a) P(∅) = 0, P(Ω) = 1.

Theo định nghĩa xác suất của biến cố ta có:

$\begin{array}{rl}& P(\mathrm{\varnothing })=\frac{n(\mathrm{\varnothing })}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{0}{n(\mathrm{\Omega })}=0\\ & P(\mathrm{\Omega })=\frac{n(\mathrm{\Omega })}{n(\mathrm{\Omega })}=1\end{array}$

b) 0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

$\begin{array}{rl}& n(\mathrm{\varnothing })\le n(A)\le n(\mathrm{\Omega })\Rightarrow \frac{n(\mathrm{\varnothing })}{n(\mathrm{\Omega })}\le \frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}\le \frac{n(\mathrm{\Omega })}{n(\mathrm{\Omega })}\\ & \Rightarrow P(\mathrm{\varnothing })\le P(A)\le P(\mathrm{\Omega })\end{array}$

hay $0\le P(A)\le 1$  (từ chứng minh câu a)

c) Nếu A và B xung khắc, thì

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất).

Nếu A và B xung khắc, ta có:

$\begin{array}{rl}& n(A\cup B)=n(A)+n(B)\\ & \Rightarrow \frac{n(A\cup B)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}+\frac{n(B)}{n(\mathrm{\Omega })}\\ & \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)\end{array}$

Bài tập trang 74, 75 SGK Toán 11

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn $10$";

B: "Mặt $5$ chấm xuất hiện ít nhất một lần".

c) Tính $P(A),P(B)$.

Phương pháp giải:

a)

Khi gieo: mỗi con súc sắc có thể xuất hiện một trong 6 mặt tương ứng 1,2,3,4,5,6 chấm.

Mỗi phần tử của kgm là một cặp số (x,y) $(x,y\in \{1;2;3;4;5;6\})$

b)

Liệt kê và đếm số phần tử của biến cố A: $n(A),n(B)$.

c)

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(\Omega )}}$.

Lời giải:

a)

Phép thử $T$ được xét là "Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần".

$\Omega =\left\{(i,j)\mid i,j=1,2,3,4,5,6\right\}$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=36$.

Cách liệt kê chi tiết:

Không gian mẫu: 

$\begin{array}{l}\mathrm{\Omega }=\{\left(1;1\right),\left(1;2\right),\left(1;3\right),\left(1;4\right),\left(1;5\right),\left(1;6\right),\left(2;1\right),\left(2;2\right),\left(2;3\right),\left(2;4\right),\left(2;5\right),\left(2;6\right),\left(3;1\right),\left(3;2\right),\left(3;3\right),\left(3;4\right),\left(3;5\right),\left(3;6\right),\left(4;1\right),\\ \left(4;2\right),\left(4;3\right),\left(4;4\right),\left(4;5\right),\left(4;6\right),\left(5;1\right),\left(5;2\right),\left(5;3\right),\left(5;4\right),\left(5;5\right),\left(5;6\right),\left(6;1\right),\left(6;2\right),\left(6;3\right),\left(6;4\right),\left(6;5\right),\left(6;6\right)\}\end{array}$

b) 

$A$ $=(6,4),(4,6),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6)$ $\Rightarrow n(A)=6$

$B$ = $(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)$ $\Rightarrow n(B)=11$.

c) 

$P(A)={\displaystyle \frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}}$= ${\displaystyle \frac{6}{36}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{6}}$;

$P(B)$ $={\displaystyle \frac{n\left(B\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}}$ = ${\displaystyle \frac{11}{36}}$.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

$A$: "Tổng các số trên ba tấm bìa bằng $8$";

$B$: "Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp".

c) Tính $P(A),P(B)$.

Phương pháp giải:

a) Liệt kê và đếm số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

b) Liệt kê và đếm các phần tử của A, B.

c) Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n(A)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$

Lời giải:

a)

Phép thử $T$ được xét là: "Từ bốn tấm bìa đã cho, rút ngẫu nhiên ba tấm".

Không gian mẫu là:

$\Omega =\left\{(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)\right\}$

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=4$.

b)

$A=\left\{(1,3,4)\right\}$, $n(A)=1$

$B=(1,2,3),(2,3,4),n(B)=2$

c) Tính $P(A),P(B)$.

$P\left(A\right)=\frac{n(A)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$ $=\frac{1}{4};$

+) Tính số phần tử của không gian mẫu.

+) Tính số phần tử của biến cố: "Hai chiếc chọn được tạo thành một đôi".

+) Tính xác suất của biến cố.

Lời giải:

Phép thử $T$ được xét là: "Lấy ngẫu nhiên $2$ chiếc giày từ $4$ đôi giày có cỡ khác nhau".

Số cách lấy ra $2$ trong $8$ chiếc giày là $n(\Omega )=C_8^2=28$ (Do 2 chiếc cùng một đôi phân chia trái phải nên không giống nhau)

Gọi $A$ là biến cố: "Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi".

Vì chỉ có $4$ đôi giày nên số cách lấy được $1$ trong $4$ đôi giày là $n(A)=4$.

Vậy $P(A)$= ${\displaystyle \frac{4}{28}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{7}}$.

a) Phương trình có nghiệm;

b) Phương trình vô nghiệm;

c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Phương pháp giải:

a) Phương trình bậc hai có nghiệm $\left(\mathrm{\Delta }\ge 0\right)$.

b) Phương trình bậc hai vô nghiệm $\left(\mathrm{\Delta }<0\right)$.

c) Điều kiện cần để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên là $\mathrm{\Delta }$ là số chính phương.

Lời giải:

a)

Không gian mẫu là $\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$, $n(\Omega )=6$

Ta có bảng:

Phương trình $x^2+bx+2=0$ có nghiệm khi và chỉ khi $∆=b^2-8\ge 0$ (*).

Vì vậy nếu $A$ là biến cố: "Xuất hiện mặt $b$ chấm sao cho phương trình $x^2+bx+2=0$ có nghiệm"

thì $A=\left\{3,4,5,6\right\},n(A)=4$ và $P(A)$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$.

Cách khác:

Phương trình (1) có nghiệm

$\begin{array}{l}\iff \mathrm{\Delta }\ge 0\iff b\ge 2\surd 2\\ \Rightarrow b\in \left\{3;4;5;6\right\}.\\ \Rightarrow A=\left\{3,4,5,6\right\}\\ \Rightarrow n\left(A\right)=4\end{array}$

$P(A)$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$.

b)

Biến cố $B$: "Xuất hiện mặt $b$ chấm sao cho phương trình $x^2+bx+2=0$ vô nghiệm"

Dễ thấy A và B là các biến cố đối

Theo qui tắc cộng xác suất ta có $P(B)=1-P(A)$ = $\frac{1}{3}$.

Cách khác:

(1) vô nghiệm

$\begin{array}{l}\iff \mathrm{\Delta }<0\iff b\le 2\surd 2\\ \Rightarrow b\in \left\{1;2\right\}\\ \Rightarrow B=\left\{1,2\right\}\\ \Rightarrow n\left(B\right)=2\end{array}$

$P(B)$ $=\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$.

c)

$C$ là biến cố: "Xuất hiện mặt $b$ chấm sao cho phương trình $x^2+bx+2=0$ có nghiệm nguyên" 

Phương trình (1) có nghiệm

$\iff b\in \left\{3;4;5;6\right\}.$

Thử các giá trị của b ta thấy:

Khi $b=3$ thì phương trình trở thành $x^2+3x+2=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=-2\end{array}\left(tm\right)$

Do đó $C=\left\{3\right\}\Rightarrow n\left(C\right)=1$.

Vậy $P\left(C\right)=\frac{n\left(C\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{1}{6}.$

a) Cả bốn con đều là át;

b) Được ít nhất một con át;

c) Được hai con át và hai con.

Phương pháp giải:

Để tính xác suất của biến cố A.

+) Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

+) Tính số phần tử của biến cố A: $n(A)$

+) Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}}$.

Lời giải:

a)

Phép thử $T$ được xét là: "Từ cỗ bài tú lơ khơ $52$ con bài, rút ngẫu nhiên $4$ con bài".

Mỗi kết quả có thể có là một tổ hợp chập $4$ của $52$ con bài. Do đó $n(\Omega )=C_{52}^4=270725$.

Gọi biến cố $A$: "Rút được bốn con át", $n(A)=1$.

Suy ra $P(A)$ = ${\displaystyle \frac{1}{270725}}$  $\approx 0,0000037$.

b)

Gọi biến cố $B$: "Rút được ít nhất một con át". Ta có

$\overline{B}$ = "Rút được $4$ con bài đều không là át".

Mỗi kết quả có thể thuận lợi cho $\overline{B}$ là một tổ hợp chập $4$ của $48$ con bài không phải là át.

Suy ra số các kết quả có thể có thuận lợi cho $\overline{B}$ là $n(\overline{B})=C_{48}^4=194580$.

$\Rightarrow P(\overline{B}$) = ${\displaystyle \frac{194580}{270725}}$ $\approx 0,7187$.

$\Rightarrow P(B)=1$ - P($\overline{B}$) $\approx 0,2813$.

c)

Gọi $C$ là biến cố: "Rút được hai con át và hai con $K$".

Mỗi kết quả có thể có thuận lợi cho $C$ là một tổ hợp gồm $2$ con át và $2$ con K.

Áp dụng quy tắc nhân tính được số các kết quả có thể có thuận lợi cho $C$ là

$n(C)=C_4^2.C_4^2=6.6=36$.

Vậy $P(C)$ = ${\displaystyle \frac{36}{270725}}$ $\approx 0,000133$.

a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;

b) Nữ ngồi đối diện nhau.

Phương pháp giải:

a)

+) Mỗi cách xếp $4$ bạn vào $4$ chỗ ngồi là một hoán vị của $4$ phần tử. Tính số phần tử của không gian mẫu.

+) Gọi A là biến cố: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau" $\Rightarrow \overline{A}$ là biến cố: "Nam đối diện nam, nữ đối diện nữ".

Tính xác suất của biến cố $\Rightarrow \overline{A}$ và sử dụng công thức $P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1$.

b)

Vì chỉ có $4$ người: $2$ nam và $2$ nữ nên nếu $2$ nữ ngồi đối diện nhau thì $2$ nam cũng ngồi đối diện nhau chính là biến cố $\overline{A}$ ở câu a).

Lời giải:

a)

Mỗi cách xếp $4$ bạn vào $4$ chỗ ngồi là một hoán vị của $4$ phần tử, vì vậy không gian mẫu có $4!=24$ phần tử.

Gọi A là biến cố: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau" 

$\Rightarrow \overline{A}$ là biến cố: "Nam đối diện nam, nữ đối diện nữ".

+) Có $4$ chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn.

+) Có $1$ cách chọn chỗ (đối diện) cho bạn nữ thứ hai.

+) Sau khi bai bạn nữ đã chọn chỗ ngồi (đối diện nhau) thì còn lại $2$ chỗ (đối diện nhau) để xếp cho $2$ bạn nam và có $2!$ cách xếp chỗ cho $2$ bạn này.

Vi vậy theo quy tắc nhân có $4.1.2!=8$ cách xếp chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện nhau.

$P$($\overline{A}$) = ${\displaystyle \frac{8}{24}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

$\Rightarrow P(A)=1-P$($\overline{A}$) = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

b)

Vì chỉ có $4$ người: $2$ nam và $2$ nữ nên nếu $2$ nữ ngồi đối diện nhau thì $2$ nam cũng ngồi đối diện nhau. Do đó biến cố này chính là biến cố $\overline{A}$: "Nữ ngồi đối diện nhau".

Xác suất xảy ra biến cố này là $P$($\overline{A}$) = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

1. Quy tắc cộng xác suất

- Hai biến cố $A,B$ được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

+) Nếu $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

+) Nếu $A,B$ là hai biến cố bất kì thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

Ví dụ: Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ $1$ đến $9$. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Giải:

Kết quả nhận được là số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ có ít nhất một thẻ chẵn.

Gọi $A$ là biến cố “Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, $B$ là biến cố “Cả hai thẻ được rút là thẻ chẵn”.

Khi đó biến cố “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn” là $A\cup B$.

Do hai biến cố xung khắc nên $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Vì có $4$ thẻ chẵn và $5$ thẻ lẻ nên ta có:

$P\left(A\right)={\displaystyle \frac{C_5^1.C_4^1}{C_9^2}}={\displaystyle \frac{20}{36}}$, $P\left(B\right)={\displaystyle \frac{C_4^2}{C_9^2}}={\displaystyle \frac{6}{36}}$.

Do đó:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ $={\displaystyle \frac{20}{36}}+{\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{26}{36}}={\displaystyle \frac{13}{18}}$.

2. Quy tắc nhân xác suất

- Hai biến cố $A,B$ được gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của $A$ không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố $B$.

- Nếu hai biến cố $A,B$ độc lập với nhau thì $P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$.

Ví dụ: Một chiếc máy có hai động cơ $I$ và $II$ hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ $I$ chạy tốt là $0,8$ và xác suất để động cơ $II$ chạy tốt là $0,7$. Hãy tính xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt.

Giải:

Gọi $A$ là biến cố: “Động cơ $I$ chạy tốt”, $B$ là biến cố: “Động cơ $II$ chạy tốt”, $C$ là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt”.

Ta thấy $A,B$ là hai biến cố độc lập với nhau và $C=AB$. Theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left(C\right)=P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)=0,8.0,7=0,56$.

1. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử $A$ là biến cố liên quan đến phép thử $T$ và phép thử $T$ có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số $\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}$ là xác suất của biến cố $A$, kí hiệu là

$P(A)$ = $\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}$

Trong đó,

+) $n(A)$ là số phần tử của tập hợp $A$, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử $T$ thuận lợi cho biến cố $A$;

+) $n(\Omega )$ là số phần tử của không gian mẫu $\Omega$, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử $T$.

Ví dụ:

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để mặt xuất hiện là mặt có số chia hết cho $3$.

Hướng dẫn:

Không gian mẫu $\mathrm{\Omega }=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$

$\Rightarrow n\left(\mathrm{\Omega }\right)=6$.

Biến cố $A:$ Mặt xuất hiện có số chia hết cho $3$.

Khi đó $A=\left\{3;6\right\}$

$\Rightarrow n\left(A\right)=2$.

Vậy xác suất $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

2. Các tính chất cơ bản của xác suất

2.1 Định lí

a) $P(\varphi )=0;P(\Omega )=1$.

b) $0\le P(A)\le 1$, với mọi biến cố $A$.

c) Nếu $A$ và $B$ xung khắc với nhau, thì ta có

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (công thức cộng xác suất).

2.2 Hệ quả

Với mọi biến cố $A$, ta luôn luôn có: $P$($\overline{A}$) = $1-P(A)$.

3. Hai biến cố độc lập

Định nghĩa

Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia).

Định lí

Nếu $A,B$ là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho $P(A)>0$,

$P(B)>0$ thì ta có:

a) $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:

$P(A.B)=P(A).P(B)$

Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.

b) Nếu $A$ và $B$ độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:

$A$ và $\overline{B}$, $\overline{A}$ và $B$, $\overline{A}$ và $\overline{B}$.

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất các biến cố sau:

$A:$ “Lần thứ nhất xuất hiện mặt $4$ chấm”

$B:$ “Lần thứ hai xuất hiện mặt $4$ chấm”

Từ đó suy ra hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

Hướng dẫn

Không gian mẫu: $\mathrm{\Omega }=\left\{\left(i;j\right),i,j\in \mathbb{Z},1\le i\le 6,1\le j\le 6\right\}$

$\Rightarrow n\left(\mathrm{\Omega }\right)=6.6=36$.

Biến cố $A:$ “Lần thứ nhất xuất hiện mặt $4$ chấm”

$A=\left\{\left(4;1\right),\left(4;2\right),\left(4;3\right),\left(4;4\right),\left(4;5\right),\left(4;6\right)\right\}$

$\Rightarrow n\left(A\right)=6$

$\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Biến cố $B:$ “Lần thứ hai xuất hiện mặt $4$ chấm”

$B=\left\{\left(1;4\right),\left(2;4\right),\left(3;4\right),\left(4;4\right),\left(5;4\right),\left(6;4\right)\right\}$

$\Rightarrow n\left(B\right)=6$

$\Rightarrow P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Gọi $C=A.B$ là biến cố: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt $4$ chấm”.

Khi đó $C=\left\{\left(4;4\right)\right\}$

$\Rightarrow P\left(A.B\right)=\frac{n\left(C\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{1}{36}$.

Dễ thấy $P\left(A.B\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$ nên $A,B$ là hai biến cố độc lập.