Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên

Lê Hoàng Thảo Vy Ngày: 13-01-2023 Lớp 7

1.1 K

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán lớp 7 trang 64, 65, 66 Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên

1. Mục 1

Hoạt động 1 trang 64 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC trong Hình 1.

- Hãy sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn độ dài của ba cạnh a,b,c

- Hãy sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn độ lớn độ lớn của ba góc A,B,C là các góc đối diện với ba cạnh a,b,c.

- Nêu nhận xét của em về hai kết quả sắp xếp trên.

Phương pháp giải:

Ta dựa cào số đo các cạnh, góc của tam giác để sắp xếp theo độ lớn

Lời giải

- Độ dài các cạnh từ nhỏ đến lớn là c, b, a

- Các góc từ nhỏ đến lớn là C, B, A

- Ta thấy trong tam giác ABC cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.

Thực hành 1 trang 64 Toán lớp 7:

a) Sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn số đo các góc của tam giác PQR trong Hình 3a.

b) Sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn độ dài các cạnh của tam giác ABC trong Hình 3b.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí về góc đối diện cạnh trong tam giác

Lời giải

a) Ta có độ dài các cạnh tam giác PQR theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là PQ, QR, RP

Vì trong tam giác góc đối diện cạnh lớn hơn thì lớn hơn

Nên ra có các góc tam giác PQR theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là R, P, Q

b) Ta có số đo các góc theo tứ tự từ nhỏ đến lớn của tam giác ABC là A, C, B

Vì trong tam giác góc đối diện cạnh lớn hơn thì lớn hơn

Nên ta có các cạnh tam giác ABC theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là a, c, b.

Vận dụng 1 trang 64 Toán lớp 7:

a) Cho tam giác DEF có góc F là góc tù. Cạnh nào là cạnh có độ dài lớn nhất trong ba cạnh của tam giác DEF ?

b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh nào là cạnh có độ dài lớn nhất trong ba cạnh của tam giác ABC ?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất góc đối diện và cạnh trong tam giác

Lời giải

a) Vì tổng số đo 3 góc trong tam giác là 180° mà F là góc tù

$\Rightarrow$ F > 90° do F là góc tù

$\Rightarrow$ D + E < 180° - 90°

$\Rightarrow$ F là góc lớn nhất trong tam giác DEF

$\Rightarrow$ Cạnh đối diện góc F sẽ là cạnh lớn nhất tam giác DEF
$\Rightarrow$ DE là cạnh lớn nhất

b) Tam giác ABC có góc A là góc vuông nên ta có

$\Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 90^{o} \Rightarrow \hat{B}; \hat{C} < 90^{o}$

$\Rightarrow$ A là góc lớn nhất tam giác ABC

$\Rightarrow$ BC là cạnh lớn nhất tam giác ABC do đối diện góc A

2. Mục 2

Hoạt động 2 trang 65 Toán lớp 7: Trong hình xe cần cẩu ở Hình 4, ta có đoạn thẳng MA biểu diễn trục cần cẩu, đoạn thẳng MH biểu diễn sợi cáp kéo dài (từ đỉnh tay cẩu đến mặt đất), đường thẳng d biểu diễn mặt đất. Theo em, trong hai đoạn thẳng MA và MH, đoạn nào vuông góc với đường thẳng d?

Phương pháp giải:

Ta có thể đo số đo các góc và tìm ra góc vuông (góc có số đo là $90^{0}$ )

Lời giải

Ta thấy $\hat{M H A}$ $= 90^{o}$ nên MH vuông góc với d

Vì $\hat{M A H} < 90^{o}$ nên MA không vuông góc với d

3. Mục 3

Hoạt động 3 trang 65, 66 Toán lớp 7: Quan sát tam giác AHB ở Hình 6.

a) Hãy cho biết trong hai góc AHB và ABH, góc nào lớn hơn

b) Từ câu a, hãy giải thích vì sao AB > AH.

Phương pháp giải:

- Ta sử dụng định lí về tổng số đo 3 góc

- Ta sử dụng tính chất góc đói diện cạnh lớn hơn thì lớn hơn

Lời giải

a) Xét tam giác AHB vuông tại H ( theo giả thiết )

$\Rightarrow \hat{A H B} = 90^{o}$

$\Rightarrow \hat{A B H} + \hat{H A B} = 90^{o}$ ( Do tổng số đo 3 góc = 180°; $\hat{H} + \hat{B} + \hat{A} = 180^{o}$ )

$\Rightarrow \hat{A H B} > \hat{A B H}$ ( Do $\hat{A H B} = 90^{o}$ và $\hat{A B H} < 90^{o}$ )

b)Theo định lí góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn trong tam giác ta có :

$\hat{A H B} > \hat{A B H}$ ( chứng minh a )

Và $\hat{A H B}$ đối diện với AB, $\hat{A B H}$ đối diện với AH

$\Rightarrow A B > A H$

Thực hành 2 trang 65, 66 Toán lớp 7: Trong Hình 8, tìm đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BF. Trong số các đường này, đường nào ngắn nhất ?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trong các đoạn thẳng nối từ 1 điểm ở ngoài một đường thẳng đến các điểm trên đường thẳng đó, đường vuông góc luôn ngắn hơn tất cả các đường xiên

Lời giải

Theo hình 8 ta thấy AD là đường ngắn nhất vì AD vuông góc với BF

Các đường xiên là AB, AC, AE, AF.

Vận dụng 2 trang 65, 66 Toán lớp 7: Bạn Minh xuất phát từ điểm M bên hồ bơi (Hình 9). Bạn ấy muốn tìm đường ngắn nhất để bơi đến thành hồ đối diện. Theo em, bạn Minh phải bơi theo đường nào ?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trong các đoạn thẳng nối từ 1 điểm ở ngoài một đường thẳng đến các điểm trên đường thẳng đó, đường vuông góc luôn ngắn hơn tất cả các đường xiên.

Lời giải

Ta gọi thành hồ bơi đối diện là đường thẳng AD

Bạn Minh bơi đường ngắn nhất khi bơi từ điểm M 1 đường vuông góc với AD do đoạn thẳng nối từ 1 điểm ở ngoài một đường thẳng đến các điểm trên đường thẳng đó, đường vuông góc luôn ngắn hơn tất cả các đường xiên .

Ta thấy AM vuông góc AD nên AM là đường ngắn nhất

4. Bài tập

Bài 1 trang 66 Toán lớp 7:

a) So sánh các góc của tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 7 cm, AC = 6 cm.

b) So sánh các cạnh của tam giác ABC có $\hat{A}$ $= 50^{o}$ , $\hat{C}$ $= 50^{o}$

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí về góc đối diện cạnh trong tam giác

- Sử dụng tính chất tam giác cân và tính góc còn lại của tam giác để so sánh độ dài các cạnh

Lời giải

a) Theo đề bài ta có AB = 4cm, BC = 7cm, AC = 6cm

Có góc đối diện với cạnh AB là góc C, góc A đối diện với cạnh BC, góc B đối diện với cạnh AC

Theo định lí về góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn ta có :

⇒ $\overset{⏜}{A} > \overset{⏜}{B} > \overset{⏜}{C}$

Vì $\hat{B} = \hat{C}$ nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow A B = A C$

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ABC, có:

$\Rightarrow \hat{A} = 180^{o} - 100^{0} = 80^{o}$

$\Rightarrow \hat{A} > \hat{B}; \hat{C}$

$\Rightarrow B C$ là cạnh lớn nhất tam giác ABC

Theo định lí về góc đối diện cạnh lớn hơn thì lớn hơn

Bài 2 trang 66 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC có: $\overset{⏜}{A} = 100 °, \overset{⏜}{B} = 40 °$

a) Tìm cạnh lớn nhất của tam giác ABC.

b) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí về góc đối diện cạnh trong tam giác

- Sử dụng tính chất tam giác cân

Lời giải

a) Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác, ta có:

$\Rightarrow \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} = 180^{o} - 100^{o} - 40^{o} = 40^{o}$

$\Rightarrow \hat{A} > \hat{C}$ và $\hat{A} > \hat{B}$

$\Rightarrow$ BC là cạnh lớn nhất của tam giác ABC do đối diện với góc A

b) Xét tam giác ABC có:

$\hat{C} = \hat{B} = 40^{o}$ ( chứng minh a )

$\Rightarrow$ ABC là tam giác cân

Bài 3 trang 66 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\overset{⏜}{B} > 45 °$

a) So sánh các cạnh của tam giác

b) Lấy điểm K bất kì thuộc đoạn thẳng AC. So sánh độ dài BK và BC.

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí về góc đối diện cạnh trong tam giác

Lời giải

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{A} = 90^{0}; \hat{B} + \hat{C} = 90^{0}$

Vì $\hat{B} > 45^{o} \Rightarrow \hat{C} < 45^{o} \Rightarrow \hat{A} > \hat{B} > \hat{C} \Rightarrow B C > A C > A B$

b) Vì $\hat{B K C}$ là góc ngoài tại đỉnh K của tam giác ABK nên $\hat{B K C} > \(\hat{B A K} = 90^{0}$

Xét tam giác BCK, ta có :

$\hat{B K C} > 90^{o} > \hat{B C K}$

$\Rightarrow B C > B K$ ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Bài 4 trang 66 Toán lớp 7: Quan sát Hình 10.

a) Tìm đoạn ngắn nhất trong các đoạn BA, BM, BC.

b) Tìm đoạn ngắn nhất trong các đoạn MA, MN, MB.

c) Chứng minh rằng MA < BC.

Phương pháp giải

- Dựa vào tính chất từ 1 điểm ngoài đường thẳng thì đường vuông góc ngắn hơn các đường xiên .

- Ta chứng minh MA < AC < BC

Lời giải

a) BA là đường vuông góc;

BM và BC là các đường xiên kẻ từ B đến đường thẳng AC

Ta được đường ngắn nhất là đường thẳng vuông góc nên BA là đoạn ngắn nhất.

b) Tương tự câu a

MA là đường vuông góc;

MN và MB là các đường xiên kẻ từ M đến đường thẳng AB

Ta được đường ngắn nhất là đường thẳng vuông góc nên MA là đoạn ngắn nhất.

c) Xét tam giác ABC vuông tại A

$\Rightarrow \hat{A} = 90^{o}$ $\Rightarrow$ A là góc lớn nhất tam giác ABC

$\Rightarrow$ BC > AC ( định lí về góc đối diện và cạnh )

Vì M nằm giữa AC nên AM < AC

$\Rightarrow$ AM < AC < BC

Vậy AM < BC

Bài 5 trang 66 Toán lớp 7: Trong Hình 11a, ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.

a) Một thanh nẹp gỗ có hai cạnh song song (Hình 11b). Chiều rộng của thanh nẹp gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó. Hãy cho biết có phải chiều rộng của thanh nẹp gỗ là khoảng cách ngắn nhất từ một điểm trên cạnh này dến một điểm trên cạnh kia không.

b) Muốn đo chiều rộng của thanh nẹp, ta phải đặt thước như thế nào ? Vì sao?