a) Đạo hàm của hàm hằng bằng $0:c^{\prime }=0.$

b) Đạo hàm của hàm số $y=x$ bằng $1:x^{\prime }=1.$

Lời giải:

a)

Hàm hằng $\Rightarrow \Delta y=0$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=0$

b)

Theo định lí 1

$y=x$ hay $y=x^1\Rightarrow y^{\prime }=(x^1{)}^{\prime }=1.x^{1-1}=1.x^0=1.1=1$.

a) $y=7+x-x^2$ tại $x_0=1$;

b) $y=x^3-2x+1$ tại $x_0=2$.

Phương pháp giải:

a)

Bước 1: Giả sử $\mathrm{\Delta }x$ là số gia của đối số tại $x_0$, tính $\mathrm{\Delta }y=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2: Lập tỉ số ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$.

Bước 3: Tìm $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$.

Kết luận $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$.

b)

Bước 1: Giả sử $\mathrm{\Delta }x$ là số gia của đối số tại $x_0$, tính $\mathrm{\Delta }y=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2: Lập tỉ số ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$.

Bước 3: Tìm $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$.

Kết luận $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$.

Lời giải:

a)

Giả sử  $∆x$  là số gia của đối số tại $x_0=1$. Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(1+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(1\right)\\ \mathrm{\Delta }y=7+\left(1+\mathrm{\Delta }x\right)-{\left(1+\mathrm{\Delta }x\right)}^2-7\\ \mathrm{\Delta }y=1+\mathrm{\Delta }x-1-2\mathrm{\Delta }x-{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2\\ \mathrm{\Delta }y=-{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2-\mathrm{\Delta }x\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=-\mathrm{\Delta }x-1\\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left(-\mathrm{\Delta }x-1\right)=-1\end{array}$

Vậy $f^{\prime }(1)=-1$.

b)

Giả sử  $∆x$  là số gia của số đối tại $x_0=2$. Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(2\right)\\ \mathrm{\Delta }y={\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)}^3-2\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)+1-5\\ \mathrm{\Delta }y=8+12\mathrm{\Delta }x+6{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^3-4-2\mathrm{\Delta }x-4\\ \mathrm{\Delta }y={\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^3+6{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+10\mathrm{\Delta }x\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+6\mathrm{\Delta }x+10\\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left({\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+6\mathrm{\Delta }x+10\right)=10\end{array}$

Vậy $f^{\prime }(2)=10$.

a) $y=x^5-4x^3+2x-3$;

b) $y={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+x^2-0,5x^4$;

c) $y={\displaystyle \frac{x^4}{2}}$ - ${\displaystyle \frac{2x^3}{3}}$ + ${\displaystyle \frac{4x^2}{5}}-1$;

d) $y=3x^5(8-3x^2)$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính đạo hàm ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$.

b) Sử dụng công thức tính đạo hàm ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$.

c) Sử dụng công thức tính đạo hàm ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$.

d) Sử dụng công thức tính đạo hàm ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(x^5-4x^3+2x-3\right)}^{\prime }\\ ={\left(x^5\right)}^{\prime }-{\left(4x^3\right)}^{\prime }+{\left(2x\right)}^{\prime }-{\left(3\right)}^{\prime }\\ ={\left(x^5\right)}^{\prime }-4.{\left(x^3\right)}^{\prime }+2.{\left(x\right)}^{\prime }-0\\ =5x^4-4.3x^2+2\\ =5x^4-12x^2+2\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+x^2-0,5x^4\right)}^{\prime }\\ ={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{\prime }-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}x\right)}^{\prime }+{\left(x^2\right)}^{\prime }-{\left(0,5x^4\right)}^{\prime }\\ =0-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left(x\right)}^{\prime }+{\left(x^2\right)}^{\prime }-0,5{\left(x^4\right)}^{\prime }\\ =-{\displaystyle \frac{1}{3}}+2x-0,5.4x^3\\ =-{\displaystyle \frac{1}{3}}+2x-2x^3\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left({\displaystyle \frac{x^4}{2}}-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{4x^2}{5}}-1\right)}^{\prime }\\ ={\left({\displaystyle \frac{x^4}{2}}\right)}^{\prime }-{\left({\displaystyle \frac{2x^3}{3}}\right)}^{\prime }+{\left({\displaystyle \frac{4x^2}{5}}\right)}^{\prime }-{\left(1\right)}^{\prime }\\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(x^4\right)}^{\prime }-{\displaystyle \frac{2}{3}}{\left(x^3\right)}^{\prime }+{\displaystyle \frac{4}{5}}{\left(x^2\right)}^{\prime }-0\\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}.4x^3-{\displaystyle \frac{2}{3}}.3x^2+{\displaystyle \frac{4}{5}}.2x\\ =2x^3-2x^2+{\displaystyle \frac{8}{5}}x\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}y=3x^5\left(8-3x^2\right)\\ =24x^5-9x^7\\ \Rightarrow y^{\prime }={\left(24x^5-9x^7\right)}^{\prime }\\ =24.{\left(x^5\right)}^{\prime }-9.{\left(x^7\right)}^{\prime }\\ =24.5x^4-9.7x^6\\ =120x^4-63x^6\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left[3x^5\left(8-3x^2\right)\right]}^{\prime }\\ ={\left(3x^5\right)}^{\prime }\left(8-3x^2\right)+3x^5{\left(8-3x^2\right)}^{\prime }\\ =3.{\left(x^5\right)}^{\prime }\left(8-3x^2\right)+3x^5\left[{\left(8\right)}^{\prime }-{\left(3x^2\right)}^{\prime }\right]\\ =3.5x^4\left(8-3x^2\right)+3x^5\left(0-3.2x\right)\\ =120x^4-45x^6-18x^6\\ =120x^4-63x^6\end{array}$

a) $y=(x^7-5x^2{)}^3$;

b) $y=(x^2+1)(5-3x^2)$;

c) $y={\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}$;

d) $y={\displaystyle \frac{3-5x}{x^2-x+1}}$;

e) $y={\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^3$ ($m,n$ là các hằng số).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, đạo hàm của hàm hợp ${\left[f\left(u\right)\right]}^{\prime }=u^{\prime }.f^{\prime }\left(u\right)$, các quy tắc tính đạo hàm của tích và thương:

$\begin{array}{l}{\left(uv\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ {\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}\end{array}$

Lời giải:

a)

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp $y=u^3,u=x^7-5x^2$

$\begin{array}{l}y={\left(x^7-5x^2\right)}^3\\ \Rightarrow y^{\prime }=3{\left(x^7-5x^2\right)}^2{\left(x^7-5x^2\right)}^{\prime }\\ y^{\prime }=3{\left(x^7-5x^2\right)}^2\left[{\left(x^7\right)}^{\prime }-{\left(5x^2\right)}^{\prime }\right]\\ y^{\prime }=3{\left(x^7-5x^2\right)}^2.\left(7x^6-5.2x\right)\\ y^{\prime }=3{\left(x^7-5x^2\right)}^2.\left(7x^6-10x\right)\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}y=\left(x^2+1\right)\left(5-3x^2\right)\\ \Rightarrow y=5x^2-3x^4+5-3x^2\\ =-3x^4+2x^2+5\\ \Rightarrow y^{\prime }={\left(-3x^4\right)}^{\prime }+{\left(2x^2\right)}^{\prime }+{\left(5\right)}^{\prime }\\ \Rightarrow y^{\prime }=-3.4x^3+2.2x+0\\ \Rightarrow y^{\prime }=-12x^3+4x\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(x^2+1\right)}^{\prime }\left(5-3x^2\right)+\left(x^2+1\right){\left(5-3x^2\right)}^{\prime }\\ =\left[{\left(x^2\right)}^{\prime }+{\left(1\right)}^{\prime }\right]\left(5-3x^2\right)+\left(x^2+1\right)\left[{\left(5\right)}^{\prime }-{\left(3x^2\right)}^{\prime }\right]\\ =\left(2x+0\right)\left(5-3x^2\right)+\left(x^2+1\right)\left(0-3.2x\right)\\ =10x-6x^3-6x^3-6x\\ =4x-12x^3\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(2x\right)}^{\prime }\left(x^2-1\right)-2x.{\left(x^2-1\right)}^{\prime }}{{\left(x^2-1\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{2\left(x^2-1\right)-2x.2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{2x^2-2-4x^2}{{\left(x^2-1\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{-2x^2-2}{{\left(x^2-1\right)}^2}}\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{3-5x}{x^2-x+1}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(3-5x\right)}^{\prime }\left(x^2-x+1\right)-\left(3-5x\right){\left(x^2-x+1\right)}^{\prime }}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{-5\left(x^2-x+1\right)-\left(3-5x\right)\left(2x-1\right)}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{-5x^2+5x-5+3-11x+10x^2}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{5x^2-6x-2}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}\end{array}$

e)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }=3{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^2{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^{\prime }\\ =3{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^2\left[{\left(m\right)}^{\prime }+{\left({\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^{\prime }\right]\\ =3{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^2\left[0+{\displaystyle \frac{{\left(n\right)}^{\prime }.x^2-n.{\left(x^2\right)}^{\prime }}{x^4}}\right]\\ =3{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^2.{\displaystyle \frac{0x^2-n.2x}{x^4}}\\ =3{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^2.{\displaystyle \frac{-2n}{x^3}}\\ =-6n{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^2.{\displaystyle \frac{1}{x^3}}\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}y={\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^3\\ \Rightarrow y^{\prime }=3{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^2{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^{\prime }\\ y^{\prime }=3{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^2.{\left(m+n.x^{-2}\right)}^{\prime }\\ y^{\prime }=3{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^2.n.\left(-2\right).x^{-3}\\ y^{\prime }=-6n{\left(m+{\displaystyle \frac{n}{x^2}}\right)}^2.{\displaystyle \frac{1}{x^3}}\end{array}$

a) $y=x^2-x\sqrt{x}+1$;

b) $y=\sqrt{(2-5x-x^2)}$;

c) $y={\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{a^2-x^2}}}$ ( $a$ là hằng số);

d) $y={\displaystyle \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm: ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n.x^{n-1};{\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$.

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}y=x^2-x\sqrt{x}+1\\ y^{\prime }={\left(x^2\right)}^{\prime }-{\left(x\sqrt{x}\right)}^{\prime }+{\left(1\right)}^{\prime }\\ y^{\prime }=2x-\left[{\left(x\right)}^{\prime }\sqrt{x}+x{\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }\right]+0\\ y^{\prime }=2x-\left(\sqrt{x}+x.{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\right)\\ y^{\prime }=2x-\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{2}}\\ y^{\prime }=2x-{\displaystyle \frac{3\sqrt{x}}{2}}\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}y=\sqrt{2-5x-x^2}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(2-5x-x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{2-5x-x^2}}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(2\right)}^{\prime }-{\left(5x\right)}^{\prime }-{\left(x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{2-5x-x^2}}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{0-5-2x}{2\sqrt{2-5x-x^2}}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{-2x-5}{2\sqrt{2-5x-x^2}}}\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{a^2-x^2}}}\left(a=const\right)\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(x^3\right)}^{\prime }\sqrt{a^2-x^2}-x^3{\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)}^{\prime }}{{\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{3x^2\sqrt{a^2-x^2}-x^3.{\displaystyle \frac{{\left(a^2-x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{a^2-x^2}}}}{{\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{3x^2\sqrt{a^2-x^2}-x^3.{\displaystyle \frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}}}{a^2-x^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{3x^2\left(a^2-x^2\right)+x^4}{{\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)}^3}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{3x^2{a}^2-2x^4}{{\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)}^3}}\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(1+x\right)}^{\prime }\sqrt{1-x}-\left(1+x\right).{\left(\sqrt{1-x}\right)}^{\prime }}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{1.\sqrt{1-x}-\left(1+x\right).{\displaystyle \frac{{\left(1-x\right)}^{\prime }}{2\sqrt{1-x}}}}{1-x}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{1-x}-\left(1+x\right){\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}}{1-x}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{2\left(1-x\right)+\left(1+x\right)}{2{\left(\sqrt{1-x}\right)}^3}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{3-x}{2{\left(\sqrt{1-x}\right)}^3}}\end{array}$

a) $y^{\prime }>0$;

b) $y^{\prime }<3$.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số và giải các bất phương trình.

Lời giải:

a)

Ta có:

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(x^3-3x^2+2\right)}^{\prime }\\ ={\left(x^3\right)}^{\prime }-{\left(3x^2\right)}^{\prime }+{\left(2\right)}^{\prime }\\ =3x^2-3.2x+0\\ =3x^2-6x\end{array}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }>0\\ \iff 3x^2-6x>0\\ \iff 3x\left(x-2\right)>0\\ \iff [\begin{array}{l}x>2\\ x<0\end{array}\\ \Rightarrow S=\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(2;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }<3\\ \iff 3x^2-6x<3\\ \iff 3x^2-6x-3<0\\ \iff 1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}\\ \Rightarrow S=\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)\end{array}$

Lý thuyết Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là: $k=f^{\text{'}}\left(x_0\right)$.

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là: $y=f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

1. Công thức

  $(c{)}^{\prime }=0$       ( $c$ là hằng số);

  $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast },x\in \mathbb{R}$);

  $(\sqrt{x}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ ($x>0$).

2. Phép toán

$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$;

$(u-v{)}^{\prime }=u^{\prime }-v^{\prime }$ ;

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ ;

$(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$ ($k$ là hằng số);

${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{{}^{{}^{\prime }}}$ = ${\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$ , ( $v=v(x)\ne 0$);

${\left({\displaystyle \frac{1}{v}}\right)}^{{}^{\prime }}$ = ${\displaystyle \frac{-v^{\prime }}{v^2}}$ , ( $v=v(x)\ne 0$).

3. Đạo hàm của hàm hợp

$$y_x^{\prime }=y_u^{\prime }.u_x^{\prime }$$

Hệ quả: +)  ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n.u^{n-1}.u^{\prime }$; 

             +) $(\sqrt{u}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}}$.