Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức

Với giải Bài 2.1 trang 30 Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2.1 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1);

b) 1² + 2² + 3² +... + n² = $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .

Lời giải:

a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.1 = 1(1 + 1).

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k + 1)[(k + 1) + 1]

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1)

= k(k + 1) + 2(k+1) = (k + 1)(k + 2) = (k + 1)[(k + 1) + 1].

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 1² = $\frac{1 (1 + 1) (2.1 + 1)}{6}$ .

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

1² + 2² + 3² +... + k² = $\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}$ .

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

1² + 2² + 3² +... + k² + (k + 1)² = $\frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]}{6}$ .

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

1² + 2² + 3² +... + k² + (k + 1)²

= (k + 1)² + $\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}$

= $\frac{6 {(k + 1)}^{2}}{6} + \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}$

= $\frac{k + 1}{6} [6 (k + 1) + k (2 k + 1)]$

= $\frac{k + 1}{6} [2 k^{2} + 7 k + 6]$

= $\frac{k + 1}{6} (k + 2) (2 k + 3)$

= $\frac{k + 1}{6} [(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]$ .

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức

Từ khóa :

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Tìm kiếm

Bài Viết Xem Nhiều

Bài Viết Cùng Lớp