{24-4k}\end{array}$  

Số hạng không chứa $x$ ứng với $24-4k=0\iff 4k=24\iff k=6$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left(x^3+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^8$ là $C_8^6=28$

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...\\ ...+C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n\end{array}$

Để tính tổng các hệ số của khai triến trên ta cho $x=1$.

a) ${11}^{10}–1$ chia hết cho $100$

b) ${101}^{100}–1$ chia hết cho $10000$

c) $\sqrt{10}[{(1+\sqrt{10})}^{100}–{(1-\sqrt{10})}^{100}]$ là một số nguyên

Phương pháp giải:

a) Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích ${11}^{10}={\left(1+10\right)}^{10}$.

b) Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích ${101}^{100}={\left(1+100\right)}^{100}$.

c) Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Khai triển ${\left(1+\sqrt{10}\right)}^{100}$ và ${\left(1-\sqrt{10}\right)}^{100}$.

Lời giải:

a) ${11}^{10}–1$ chia hết cho $100$

${11}^{10}-1={\left(1+10\right)}^{10}-1$

$\begin{array}{l}=(C_{10}^0{1}^{10}{.10}^0+C_{10}^1{.1}^9{.10}^1+...\\ +...+C_{10}^9{.1}^1{.10}^9+C_{10}^{10}{1}^0{.10}^{10})-1\end{array}$

$=(1+C_{10}^1.10+C_{10}^2{.10}^2$ $+...+C_{10}^9{.10}^9+{10}^{10})-1$

$=10.10+C_{10}^2{10}^2+\dots +C_{10}^9{10}^9+{10}^{10}$

$=100\left(1+C_{10}^2+C_{10}^3.10+...+{10}^8\right)$

Tổng sau cùng chia hết cho $100$ suy ra ${11}^{10}–1$ chia hết cho $100$

b) ${101}^{100}–1$ chia hết cho $10000$

Ta có

${101}^{100}-1={\left(1+100\right)}^{100}-1$

$\begin{array}{l}=(C_{100}^0{.1}^{100}{.100}^0+C_{100}^1{.1}^{99}{.100}^1+...\\ +...+C_{100}^{99}{.1}^1{.100}^{99}+C_{100}^{100}{.100}^{100})-1\end{array}$

$=(1+C_{100}^1.100+C_{100}^2{100}^2+...$ $+C_{100}^{99}{100}^{99}+{100}^{99})-1$

$={100}^2+C_{100}^2{.100}^2+...+C_{100}^{99}{.100}^{99}+{100}^{100}$

$={100}^2\left(1+C_{100}^2+C_{100}^3.100+...+{100}^{98}\right)$

Tổng sau cùng chia hết cho ${100}^2=10000$ nên ${101}^{100}–1$ chia hết cho $10000$.

c) $\sqrt{10}[{(1+\sqrt{10})}^{100}–{(1-\sqrt{10})}^{100}]$ là một số nguyên

Ta có:

$(1+\sqrt{10}{)}^{100}=C_{100}^0+C_{100}^1\sqrt{10}+C_{100}^2{\left(\sqrt{10}\right)}^2+...$

$+C_{100}^{99}{\left(\sqrt{10}\right)}^{99}+C_{100}^{100}{\left(\sqrt{10}\right)}^{100}$

$(1-\sqrt{10}{)}^{100}=C_{100}^0-C_{100}^1\sqrt{10}+C_{100}^2{\left(\sqrt{10}\right)}^2-...$

$-C_{100}^{99}{\left(\sqrt{10}\right)}^{99}+C_{100}^{100}{\left(\sqrt{10}\right)}^{100}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(1+\sqrt{10}\right)}^{100}-{\left(1-\sqrt{10}\right)}^{100}=\left[C_{100}^0+C_{100}^1\sqrt{10}+...+C_{100}^k{\left(\sqrt{10}\right)}^k+...+C_{100}^{99}{\left(\sqrt{10}\right)}^{99}+C_{100}^{100}{\left(\sqrt{10}\right)}^{100}\right]\\ -\left[C_{100}^0-C_{100}^1\sqrt{10}+...+C_{100}^k{\left(-1\right)}^k{\left(\sqrt{10}\right)}^k+...-C_{100}^{99}{\left(\sqrt{10}\right)}^{99}+C_{100}^{100}{\left(\sqrt{10}\right)}^{100}\right]\\ =2.\left[C_{100}^1\sqrt{10}+C_{100}^3{\left(\sqrt{10}\right)}^3+...+C_{100}^k{\left(\sqrt{10}\right)}^k+...+C_{100}^{99}{\left(\sqrt{10}\right)}^{99}\right]\end{array}$

Đặt $k=2n+1$

$\begin{array}{l}=2\sqrt{10}.\left(C_{100}^1+C_{100}^3.10+...+C_{100}^{2n+1}{.10}^n+...+C_{100}^{99}{.10}^{49}\right)\\ =2\sqrt{10}.A\\ \Rightarrow \sqrt{10}.\left[{\left(1+\sqrt{10}\right)}^{100}-{\left(1-\sqrt{10}\right)}^{100}\right]=\sqrt{10}.2\sqrt{10}.A=20A\end{array}$

Vậy $\sqrt{10}[{(1+10)}^{100}–{(1-\sqrt{10})}^{100}]$ là một số nguyên.

Tổng hợp lí thuyết Nhị thức Newton ngắn gon, đầy đủ, dễ hiểu giúp các em nắm bắt các kiến thức cơ bản và nâng cao hiệu quả nhất.

I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

1. Công thức nhị thức Niu - Tơn

Với $a,b$ là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta có:

$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+$

$C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n(1)$

Ví dụ:

Viết khai triển ${\left(a+b\right)}^5$.

Hướng dẫn:

Ta có:

${\left(a+b\right)}^5$

$=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2$ $+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2$ $+10a^2{b}^3+5a{b}^5+b^5$

2. Quy ước

Với $a$ là số thực khác $0$ và $n$ là số tự nhiên khác $0$, ta quy ước:

                $a^0=1$; $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện $a$ và $b$ đều khác $0$, có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k=\sum _{k=0}^n{a}^k{b}^{n-k}$

Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.

II. Tam giác Pa-xcan

1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng 

2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan

- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng $1$.

- Xét hai số ở cột $k$ và cột $k+1$, đồng thời cùng thuộc dòng $n$, ($k\ge 0;n\ge 1$), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột $k+1$ và dòng $n+1$.

3. Tính chất của tam giác Pa-xcan

Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng $n$ và cột $k$ là $C_n^k$

b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:

$C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

c) Các số ở dòng $n$ là các hệ số trong khai triển của nhị thức ${(a+b)}^n$ (theo công thức nhị thức Niu - Tơn), với $a,b$ là hai số thực tùy ý.

Chẳng hạn, các số ở dòng $4$ là các hệ số trong khai triển của $(a+b{)}^4$ (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:

${\left(a+b\right)}^4$$=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$