Lời giải:

Vận tốc của đoàn tàu là:

$v=\frac{s}{t}=\frac{t^2}{t}=t$

 Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng $[t;t_o]$ với:

$\begin{array}{rl}& t_0=3;t=2:\frac{3+2}{2}=2,5\\ & t_0=3;t=2,5:\frac{3+2,5}{2}=2,75\\ & t_0=3;t=2,9:\frac{3+2,9}{2}=2,95\\ & t_0=3;t=2,99:\frac{3+2,99}{2}=2,995\end{array}$

$t$ càng gần $t_o=3$ thì vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng $[t;t_o]$ càng gần 3.

b) Tính $f^{\prime }(1).$

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm ) và có hệ số góc bằng . Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải:

a)

b)

- Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0=1$. Ta có:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }y=f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)\\ & =\frac{{(1+\mathrm{\Delta }x)}^2}{2}-\frac{1^2}{2}\\ & =\frac{{(\mathrm{\Delta }x)}^2+2\mathrm{\Delta }x}{2}\\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{{(\mathrm{\Delta }x)}^2+2\mathrm{\Delta }x}{2}:\mathrm{\Delta }x\\ & =\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}+1\\ & \Rightarrow f^{\prime }(1)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}+1=0+1=1\end{array}$

c)

- Đường thẳng có hệ số góc bằng $f^{\prime }(1)=1$ có dạng:

$y=1.x+a$ hay $y=x+a$

Mà đường thẳng đó đi qua điểm $M(1;\frac{1}{2}$) nên có: $\frac{1}{2}=1+a\Rightarrow a=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$

⇒ đường thẳng đi qua $M$ và có hệ số góc bằng $1$ là: $y=x–\frac{1}{2}$

Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng $y=x–\frac{1}{2}$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $f(x)$ tại $M$.

- Tính $\Delta y$ theo số gia $\Delta x$.

- Tính tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ và tính đạo hàm $y^{\prime }(2)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.

a) $f\left(x\right)=x^2$ tại điểm $x$ bất kì;

b) $g(x)=\frac{1}{x}$ tại điểm bất kì $x\ne 0.$

Phương pháp giải:

- Tính $\mathrm{\Delta }y$ theo $\mathrm{\Delta }x$.

- Tính tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.

- Tính giới hạn $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ và kết luận.

Lời giải:

a)

Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$ bất kỳ. Ta có:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\\ & =(x_0+\mathrm{\Delta }x{)}^2-{x_0}^2=2x_0\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2\\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2x_0\mathrm{\Delta }x+{(\mathrm{\Delta }x)}^2}{\mathrm{\Delta }x}=2x_0+\mathrm{\Delta }x\\ & \Rightarrow y^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(2x_0+\mathrm{\Delta }x)=2x_0\end{array}$

b)

Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$ bất kỳ. Ta có:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }y=g(x_0+\mathrm{\Delta }x)-g(x_0)\\ & =\frac{1}{x_0+\mathrm{\Delta }x}-\frac{1}{x_0}=\frac{-\mathrm{\Delta }x}{x_0(x_0+\mathrm{\Delta }x)}\\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{-\mathrm{\Delta }x}{x_0(x_0+\mathrm{\Delta }x)}:\mathrm{\Delta }x=\frac{-1}{x_0(x_0+\mathrm{\Delta }x)}\\ & y^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(\frac{-1}{x_0(x_0+\mathrm{\Delta }x)})=\frac{-1}{{x_0}^2}\end{array}$

Bài tập trang 156, 157 SGK Toán 11

a) $x_0=1;∆x=1$;

b) $x_0=1;∆x=-0,1$.

Phương pháp giải:

a) Số gia của hàm số $y=f\left(x\right)$ là: $\mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$.

b) Số gia của hàm số $y=f\left(x\right)$ là: $\mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(1+1\right)-f\left(1\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(2\right)-f\left(1\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=2^3-1^3=7\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(1-0,1\right)-f\left(1\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(0,9\right)-f\left(1\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=0,9^3-1=-0,271\end{array}$

a) $y=2x-5$;

b) $y=x^2-1$;

c) $y=2x^3$;

d) $y=\frac{1}{x}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\mathrm{\Delta }y=f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)$ tính $\mathrm{\Delta }y$, từ đó suy ra ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$

(Trong công thức $\mathrm{\Delta }y=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$ ta coi $x_0=x$).

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)\\ =\left[2\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-5\right]-\left(2x-5\right)\\ =2x+2\mathrm{\Delta }x-5-2x+5\\ =2\mathrm{\Delta }x\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{2\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}}=2\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)\\ ={\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)}^2-1-\left(x^2-1\right)\\ =x^2+2x\mathrm{\Delta }x+{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2-1-x^2+1\\ =2x\mathrm{\Delta }x+{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2\\ =\mathrm{\Delta }x\left(2x+\mathrm{\Delta }x\right)\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x\left(2x+\mathrm{\Delta }x\right)}{\mathrm{\Delta }x}}\\ =2x+\mathrm{\Delta }x\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)\\ =2{\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)}^3-2x^3\\ =2\left[x^3+3x^2\mathrm{\Delta }x+3x{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^3\right]-2x^3\\ =2x^3+6x^2\mathrm{\Delta }x+6x{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+2{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^3-2x^3\\ =6x^2\mathrm{\Delta }x+6x{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+2{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^3\\ =\mathrm{\Delta }x\left[6x^2+6x\mathrm{\Delta }x+2{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2\right]\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x\left[6x^2+6x\mathrm{\Delta }x+2{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2\right]}{\mathrm{\Delta }x}}\\ =6x^2+6x\mathrm{\Delta }x+2{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)\\ ={\displaystyle \frac{1}{x+\mathrm{\Delta }x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}\\ ={\displaystyle \frac{x-x-\mathrm{\Delta }x}{x\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{-\mathrm{\Delta }x}{x\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)}}\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{\Delta }x}{x\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)}}:\mathrm{\Delta }x\\ ={\displaystyle \frac{-\mathrm{\Delta }x}{x\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)}}.{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{-1}{x\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)}}\end{array}$

a) $y=x^2+x$ tại $x_0=1$;

b) $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ tại $x_0=2$;

c) $y={\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$ tại $x_0=0$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử $\mathrm{\Delta }x$ là số gia của đối số tại $x_0$, tính $\mathrm{\Delta }y=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2: Lập tỉ số ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$.

Bước 3: Tìm $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$.

Kết luận $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$.

Lời giải:

a)

Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0=1$. Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(1+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(1\right)\\ ={\left(1+\mathrm{\Delta }x\right)}^2+\left(1+\mathrm{\Delta }x\right)-1^2-1\\ =1+2\mathrm{\Delta }x+{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+1+\mathrm{\Delta }x-2\\ =\mathrm{\Delta }x\left(\mathrm{\Delta }x+3\right)\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\mathrm{\Delta }x+3\\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left(\mathrm{\Delta }x+3\right)=3\end{array}$

Vậy $f^{\prime }(1)=3$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^2+x\Rightarrow f\left(1\right)=2\\ \Rightarrow \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}}\\ =\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+x-2}{x-1}}\\ =\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x-1}}\\ =\underset{x\to 1}{lim}\left(x+2\right)\\ =1+2\\ =3\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(1\right)=3\end{array}$

b)

Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0=2$. Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(2\right)\\ ={\displaystyle \frac{1}{2+\mathrm{\Delta }x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ ={\displaystyle \frac{2-2-\mathrm{\Delta }x}{2\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{\Delta }x}{2\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)}}\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{-1}{2\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)}}\\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left({\displaystyle \frac{-1}{2\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)}}\right)={\displaystyle \frac{-1}{2.2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$

Vậy $f^{\prime }(2)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\Rightarrow f\left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \Rightarrow \underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}}\\ =\underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{x-2}}\\ =\underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2-x}{2x}}}{-\left(2-x\right)}}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\left(-{\displaystyle \frac{1}{2x}}\right)\\ =-{\displaystyle \frac{1}{2.2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(2\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$

c)

Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0=0$.Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(0\right)\\ ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x+1}{\mathrm{\Delta }x-1}}-{\displaystyle \frac{0+1}{0-1}}\\ ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x+1}{\mathrm{\Delta }x-1}}+1\\ ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x+1+\mathrm{\Delta }x-1}{\mathrm{\Delta }x-1}}={\displaystyle \frac{2\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x-1}}\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{\Delta }x-1}}\\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left({\displaystyle \frac{2}{\mathrm{\Delta }x-1}}\right)={\displaystyle \frac{2}{-1}}=-2\end{array}$

Vậy $f^{\prime }(0)=-2$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}\Rightarrow f\left(0\right)=-1\\ \Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}}\\ =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}+1}{x}}\\ =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x+1+x-1}{x-1}}}{x}}\\ =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2x}{x-1}}}{x}}\\ =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{2}{x-1}}\\ ={\displaystyle \frac{2}{0-1}}=-2\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(0\right)=-2\end{array}$

a) Tại điểm có tọa độ $(-1;-1)$;

b) Tại điểm có hoành độ bằng $2$;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $3$.

Phương pháp giải:

a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

c)

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ là $f^{\prime }\left(x_0\right)=3$.

Giải phương trình tìm $x_0$, từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$.

Lời giải:

a)

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}=\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}}\\ =\underset{x\to x_0}{lim}\left(x^2+x.x_0+x_0^2\right)\\ =x_0^2+x_0.x_0+x_0^2=3x_0^2\\ \Rightarrow y^{\prime }\left(x_0\right)=3x_0^2\end{array}$

Ta có: $y^{\prime }(-1)=3$.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1;-1)$ là: $y=3\left(x+1\right)-1=3x+2$

b)

Ta có: $y^{\prime }(2)={3.2}^2=12$, $y(2)=2^3=8$.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng $2$ là: $y=12\left(x-2\right)+8=12x-16$.

c)

Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có: 

$y^{\prime }(x_0)=3\iff 3{x_0}^2=3\iff {x_0}^2=1$ $\iff x_0=\pm 1$.

+) Với $x_0=1$ ta có $y(1)=1$, phương trình tiếp tuyến là $y=3\left(x-1\right)+1=3x-2$

+) Với $x_0=-1$ ta có $y(-1)=-1$, phương trình tiếp tuyến là $y=3\left(x+1\right)-1=3x+2$.

a) Tại điểm $({\displaystyle \frac{1}{2}};2)$;

b) Tại điểm có hoành độ bằng $-1$;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Phương pháp giải:

a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

c)

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ là $f^{\prime }\left(x_0\right)=3$.

Giải phương trình tìm $x_0$, từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$.

Lời giải:

a)

Xét giới hạn:

$\begin{array}{l}\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}=\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x_0}}}{x-x_0}}\\ =\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{x_0-x}{x.x_0\left(x-x_0\right)}}=\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{-1}{x.x_0}}=-{\displaystyle \frac{1}{x_0^2}}\\ \Rightarrow y^{\prime }\left(x_0\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x_0^2}}\end{array}$

Ta có: $y^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-4$.

Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm $({\displaystyle \frac{1}{2}};2)$ là $y=-4\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+2=-4x+4$

b)

Ta có: $y^{\prime }(-1)=-1,y(-1)=-1$.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là $-1$ là: $y=-\left(x+1\right)-1=-x-2$.

c)

Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có

$y^{\prime }(x_0)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\iff -{\displaystyle \frac{1}{x_0^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\iff x_0^2=4\iff x_0=\pm 2$.

Với $x_0=2$ ta có $y(2)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, phương trình tiếp tuyến là $y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\left(x-2\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+1$.

Với $x_0=-2$ ta có $y(-2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, phương trình tiếp tuyến là: $y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\left(x+2\right)-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}x-1$.

Chú ý: Trong các ý a, b, c đều sử dụng cách tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x=x_0$ bằng định nghĩa. Sau khi học xong bài 2 thì các em có thể quay lại làm lại bài tập này, việc tính đạo hàm sẽ dễ hơn rất nhiều.

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến $t+∆t$, trong các trường hợp $∆t=0,1s;∆t=0,05s;∆t=0,001s$.

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t=5s$.

Phương pháp giải:

Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ $t$ đến $t+∆t$ là  $v_{tb}={\displaystyle \frac{s\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)-s\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }t}}$

Lời giải:

a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ $t$ đến $t+∆t$ là 

$\begin{array}{l}{v}_{tb}={\displaystyle \frac{s\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)-s\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }t}}\\ ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}g{\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2}{\mathrm{\Delta }t}}\\ ={\displaystyle \frac{g{t}^2+2gt.\mathrm{\Delta }t+g\mathrm{\Delta }{t}^2-g{t}^2}{2\mathrm{\Delta }t}}\\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}g\left(2t+\mathrm{\Delta }t\right)\end{array}$

Với $t=5$ và

+) $∆t=0,1$ thì $v_{tb}\approx 4,9.(10+0,1)\approx 49,49m/s$;

+) $∆t=0,05$ thì $v_{tb}\approx 4,9.(10+0,05)\approx 49,245m/s$;

+) $∆t=0,001$ thì $v_{tb}\approx 4,9.(10+0,001)\approx 49,005m/s$.

b)

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t=5s$ chính là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian $(t;t+\Delta t)$ khi $\Delta t\to 0$ là :

$v_{tt}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{2}}g\left(2t+\mathrm{\Delta }t\right)$ $=gt=9,8.5=49\left(m/s\right)$.

Lý thuyết Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm