Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai | Giải Toán lớp 11

Trần Thị Hường Ngày: 20-05-2022 Lớp 11

421

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về đạo hàm cấp hai lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Câu hỏi 1 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11: Tính y' và đạo hàm của y' biết:

a) $y = x^{3} - 5 x^{2} + 4 x$ ;

b) $y = s i n 3 x .$

Phương pháp giải:

Sử dụng :

+ Công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản.

+ Đạo hàm hàm số lượng giác.

Sử dụng :

+ Công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản.

+ Đạo hàm hàm số lượng giác.

Lời giải:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(x^{3} - 5 x^{2} + 4 x)}^{'} = 3 x^{2} - 10 x + 4 \\ {(y^{'})}^{'} = {(3 x^{2} - 10 x + 4)}^{'} = 6 x - 10 \end{array}$

$y^{'} = (s i n 3 x)^{'} = 3 c o s 3 x (y^{'})^{'} = (3 c o s 3 x)^{'} = - 9 s i n 3 x$

Câu hỏi 2 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11: Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình

s = \frac{1}{2} g t^{2}

(trong đó

g \approx 9, 8 m / s^{2}

). Hãy tính vận tốc tức thời

v (t)

tại các thời điểm

t_{o} = 4 s; t_{1} = 4, 1 s

. Tính tỉ số

\frac{Δ v}{Δ t}

trong khoảng

Δ t = t_{1} - t_{0} .

Phương pháp giải:

- Vận tốc $v (t) = \frac{S (t)}{t}$ .

- Thay các giá trị $t_{0}$ và $t_{1}$ vào $v (t)$ .

- Tính $\frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v (t_{1}) - v (t_{0})}{t_{1} - t_{0}}$

Lời giải:

$\begin{aligned} v (t) = \frac{s}{t} = \frac{\frac{1}{2} g t^{2}}{t} = \frac{1}{2} g t \\ \Rightarrow {\begin{matrix} v (t_{0}) = \frac{s}{t_{0}} = \frac{\frac{1}{2} g {t_{0}}^{2}}{t_{0}} = \frac{1}{2} g t_{0} = \frac{1}{2} .9, 8.4 = 19, 6 (m / s) \\ v (t_{1}) = \frac{s}{t_{1}} = \frac{\frac{1}{2} g {t_{1}}^{2}}{t_{1}} = \frac{1}{2} g t_{1} = \frac{1}{2} .9, 8.4, 1 = 20, 09 (m / s) \end{matrix} \\ \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v (t_{1}) - v (t_{0})}{t_{1} - t_{0}} = \frac{20, 09 - 19, 6}{4, 1 - 4} = 4, 9 \end{aligned}$

Câu hỏi 3 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11: Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do

s = \frac{1}{2} g t^{2}

Phương pháp giải:

Gia tốc chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường.

Lời giải:

$s^{″} = (\frac{1}{2} g t^{2})^{″} = (g t)^{'} = g = 9, 8 (m / s^{2})$ .

Bài tập trang 174 SGK Toán 11

Bài 1 trang 174 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) Cho

f (x) = (x + 10)^{6}

. Tính

f " (2)

b) Cho $f (x) = \sin 3 x$ . Tính $f " (- \frac{π}{2})$ , $f " (0)$ , $f " (\frac{π}{18})$ .

Phương pháp giải:

a) Lần lượt tính đạo hàm, đạo hàm cấp hai của hàm số. Từ đó thay số và suy ra đạo hàm cấp hai tại giá trị cần tính.

b) Lần lượt tính đạo hàm, đạo hàm cấp hai của hàm số. Từ đó thay số và suy ra đạo hàm cấp hai tại giá trị cần tính.

Lời giải:

Ta có:

$f^{'} (x) = 6 (x + 10)^{'} . (x + 10)^{5} = 6. (x + 10)^{5}$

$f " (x) = 6.5 (x + 10)^{'} . (x + 10)^{4} = 30. (x + 10)^{4}$

$\Rightarrow f^{″} (2) = 30. (2 + 10)^{4} = 622080$

Ta có:

$f^{'} (x) = (3 x)^{'} . \cos 3 x = 3 \cos 3 x$ ,

$f " (x) = 3. [- (3 x)^{'} . \sin 3 x] = - 9 \sin 3 x$

$\Rightarrow f " (- \frac{π}{2}) = - 9 \sin (- \frac{3 π}{2}) = - 9;$

$f " (0) = - 9 s i n 0 = 0$ ;

$f " (\frac{π}{18}) = - 9 \sin (\frac{π}{6}) = - \frac{9}{2}$ .

Bài 2 trang 174 SGK Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{1 - x}$ ;

b) $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ ;

c) $y = \tan x$ ;

d) $y = \cos^{2} x$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

b) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

c) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

d) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

Lời giải:

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{1 - x} \\ \Rightarrow y^{'} = \frac{- {(1 - x)}^{'}}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{- (- 1)}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \\ \Rightarrow y^{″} = - \frac{{[{(1 - x)}^{2}]}^{'}}{{(1 - x)}^{4}} \\ = - \frac{2 (1 - x) (- 1)}{{(1 - x)}^{4}} = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \\ \Rightarrow y^{'} = - \frac{{(\sqrt{1 - x})}^{'}}{{(\sqrt{1 - x})}^{2}} = - \frac{\frac{{(1 - x)}^{'}}{2 \sqrt{1 - x}}}{1 - x} \\ = - \frac{\frac{- 1}{2 \sqrt{1 - x}}}{1 - x} = \frac{1}{2 {(\sqrt{1 - x})}^{3}} \\ \Rightarrow y^{″} = \frac{1}{2} . \frac{- {[{(\sqrt{1 - x})}^{3}]}^{'}}{{(\sqrt{1 - x})}^{6}} \\ = - \frac{1}{2} . \frac{3 {(\sqrt{1 - x})}^{2} . {(\sqrt{1 - x})}^{'}}{{(\sqrt{1 - x})}^{6}} \\ = - \frac{3 (1 - x) . \frac{- 1}{2 \sqrt{1 - x}}}{2 {(\sqrt{1 - x})}^{6}} = \frac{3}{4 {(\sqrt{1 - x})}^{5}} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = \tan x \\ \Rightarrow y^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ \Rightarrow y^{″} = - \frac{{(\cos^{2} x)}^{'}}{\cos^{4} x} = - \frac{2 \cos x {(\cos x)}^{'}}{\cos^{4} x} \\ = \frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{4} x} = \frac{2 \sin x}{\cos^{3} x} \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} y = \tan x \\ y^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x \\ y^{″} = {(1 + \tan^{2} x)}^{'} \\ = 2 \tan x {(\tan x)}^{'} \\ = 2 \tan x . \frac{1}{\cos^{2} x} \\ = \frac{2 \tan x}{\cos^{2} x} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = \cos^{2} x \\ \Rightarrow y^{'} = 2 \cos x {(\cos x)}^{'} \\ = - 2 \cos x \sin x = - \sin 2 x \\ \Rightarrow y^{″} = - (2 x)^{'} \cos 2 x = - 2 \cos 2 x \end{array}$

Lý thuyết Bài 5: Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ .

+) Nếu hàm số $f^{'} (x)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $f (x)$ , kí hiệu là $f^{″} (x)$ .

+) Đạo hàm cấp $n (n \in N, n \geq 2)$ của hàm số $y = f (x)$ là đạo hàm của hàm số $f^{(n - 1)} (x)$ .

Kí hiệu: $f^{(n)} (x)$ hay $y^{(n)}$ :

Tức là $f^{(n)} (x) = {[f^{(n - 1)} (x)]}^{'}$

Đặc biệt: $f^{(0)} (x) = f (x)$

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: $S = s (t)$ .

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t_{0}$ là: $v (t_{0}) = S^{'} (t_{0})$

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t_{0}$ là: $a (t_{0}) = S^{″} (t_{0})$

3. Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản

+) ${(\sin x)}^{(n)} = \sin (x + \frac{n π}{2})$

+) ${(\cos x)}^{(n)} = \cos (x + \frac{n π}{2})$

+) Nếu $n \leq m$ thì ${(x^{m})}^{(n)} = m (m - 1) . . . (m - n + 1) . x^{m - n}$

+) Nếu $n > m$ thì ${(x^{m})}^{(n)} = 0$ .

$\begin{array}{l} +) y = \sin (a x + b) \\ \Rightarrow y^{(n)} = a^{n} \sin (a x + b + \frac{n π}{2}) \\ +) y = \cos (a x + b) \\ \Rightarrow y^{(n)} = a^{n} \cos (a x + b + \frac{n π}{2}) \\ +) y = \frac{1}{a x + b} \\ \Rightarrow y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} . n! . a^{n}}{{(a x + b)}^{n + 1}} \\ +) y = \sqrt[m]{a x + b} \\ \Rightarrow y^{(n)} = \frac{1}{m} . (\frac{1}{m} - 1) . . . (\frac{1}{m} - n + 1) . a^{n} . {(a x + b)}^{\frac{1}{m} - n} \end{array}$