Toán 10 Cánh Diều trang 11: Mệnh đề Toán học

Giang Ngày: 13-02-2023 Lớp 10

376

Với giải Câu hỏi trang 11 Toán 10 Tập 1 Cánh Diều trong Bài 1: Mệnh đề Toán học học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Cánh Diều trang 11: Mệnh đề Toán học

Luyện tập – Vận dụng 7 trang 11 SGK Toán 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) Tồn tại số nguyên chia hết cho 3

b) Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số.

Phương pháp giải:

Thay “Tồn tại” thành “Mọi” hoặc ngược lại, đồng thời phủ định mệnh đề trong phát biểu.

Lời giải:

a) Phát biểu mệnh đề phủ định: “Mọi số nguyên đều không chia hết cho 3”

b) Phát biểu mệnh đề phủ định: “Tồn tại số thập phân không viết được dưới dạng phân số”

Bài tập:

Bài 1 trang 11 SGK Toán 10 Tập 1:Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?

a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.

b) Mọi số tự nhiên đều là dương.

c) Có sự sống ngoài Trái Đất

d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.

Phương pháp giải:

Mệnh đề toán học là một phát biểu, một khẳng định (có thể đúng hoặc sai) về một sự kiện trong toán học.

Lời giải:

a) Phát biểu “Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm” là một mệnh đề toán học.

b) Phát biểu “Mọi số tự nhiên đều là dương” là một mệnh đề toán học.

c) Phát biểu “Có sự sống ngoài Trái Đất” không là một mệnh đề toán học (vì không liên quan đến sự kiện Toán học nào).

d) Phát biểu “Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động” không là một mệnh đề toán học (vì không liên quan đến sự kiện Toán học nào).

Bài 2 trang 11 SGK Toán 10 Tập 1: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

a) A: “ $\frac{5}{1, 2}$ là một phân số”.

b) B: “Phương trình $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ có nghiệm”.

c) C: “ $2^{2} + 2^{3} = 2^{2 + 3}$ ”.

d) D: “Số 2 025 chia hết cho 15”.

Phương pháp giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “Không phải P”. Kí hiệu: $\bar{P}$

+) Bằng cách: thêm (hoặc bớt) chữ “không”/ “không phải” (hoặc thay đổi vị ngữ) trong mệnh đề P.

Lời giải:

a) $\bar{A}$ : “ $\frac{5}{1, 2}$ không là một phân số”.

Đúng vì $\frac{5}{1, 2}$ không là phân số (do 1,2 không là số nguyên)

b) $\bar{B}$ : “Phương trình $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ vô nghiệm”.

Sai vì phương trình $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ có hai nghiệm là $x = - 1$ và $x = - 2$ .

c) $\bar{C}$ : “ $2^{2} + 2^{3} \neq 2^{2 + 3}$ ”.

Đúng vì $2^{2} + 2^{3} = 12 \neq 32 = 2^{2 + 3}$ .

d) $\bar{D}$ : “Số 2 025 không chia hết cho 15”.

Sai vì 2025 chia hết cho 15.

Bài 3 trang 11 SGK Toán 10 Tập 1:Cho n là số tự nhiên. Xét các mệnh đề:

P: “n là một số tự nhiên chia hết cho 16”.

Q: “n là một số tự nhiên chia hết cho 8”.

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ . Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ . Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

Phương pháp giải:

Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ được phát biểu là: “Nếu P thì Q”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề $Q \Rightarrow P$ , phát biểu là: “Nếu Q thì P”.

Lời giải:

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ : “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 16 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 8”

Mệnh đề này đúng, vì n chia hết cho 16 thì n = 16.k ( $k \in N$ ) thì n = 8.(2k) chia hết cho 8.

b) Phát biểu mệnh đề $Q \Rightarrow P$ : “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 8 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 16”

Mệnh đề này sai, chẳng hạn n = 8 là số tự nhiên chia hết cho 8 nhưng n không chia hết cho 16.

Chú ý:

Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là: “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q” …

Bài 4 trang 11 SGK Toán 10 Tập 1:Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC cân”.

Q: “Tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.

Phát biểu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ bằng bốn cách.

Phương pháp giải:

4 dạng phát biểu của mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ là:

“P tương đương Q”

“P là điều kiện cần và đủ để có Q”

“P khi và chỉ khi Q”

“P nếu và chỉ nếu Q”

Lời giải:

4 cách phát biểu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ :

“Tam giác ABC cân tương đương tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”

“Tam giác ABC cân là điều kiện cần và đủ tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”

“Tam giác ABC cân khi và chỉ khi tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”

“Tam giác ABC cân nếu và chỉ nếu tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”

Bài 5 trang 11 SGK Toán 10 Tập 1:Dùng kí hiệu “ $\forall$ ” hoặc “ $\exists$ ” để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.

b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.

Phương pháp giải:

a) Viết mệnh đề về dạng “ $\exists x \in X, P (x)$ ”.

b) Viết mệnh đề về dạng “ $\forall x \in X, P (x)$ ”.

Lời giải:

a) $\exists x \in Z, x không chia hết x .$

b) $\forall x \in R, x + 0 = x .$

Bài 6 trang 11 SGK Toán 10 Tập 1: Phát biểu các mệnh đề sau:

a) $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$

b) $\exists x \in R, \frac{1}{x} > x .$

Lời giải

a) Mọi số thực có bình phương không âm.

b) Có một số thực nhỏ hơn nghịch đảo của chính nó.

Bài 7 trang 11 SGK Toán 10 Tập 1:Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:

a) $\forall x \in R, x^{2} \neq 2 x - 2$

b) $\forall x \in R, x^{2} \leq 2 x - 1$

c) $\exists x \in R, x + \frac{1}{x} \geq 2$

d) $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$

Phương pháp giải:

+) Phủ định của mệnh đề “ $\forall x \in X, P (x)$ ” là mệnh đề “ $\exists x \in X, \bar{P (x)}$ ”

+) Phủ định của mệnh đề “ $\exists x \in X, P (x)$ ” là mệnh đề “ $\forall x \in X, \bar{P (x)}$ ”.

Lời giải :

a) Phủ định của mệnh đề “ $\forall x \in R, x^{2} \neq 2 x - 2$ ” là mệnh đề “ $\exists x \in R, x^{2} = 2 x - 2$ ”

Mệnh đề “ $\exists x \in R, x^{2} = 2 x - 2$ ” sai vì $x^{2} \neq 2 x - 2$ với mọi số thực x ( vì $x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1 > 0$ hay $x^{2} > 2 x - 2$ ).