Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chuyên đề 3

1.1 K

Tailieumoi.vn giới thiệu giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 3.21 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho conic (S) có tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(–2; 5) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là Δ: x + y – 1 = 0. Chứng minh rằng, điểm M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi x2 + y2 + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0 (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?

Lời giải:

+) M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi

MFdM,Δ=2x+22+y52x+y112+12=2

x+22+y52=2x+y112+12

x+22+y52=2x+y12

x+22+y52=2x+y12

⇔ (x2 + 4x + 4) + (y2  – 10y + 25) = 2(x2 + y2 + 1 + 2xy – 2x – 2y)

⇔ x2 + y2 + 4x – 10y + 29 = 2x2 + 2y2 + 2 + 4xy – 4x – 4y

⇔ x2 + y2 + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0.

+) (S) là hypebol vì có tâm sai lớn hơn 1.

Bài 3.22 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình đường conic có tâm sai e = , một tiêu điểm F(–1; 0) và đường chuẩn tương ứng là Δ: x + y + 1 = 0. Cho biết conic đó là đường gì?

Lời giải:

Xét điểm M(x; y) thuộc conic.

M(x; y) thuộc đường conic đã cho khi và chỉ khi

MFdM,Δ=12x+12+y02x+y+112+12=12

x+12+y2=12.x+y+112+12

x+12+y2=x+y+12

2x+12+y2=x+y+1

4x+12+y2=x+y+12

4x2+2x+1+y2=x2+y2+1+2xy+2x+2y

⇔ 4x2 + 8x + 4 + 4y2 = x2 + y2 + 1 + 2xy + 2x + 2y

⇔ 3x2 + 3y2 – 2xy + 6x – 2y +3 = 0

Conic này là elip vì có tâm sai lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1.

Bài 3.23 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là Fb2a;1Δ4a và đường chuẩn là Δ:y=1+Δ4a, trong đó Δ = b2 – 4ac.

Lời giải:

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c đều có toạ độ (x; ax2 + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là MFdM,Δ=1 hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) x+b2a2+ax2+bx+c1Δ4a2=ax2+bx+c+1+Δ4a

 

x+b2a2+ax2+bx+c1Δ4a2=ax2+bx+c+1+Δ4a2

x+b2a2+4a2x2+4abx+4ac1Δ4a2=4a2x2+4abx+4ac+1+Δ4a2

x+b2a2+4a2x2+4abx+4ac1b2+4ac4a2=4a2x2+4abx+4ac+1+b24ac4a2

x+b2a2+4a2x2+4abx+b214a2=4a2x2+4abx+b2+14a2

2ax+b2a2+2ax+b214a2=2ax+b2+14a2

42ax+b2+2ax+b212=2ax+b2+12

42ax+b2+2ax+b422ax+b2+1=2ax+b4+22ax+b2+1

2ax+b4+22ax+b2+1=2ax+b4+22ax+b2+1.

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên MFdM,Δ=1 hay MF = d(M, Δ)

x+b2a2+y1Δ4a2=y+1+Δ4a

x+b2a2+y1Δ4a2=y+1+Δ4a2

2ax+b2a2+4ay1Δ4a2=4ay+1+Δ4a2

2ax+b2a2+4ay1b2+4ac4a2=4ay+1+b24ac4a2

2ax+b2a2+4ay4ac+b214a2=4ay4ac+b2+14a2

42ax+b2+4ay4ac+b212=4ay4ac+b2+12

42ax+b2=4ay4ac+b2+124ay4ac+b212

⇒ 4(4a2x2 + 4abx + b2) = 4(4ay – 4ac + b2)

⇒ 4a2x2  + 4abx = 4ay – 4ac

⇒ 4ay = 4a2x2 + 4abx + 4ac

⇒ y = ax2 + bx + c

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.

Bài 3.24 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn .

Lời giải:

+) Xét trường hợp a > 0.

 Cho hai parabol có phương trình y^2 = 2px và y = ax^2 + bx + c (a khác 0)

Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).

Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt

⇒ b2 – 4ac > 0

Xét phương trình đường tròn (C):x2+y2+ba2px1ay+ca=0.

có ba2p22+1a22ca=b2ap2+12a2ca

=b24a2ba.p+p2+14a2ca

=b24a2caba.p+p2+14a2

=b24ac4a2ba.p+p2+14a2

Vì b < 0 và b2 – 4ac > 0 (chứng minh trên) nên -ba.p > 0 và b2  4ac4a2 > 0

Do đó ba2p22+1a22ca>0.

Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.

+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.

+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:

Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:

y2 = 2px và y = ax2 + bx + c ⇒ y2 – 2px = 0 và ax2 + bx + c – y = 0

⇒ y2 – 2px = 0 và x2+bax+caya=0

⇒ x2+bax+caya+y22px=0

⇒ x2+y2+bax2pxya+ca=0

⇒ x2+y2+ba2px1ay+ca=0.

Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).

Bài 3.25 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB.

Lời giải:

Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2).

Ta thấy M nằm trong elip, do đó MA = MB khi M là trung điểm của AB.

⇒ x1 + x2 = 2xM = 2.2 = 4, y1 + y2 = 2yM = 2.1 = 2.

Vì A, B thuộc elip nên x1225+y1216=1 và x2225+y2216=1.

x1225+y1216x2225+y2216=11=0

x12x2225+y12y2216=0

x1+x2x1x225+y1+y2y1y216=0

4x1x225+2y1y216=0

x1x225+y1y232=0

x1x225=y1y232.

Mà BA có toạ độ là (x1 – x2; y1 – y2) nên (25; –32) là một vectơ chỉ phương của AB

⇒ (32; 25) là một vectơ pháp tuyến của AB

⇒ Phương trình đường thẳng AB là: 32(x – 2) + 25(y – 1) = 0 hay 32x + 25y – 89 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 32x + 25y – 89 = 0.

Bài 3.26 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.

 Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km

a) Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6371 km ).

b) Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng ngày, tàu vũ trụ càng cách xa Trái Đất.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo là y2 = 2px (p > 0).

Nhìn hình vẽ ta thấy: OF = 148 + 6371 = 6519 (km)

⇒ p2 = 6519 ⇒ p = 13038

⇒ phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo là y2 = 26076x.

b) Giả sử tàu vụ trụ có toạ độ M(x; y).

Khi đó, theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF = x + p2

Đây cũng là khoảng cách từ tàu vũ trụ đến tâm Trái Đất.

Kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, hoành độ x của tàu vũ trụ sẽ ngày càng tăng, do đó tàu ngày càng xa Trái Đất hơn.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Từ khóa :
Giải bài tập
Đánh giá

0

0 đánh giá