Toán 7 Chân trời sáng tạo: Bài tập cuối Chương 8

783

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối Chương 8sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán lớp 7 trang 84 Bài tập cuối Chương 8

Bài 1 trang 84 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC cân tại A (A^<90o). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rẳng ΔBFC=ΔCEB

b) Chứng minh rằng ΔAEH=ΔAFH

c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm A,H,I thẳng hàng.

Phương pháp giải 

a) Ta sử dụng định lí cạnh huyền – góc nhọn trong tam giác vuông

b) Từ câu a ta chứng minh 2 tam giác AHF = tam giác AHE nhờ những cạnh của 2 tam giác chứng minh được bằng nhau từ câu trên

c) Ta chứng minh AI và AH cùng là phân giác của góc A

Lời giải 


a) Xét ΔBFC và ΔCEB có:

BC là cạnh chung

B=C (ΔABCcân tại A)

BEC=CFB=90°

⇒ΔBFC=ΔCEB (cạnh huyền – góc nhọn )

b) Vì ΔBFC=ΔCEB BF = EC (2 cạnh tương ứng)

Mà AB = AC (ΔABC cân tại A)

 AF = AE (AB – BF = AC – EC )

Xét ΔAEH và ΔAFHta có :

AF = AE (chứng minh trên)

AH cạnh chung

HFA^=HEA^=90o

ΔAEH=ΔAFH(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

c) Vì CF, BE là những đường cao của tam giác ABC và H là giao điểm của chúng

 H là trực tâm của tam giác ABC

 AH vuông góc với BC (1)

Xét ΔAIC và ΔAIB có :

IB = IC (I là trung điểm BC)

AI là cạnh chung

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)

ΔAIC=ΔAIB(ccc)

AIC^=AIB^ (2 góc tương ứng) Mà chúng ở vị trí kề bù AIC^=AIB^=90oAIBC (2)

Từ (1) và (2)  A, H, I thẳng hàng.

Bài 2 trang 84 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh rằng tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng ΔABC=ΔMBC

Phương pháp giải 

a) Ta chứng minh BM = BA thông qua việc chứng minh 2 tam giác BHA và BHM bằng nhau

b) Ta chứng minh góc ABH = góc MBH sau đó chứng minh 2 tam giác đề bài yêu cầu bằng nhau theo trường hợp c-g-c

Lời giải 

a)      Xét ΔBHAΔBHM có :

BHA^=BHM^=90o

BH cạnh chung

AH = HM (do M đối xứng với A qua H)

ΔBHA=ΔBHM(cgc)

AB=BM (cạnh tương ứng) và ABH^=MBH^

ΔABM cân tại B (2 cạnh bên bằng nhau)

b)  Xét ΔABCvà ΔMBCta có :

AB = BM (câu a)

ABH^=MBH^(câu a)

BC cạnh chung

ΔABC=ΔMBC(cgc)

Bài 3 trang 84 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = HC.

a) Chứng minh rằng AD = AC.

b) Chứng minh rằng ADH^=BAH^

Phương pháp giải 

a) Ta chứng minh tam giác ACD cân tại A sau đó suy ra AC = AD

b) Ta chứng minh BAH^+HAC^=90o=HAC^+HCA^ và D^=C^

Lời giải

a)      Xét ΔAHD và ΔAHC có :

AH chung

DH = HC ( C đối xứng D qua H)

AHD^=AHC^=90o

ΔAHD=ΔAHC(cgc)

AD=AC(cạnh tương ứng)

ΔADCcân tại A C^=D^(góc tương ứng)(1)

b)      Ta có BAH^+HAC^=90ovà HCA^+HAC^=90o

BAH^=HCA^(2)

Từ (1) và (2) ADH^=BAH^

b)      Ta có BAH^+HAC^=90ovà HCA^+HAC^=90o

BAH^=HCA^(2)

Từ (1) và (2) ADH^=BAH^

Bài 4 trang 84 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BEAN(E ∈ AN).

a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của giác ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của BH với CE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân. 

Phương pháp giải 

a) Ta chứng minh ABE^=NBE^ bằng cách chứng minh 2 tam giác BAF và BNF bằng nhau .

b) Ta chứng minh NK song song với CA do có 2 góc so le trong bằng nhau

c) Ta chứng minh góc BGC bằng góc BCG

Lời giải 

a) XétΔBAE và ΔBNE có :

BA = BN (giả thiết)

BF cạnh chung

BEA=BEN

⇒ΔBAE = ΔBNE
(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

 ABF=NBF
(góc tương ứng)

⇒BE là phân giác của góc ABN

b)      Vì K là giao của 2 đường cao K là trực tâm tam giác ABN

 KN vuông góc với AB(1)

Vì CA vuông góc với AB ( tam giác ABC vuông tại A)(2)

Từ (1) và (2)  KN song song với CA (quan hệ cùng vuông góc với 1 đường)

c)      Ta có ΔBAF=ΔBNF(cgc)do có :

BEA^=BEN^

BF cạnh chung

BN = BA

BNF^=BAF^(2 góc tương ứng).

Mà BAF^=90

BNF^=BAF^=90o

GNBC

Ta có CA và GN là 2 đường cao của tam giác GBC

F là trực tâm của tam giác GBC

BF vuông góc với GC tại P

Xét ΔBGPΔBCPta có :

BP cạnh chung

BPC^=BPG^=90o

PBC^=PBG^

ΔBGP=ΔBCP(cgc)

BC=BG(2 cạnh tương ứng)

Tam giác GBC cân tại B 

Bài 5 trang 84 Toán lớp 7: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng BMN^=HAC^

b) Kẻ MIAH(I ∈ AH), gọi K là giao điểm của AH và BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Phương pháp giải 

a) Ta xét tam giác BMC cân tại M nên MBC^=MCB^

Nên BMN^=HAC^=90oMBC^=90oMBC^

b) Ta chứng minh I là trung điểm của AK do ΔMAI=ΔMKI(g-c-g) 

Lời giải 

a)      Xét tam giác BMC cân tại M (Do M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC) có : MBC^=MCB^(góc tương ứng)

Mà BMN^=90oMBC^và HAC^=90oBCM^

BMN^=HAC^

b)      Ta có MN⫽AH (do cùng vuông góc với BC)

AKM^=KMN^(2 góc so le trong)

Mà BMN^=HAC^( chứng minh a)

KAM^=AKM^( do cùng =BMN^)

Xét ΔMIA và ΔMIKcó :

IM cạnh chung

KAM^=AKM^

AIM^=MIK^=90o

ΔMIA=ΔMIK(cạnh góc vuông-góc nhọn)

AI = IK (cạnh tương ứng)

I là trung điểm AK

Bài 6 trang 84 Toán lớp 7: Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FN = FD.

a) Chứng minh rằng ΔMFN = ΔPFD

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của GH. Gọi K là trung điểm của GK. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Phương pháp giải 

a) Chứng minh ΔMFN = ΔPFD theo trường họp cạnh góc cạnh

Sử dụng tính chất của điểm đối xứng qua một điểm, trung điểm của 1 đoạn thẳng và 2 góc đối đỉnh

b) Chứng minh H là trọng tâm của tam giác MPD sau đó dựa vào tính chất ta suy ra M, H, K thẳng hàng

Lời giải 

a) Vì N đối xứng với D qua F (theo giả thiết)

Nên NF = DF (1)

Vì F là trung điểm của MP (theo giả thiết)

Nên MF = PF (2)

Vì góc NFM và góc PFD ở vị trí đối đỉnh nên 2 góc bằng nhau (3)

Từ (1), (2) và (3) ΔMFN = ΔPFD (c-g-c)

b) Xét tam giác MPD có :

F là trung điểm MD,

K là trung điểm DP (theo giả thiết)

Mà 2 đường trung tuyến của tam giác MPD là DF và MK cắt nhau tại H

 H là trọng tâm ΔMPD

 M, H, K thẳng hàng

Bài 7 trang 84 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12AC, AD là tia phân giác BAC^(D ∈ BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AHKC. 

Phương pháp giải 

a) Chứng minh BD = DE thông qua việc chứng minh 2 tam giác BAD và EAD bằng nhau

b) Chứng minh ΔCDK cân tại D do có 2 cạnh bên DK = DC

c) Chứng minh ΔKAC vuông cân tại A và AD là phân giác nên cũng là đường cao của ΔKAC AHKC

Lời giải 

a) Xét ΔBAD và ΔEAD có :

AD là cạnh chung

AB = AE =12AC

BAD=EAD(do AD là phân giác góc A)

⇒ΔBAD = ΔEAD (c-g-c)

⇒DE = DB (cạnh tương ứng) và ABD=AED (góc tương ứng)

b) Xét ΔKAE và ΔCAB có :

AE = AB

ABD^=AED^(chứng minh a)

Góc A chung

ΔKAE=ΔCAB(g-c-g)

KE = CB (cạnh tương ứng)

Mà KE = ED + DK và CB = BD + DC

KE – ED = CB – BD DK = DC

ΔDCKcân tại D

+) Xét ΔKDB và ΔCDE có :

DB = DE

DK = DC

KDB^=CDE^(2 góc đối đỉnh)

ΔKDB=ΔCDE(c-g-c)

KB = EC  KB = AB (do cùng = EC) B là trung điểm AK

c) Vì ΔKAE = ΔCAB (chứng minh trên)

AK = AC (cạnh tương ứng)

ΔAKC vuông cân tại A

Mà AD là phân giác góc A nên AD sẽ vừa là phân giác vừa là đường cao của ΔAKC

ADKC

AHKC (do H in AD)

Bài 8 trang 84 Toán lớp 7: Ở Hình 1, cho biết AE = AF và ABC^=ACB^. Chứng minh AH là đường trung trực của BC.

Phương pháp giải 

Ta chứng minh A và H cùng thuộc đường trung trực của đoạn BC thông qua chứng minh chúng cách đều 2 đầu mút của đoạn BC.

Lời giải 


Theo giả thiết ta có tam giác ABC cân tại A do có 2 góc đáy bằng nhau

⇒A cách đều 2 đều B, C

⇒A thuộc trung trực đoạn thẳng BC (1) (Tính chất điểm cách đều 2 đầu mút đoạn thẳng)

Xét ΔAEC và ΔAFB ta có :

AE = AF

Góc A chung

AC = AB

⇒ ΔAEC=ΔAFB (c-g-c)

ECA=FBA (góc tương ứng)

Ta có: ABC^=ABF^+FBC^

           ACB^=ACE^+ECB^

Mà ACB^=ABC^(giả thiết) và ECA^=FBA^(chứng minh trên)

ECB^=FBC^ΔHBC cân tại H do có 2 góc đáy bằng nhau

 H cách đều BC  H thuộc trung trực BC (2) (Tính chất điểm cách đều 2 đầu mút đoạn thẳng)

Từ (1) và (2)  AH là trung trực của BC 

Bài 9 trang 84 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H ∈ CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng EBH^=ACM^

c) Chứng minh rằng EBBC

Phương pháp giải 

a)Ta chứng minh ΔBME có 2 cạnh bên hoặc 2 góc đáy bằng nhau thông qua việc chứng minh 2 tam giác EHB và MHB bằng nhau.

b)Ta chứng minh EBH^=ACM^do cùng = MBH^

c)Ta chứng minhEBH^+BCE^=90o

Lời giải 

a)Xét ΔBHE và ΔBHM có :

BH là cạnh chung

EH = HM (do M đối xứng E qua H)

BHE^=BHM^=90o

ΔBHE = ΔBHM (c-g-c)

BM = BE (cạnh tương ứng)

và EBH^=MBH^(góc tương ứng) (1)

ΔBEM cân tại B (2 cạnh bên bằng nhau)

b)Xét ΔBHM vuông tại H BMH^+MBH^=90o

Xét ΔAMC vuông tại A AMC^+MCA^=90o

Mà HMB^=AMC^(2 góc đối đỉnh)

MCA^=MBH^=90oAMC^=90oHMB^(2)

Từ (1) và (2) EBH^=ACM^

c)Vì BCM^=ACM^ (do CM là phân giác góc C)

EBH^=BCM^(cùng bằng AMC^) (3)

Xét ΔEHB vuông tại H có EBH^+BEH^=90o(4)

Từ (3) và (4) BMC^+BEH^=90o

EBC^=90oEBBC 

Bài 10 trang 84 Toán lớp 7: Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Phương pháp giải

Ta chứng minh N là trực tâm của tam giác MIK

Lời giải 

Vì b vuông góc với a tại J (theo giả thiết) và M thuộc b

MJIK(1)

Vì đường thẳng qua I vuông góc với MK và cắt b tại N (gọi C là giao của MK và đường thẳng qua I vuông góc với MK)

MKIC(2)

Từ (1) và (2)N là trực tâm ΔMIK

NK là đường cao của ΔMIK (Các đường cao trong tam giác đi qua trực tâm)

KN MI 

Đánh giá

0

0 đánh giá