Lời giải:

Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có $m$ cách thực hiện, hành động kia có $n$ cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có $m+n$ cách thực hiện.

Ví dụ:

Trên một bàn học có $4$ cây bút chì và $3$ cây bút mực. Có mấy cách chọn ra một cây bút?

+ Trường hợp chọn bút chì: có $4$ cách chọn

+ Trường hợp chọn bút mực: có $3$ cách chọn

Vậy theo quy tắc cộng có: $4+3=7$ cách chọn.

Lời giải:

Quy tắc nhân: Nếu công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có $m$ cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có $n$ cách thực hiện hành động thứ hai thì có $m.n$ cách hoàn thành công việc.

- Ví dụ:

Một lớp có $3$ tổ, mỗi tổ có $6$ nam và $4$ nữ. Cần chọn từ mỗi tổ một người để thành lập đội thanh niên tình nguyện mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách để lập được một đội?

Giải

Để lập đội, từ mỗi đội ta chọn một người:

+ Có $10$ cách chọn $1$ người từ tổ thứ nhất

+ Có $10$ cách chọn $1$ người từ tổ thứ hai

+ Có $10$ cách chọn $1$ người từ tổ thứ ba

Từ đó, theo quy tắc nhân ta có:

$10.10.10=1000$ (cách chọn).

Lời giải:

a) Các chữ số có thể giống nhau;

b) Các chữ số khác nhau.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng linh hoạt các quy tắc đếm.

b) Sử dụng linh hoạt các quy tắc đếm.

Lời giải:

a)

Tập hợp $A=\left\{0,1,2,3,4,5,6\right\}$

Gọi số có $4$ chữ số tạo thành là $\overline{abcd}$

Ta có: $\overline{abcd}$ chẵn nên:

Số $\overline{abcd}\{\begin{array}{c}a,b,c,d\in A\hfill \\ a\ne 0\hfill \\ d\in \left\{0,2,4,6\right\}\hfill \end{array}$

+) Có $4$ cách để chọn $d$

+) $a\ne 0$ ⇒ có $6$ cách chọn $a$

+) Có $7$ cách chọn $b$ và $7$ cách chọn $c$

Vậy : $\mathrm{4.6.7.7}=1176$ số chẵn $\overline{abcd}$ trong đó, các chữ số có thể giống nhau.

b)

Gọi $\overline{abcd}$  là số cần tìm 

Trường hợp 1: $\overline{abc0}(d=0)$

Vì $a,b,c$ đôi một khác nhau và khác $d$ nên có $A_6^3$ số $\overline{abc0}$

Vậy có $A_6^3$ số $\overline{abc0}$

Trường hợp 2: $\overline{abcd}$ (với $d\ne 0$)

+) $d\in \left\{2,4,6\right\}$ $\Rightarrow$ có $3$ cách chọn $d$

+) $a\ne 0,a\ne d$ nên có $5$ cách chọn $a$

+) $b\ne a,b\ne d$ nên có $5$ cách chọn $b$

+) $c\ne a,b,d$ nên có $4$ cách chọn $c$

$\Rightarrow$ Có $3.5.5.4=300$ số  $\overline{abcd}$ loại 2

Vậy có: $A_6^3+300=420$ số  $\overline{abcd}$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Cách khác:

Ở TH1, ta có thể đếm từng chữ số như sau:

TH1: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị bằng 0

⇒ Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn

          5 cách chọn chữ số hàng trăm

          4 cách chọn chữ số hàng chục

⇒ Theo quy tắc nhân: có 6.5.4 = 120 (số)

TH2: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị khác 0.

⇒ Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị

    Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (khác 0 và khác hàng đơn vị)

    Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm

    Có 4 cách chọn chữ số hàng chục

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4 = 300 (số)

⇒ Theo quy tắc cộng: Có tất cả 120 + 300 = 420 số chẵn thỏa mãn.

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau;

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

Phương pháp giải:

a) Đánh số thứ tự ghế và chọn ghế sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau.

b) Sử dụng quy tắc buộc, buộc ba bạn nam lại và coi đó là 1 phần tử.

Lời giải:

a)

Số cách xếp $3$ nam và $3$ nữ vào $6$ ghế là $6!$ Cách.

Suy ra: $n(\mathrm{\Omega })=6!=720$

a) Ta gọi $A$ là biến cố : “Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau”

Ta đánh số ghế như sau:

+ Nam ngồi ghế số $1,3,5$ suy ra có $3!$ cách xếp

+ Nữ ngồi ghế số $2,4,6$ suy ra có $3!$ cách xếp

Suy ra trường hợp 1 có $3!.3!=36$ cách xếp

Trường hợp 2:

+ Nữ ngồi ghế số $1,3,5$ suy ra có $3!$ cách xếp

+ Nam ngồi ghế số $2,4,6$ suy ra có $3!$ cách xếp

Suy ra trường hợp 1 có $3!.3!=36$ cách xếp

Suy ra:

$N(A)=3!.3!+3!.3!=36+36=72$ cách xếp.

Vậy ${\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{72}{720}=\frac{1}{10}=0,1}$

b)

Gọi biến cố $B$: “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”

Xem $3$ bạn nam như một phần tử $N$ và $N$ cùng $3$ bạn nữ được xem như ngồi vào $4$ ghế được đánh số như sau:

Mỗi cách hoán vị $3$ nam cho nhau trong cùng một vị trí ta có thêm $3!$ cách xếp khác nhau.

Suy ra $n(B)=4!.3!=144$

Vậy : ${\displaystyle P(B)=\frac{n(B)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{144}{720}=\frac{1}{5}=0,2}$.

a) Bốn quả lấy ra cùng màu;

b) Có ít nhất một quả màu trắng.

Phương pháp giải:

a) Chia làm 2 TH:

TH1: Chọn 4 quả cùng màu trắng.

TH2: Chọn 4 quả cùng màu đen.

b) Sử dụng biến cố đối.

Lời giải:

a)

Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu".

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\mathrm{\Omega })=C_{10}^4=210$

Có $C_6^4$ cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu trắng và có $C_4^4$ cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu đen.

Kí hiệu $A$ là biến cố “Bốn quả lấy ra cùng màu”.

Ta có: $n(A)$ = $C_6^4+C_4^4$=$16$

Vậy: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{16}{210}=\frac{8}{105}$

b)

Kí hiệu $B$ là biến cố: “ Bốn quả lấy ra có ít nhất một quả màu trắng”.

Biến cố đối: $\overline{B}$:"Bốn quả lấy ra không có quả màu trắng nào (toàn màu đen)"

Ta có: $n\left(\overline{B}\right)=C_4^4=1$

$\Rightarrow n\left(B\right)=C_{10}^4-1=209$

Vậy: $P(B)=\frac{n(B)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{209}{210}$.

Lời giải:

Phép thử: "Gieo một con xúc sắc ba lần."

Không gian mẫu:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Omega }=\left\{\{\mathrm{j},\mathrm{j},\mathrm{k}\}|1\le i,j,k\le 6\right\}\\ & \Rightarrow n(\mathrm{\Omega })=6^3=216\end{array}$

Gọi $A$ là biến cố: “Mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần”

Suy ra biến cố đối là $\overline{A}$: “Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”.

Lần gieo thứ nhất không ra mặt 6 chấm nên có 5 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5 chấm)

Lần gieo thứ hai và thứ ba: tương tự có 5 kết quả có thể xảy ra.

Theo quy tắc nhân: $n(\overline{A})=5^3=125$

$\Rightarrow P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{125}{216}$

Do đó: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0,4213$.

a) Các cạnh của lục giác;

b) Đường chéo của lục giác;

c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác.

Phương pháp giải:

a)

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử của biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

b)

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử của biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

c)

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử của biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

Lời giải:

a)

Phép thử: "Lấy ngẫu nhiên hai thẻ"

Số phần tử không gian mẫu là số các tổ hợp chập $2$ của $6$ (đỉnh)

Do đó: $n(\mathrm{\Omega })=C_6^2=15$

Gọi $A:$"Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành cạnh của lục giác"

Vì số cạnh của đa giác là $6$ nên $n(A)=6$

$\Rightarrow P(A)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

b)

Gọi B: "Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành đường chéo"

Vì số đường chéo của lục giác là số đoạn thẳng nối $2$ đỉnh của lục giác trừ đi số cạnh của lục giác

$\Rightarrow n(B)=15–6=9$

Vậy: $P(B)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$

c)

Gọi C: "Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh đối diện"

Lục giác có $3$ cặp đỉnh đối diện là A-D, B-E, C-F nên $n(C)=3$

Vậy $P(C)=\frac{n(C)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$

1. Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên

Bảng trên được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc $X$.

Cho $X$ là một biến ngẫu nhiên có bảng phân bố xác suất dưới đây:

- Kì vọng:

$E\left(X\right)=p_1{x}_1+p_2{x}_2+...+p_n{x}_n=\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i$

- Phương sai:

Đặt $\mu =E\left(X\right)$ thì phương sai $V\left(X\right)$ là một số được tính theo công thức:

$V\left(X\right)={\left(x_1-\mu \right)}^2{p}_1+{\left(x_2-\mu \right)}^2{p}_2+...+{\left(x_n-\mu \right)}^2{p}_n$.

Trong thực hành, ta thường dùng công thức sau để tính phương sai:

$V\left(X\right)=x_1^2{p}_1+x_2^2{p}_2+...+x_n^2{p}_n-{\mu }^2$

- Độ lệch chuẩn:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

- Kỳ vọng $E\left(X\right)$ cho ta ý niệm về độ lớn trung bình của $X$.

- Phương sai $V\left(X\right)$  cho ta ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của $X$ xung quanh giá trị trung bình.