Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương V - Đạo hàm chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về đạo hàm lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương V - Đạo hàm

Bài tập trang 176, 177 SGK Toán 11

Bài 1 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-5$;

b) ${\displaystyle y=\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}+\frac{5}{x^3}-\frac{6}{7x^4}}$;

c) ${\displaystyle y=\frac{3x^2-6x+7}{4x}}$;

d) ${\displaystyle y=(\frac{2}{x}+3x)(\sqrt{x}-1)}$;

e) ${\displaystyle y=\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}}$;

d) ${\displaystyle y=\frac{-x^2+7x+5}{x^2-3x}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left({\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right)}^{\prime }-{\left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right)}^{\prime }+{\left(x\right)}^{\prime }-{\left(5\right)}^{\prime }\\ ={\displaystyle \frac{3x^2}{3}}-{\displaystyle \frac{2x}{2}}+1\\ =x^2-x+1\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left({\displaystyle \frac{2}{x}}\right)}^{\prime }-{\left({\displaystyle \frac{4}{x^2}}\right)}^{\prime }+{\left({\displaystyle \frac{5}{x^3}}\right)}^{\prime }-\left({\displaystyle \frac{6}{7x^4}}\right)\\ =-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{-4.{\left(x^2\right)}^{\prime }}{x^4}}+{\displaystyle \frac{-5{\left(x^3\right)}^{\prime }}{x^6}}-{\displaystyle \frac{-6{\left(x^4\right)}^{\prime }}{7x^8}}\\ =-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4.2x}{x^4}}-{\displaystyle \frac{5.3x^2}{x^6}}+{\displaystyle \frac{6.4x^3}{7x^8}}\\ =-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{8}{x^3}}-{\displaystyle \frac{15}{x^4}}+{\displaystyle \frac{24}{7x^5}}\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(3x^2-6x+7\right)}^{\prime }.4x-\left(3x^2-6x+7\right).{\left(4x\right)}^{\prime }}{{\left(4x\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{\left(6x-6\right).4x-4\left(3x^2-6x+7\right)}{16x^2}}\\ ={\displaystyle \frac{24x^2-24x-12x^2+24x-28}{16x^2}}\\ ={\displaystyle \frac{12x^2-28}{16x^2}}={\displaystyle \frac{3x^2-7}{4x^2}}\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{4x}}\\ y^{\prime }={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)}^{\prime }-{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{\prime }+{\left({\displaystyle \frac{7}{4x}}\right)}^{\prime }\\ ={\displaystyle \frac{3}{4}}-0-{\displaystyle \frac{7}{4x^2}}\\ ={\displaystyle \frac{3x^2-7}{4x^2}}\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left({\displaystyle \frac{2}{x}}+3x\right)}^{\prime }\left(\sqrt{x}-1\right)+\left({\displaystyle \frac{2}{x}}+3x\right){\left(\sqrt{x}-1\right)}^{\prime }\\ =\left(-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)+\left({\displaystyle \frac{2}{x}}+3x\right).{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\\ ={\displaystyle \frac{-2}{x\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+3\sqrt{x}-3+{\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{x}\\ ={\displaystyle \frac{-1}{x\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{9\sqrt{x}}{2}}-3\end{array}$

e)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^{\prime }\left(1-\sqrt{x}\right)-\left(1+\sqrt{x}\right){\left(1-\sqrt{x}\right)}^{\prime }}{{\left(1-\sqrt{x}\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\left(1-\sqrt{x}\right)+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\left(1+\sqrt{x}\right)}{{\left(1-\sqrt{x}\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}{\left(1-\sqrt{x}\right)}^2}}\end{array}$

f)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(-x^2+7x+5\right)}^{\prime }\left(x^2-3x\right)-\left(-x^2+7x+5\right){\left(x^2-3x\right)}^{\prime }}{{\left(x^2-3x\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{\left(-2x+7\right)\left(x^2-3x\right)-\left(2x-3\right)\left(-x^2+7x+5\right)}{{\left(x^2-3x\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{-2x^3+13x^2-21x+2x^3-17x^2+11x+15}{{\left(x^2-3x\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{-4x^2-10x+15}{{\left(x^2-3x\right)}^2}}\end{array}$

Bài 2 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=2\sqrt{x}\mathrm{sinx}-\frac{\cos x}{x}$;

b) ${\displaystyle y=\frac{3\cos x}{2x+1}}$;

c) ${\displaystyle y=\frac{t^2+2\cos t}{\sin t}}$;

d) $y=\frac{2\cos \phi -\sin \phi }{3\sin \phi +\cos \phi }$;

e) $y=\frac{\tan x}{\sin x+2}$;

f) ${\displaystyle y=\frac{\cot x}{2\sqrt{x}-1}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải:

a)

$y^{\prime }={\left(2\sqrt{x}\mathrm{sinx}-\frac{\cos x}{x}\right)}^{\prime }$

$\begin{array}{l}=2{\left(\sqrt{x}\sin x\right)}^{\prime }-{\left({\displaystyle \frac{\cos x}{x}}\right)}^{\prime }\\ =2\left[{\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }\sin x+\sqrt{x}.{\left(\sin x\right)}^{\prime }\right]-{\displaystyle \frac{{\left(\cos x\right)}^{\prime }.x-x^{\prime }\cos x}{x^2}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =2\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin x+2\sqrt{x}\cos x-\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{x}\sin x}{x}}+2\sqrt{x}\cos x+\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}\\ & =\frac{x\sqrt{x}\sin x+2x^2\sqrt{x}\cos x+x\sin x+\cos x}{x^2}\\ & =\frac{x(\sqrt{x}+1)\sin x+(2x^2\sqrt{x}+1)cosx}{x^2}\end{array}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}b)y^{\prime }={\displaystyle \frac{3{\left(\cos x\right)}^{\prime }\left(2x+1\right)-3\cos x{\left(2x+1\right)}^{\prime }}{{\left(2x+1\right)}^2}} \\ ={\displaystyle \frac{-3\sin x\left(2x+1\right)-2.3\cos x}{{\left(2x+1\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{-6x\sin x-3\sin x-6\cos x}{{\left(2x+1\right)}^2}}\end{array} \end{gathered}$$

c)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }=\frac{\left(2t-2\sin t\right)\sin t-\cos t(t^2+2\cos t)}{{\sin }^{2}t}\\ =\frac{2t\sin t-2{\sin }^{2}t-t^2\cos t-2{\cos }^{2}t}{{\sin }^{2}t}\\ =\frac{2t\sin t-t^2\cos t-2\left({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t\right)}{{\sin }^{2}t}\\ =\frac{2t\sin t-t^2\cos t-2}{{\sin }^{2}t}\end{array}$

d)

Đặt 

$\{\begin{array}{l}u=2\cos \phi -\sin \phi \\ v=3\sin \phi +\cos \phi \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{u}^{\prime }=-2\sin \phi -\cos \phi \\ v^{\prime }=3\cos \phi -\sin \phi \end{array}$

Ta có: 

$y=\frac{u}{v}\Rightarrow y^{\prime }={\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{{}^{{}^{\prime }}}$ = ${\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$

Mà:

$\begin{array}{l}{u}^{\prime }v-v^{\prime }u=\left(-2\sin \phi -\cos \phi \right).\left(3\sin \phi +\cos \phi \right)-\\ \left(3\cos \phi -\sin \phi \right).\left(2\cos \phi -\sin \phi \right)\\ =-6{\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi -5\sin \phi .\cos \phi -\\ \left({\sin }^2\phi +6{\cos }^2\phi -5\sin \phi .\cos \phi \right)\\ =-6{\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi -6{\cos }^2\phi \\ =-7{\sin }^2\phi -7{\cos }^2\phi \\ =-7\left({\sin }^2\phi +{\cos }^2\phi \right)\\ =-7.\end{array}$

$\Rightarrow y^{\prime }=\frac{-7}{(3\sin \phi +\cos \phi {)}^2}$.

e)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }=\frac{{\left(\tan x\right)}^{\prime }\left(\sin x+2\right)-\tan x{\left(\sin x+2\right)}^{\prime }}{{\left(\sin x+2\right)}^2}\\ =\frac{\frac{1}{{\cos }^{2}x}\left(\sin x+2\right)-\tan x\cos x}{{\left(\sin x+2\right)}^2}\\ =\frac{\frac{\sin x+2}{{\cos }^{2}x}-\frac{\sin x}{\cos x}.\cos x}{{\left(\sin x+2\right)}^2}\\ =\frac{\sin x+2-\sin x{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x{\left(\sin x+2\right)}^2}\\ =\frac{\sin x\left(1-{\cos }^{2}x\right)+2}{{\cos }^{2}x{\left(\sin x+2\right)}^2}\\ =\frac{\sin x.{\sin }^{2}x+2}{{\cos }^{2}x{\left(\sin x+2\right)}^2}\\ =\frac{{\sin }^{3}x+2}{{\cos }^{2}x{\left(\sin x+2\right)}^2}\end{array}$

f)

$$\begin{gathered} y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(\cot x\right)}^{\prime }\left(2\sqrt{x}-1\right)-\cot x{\left(2\sqrt{x}-1\right)}^{\prime }}{{\left(2\sqrt{x}-1\right)}^2}} \\ ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{-1}{{\sin }^{2}x}}\left(2\sqrt{x}-1\right)-\cot x.{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}}{{\left(2\sqrt{x}-1\right)}^2}} \end{gathered}$$

Bài 3 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11 :Cho hàm số $f(x)=\sqrt{1+x}$. Tính $f(3)+(x-3)f^{\prime }(3)$.

Phương pháp giải:

Tính $f^{\text{'}}\left(x\right)$  theo công thức đạo hàm hàm số căn ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{2\sqrt{u}}$.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f(3)=\sqrt{1+3}=2\\ & f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{{\left(1+x\right)}^{\prime }}{2\sqrt{1+x}}}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\\ & \Rightarrow f^{\prime }(3)=\frac{1}{2\sqrt{1+3}}=\frac{1}{4}\end{array}$

Suy ra: $f(3)+(x-3)f^{\prime }(3)=2+\frac{x-3}{4}=\frac{5+x}{4}$.

Bài 4 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11: Cho hai hàm số $f(x)=\tan x$ và $g(x)=\frac{1}{1-x}$ . Tính $\frac{f^{\prime }(0)}{g^{\prime }(0)}$.

Phương pháp giải:

Tính $f^{\text{'}}\left(0\right)$ và $g^{\text{'}}\left(0\right)$ sau đó thực hiện phép chia.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\Rightarrow f^{\prime }(0)=\frac{1}{{\cos }^{2}0}=1\\ & g^{\prime }(0)=-\frac{(1-x{)}^{\prime }}{{(1-x)}^2}=\frac{1}{{(1-x)}^2}\\ & \Rightarrow g^{\prime }(0)=\frac{1}{{(1-0)}^2}=1\\ & \Rightarrow \frac{f^{\prime }(0)}{g^{\prime }(0)}=1\end{array}$

Bài 5 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11: Giải phương trình ${\displaystyle f^{\prime }(x)=0}$, biết rằng: ${\displaystyle f(x)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{x^3}+5}$.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)$ và giải phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)={\left(3x\right)}^{\prime }+{\left(\frac{60}{x}\right)}^{\prime }-{\left(\frac{64}{x^3}\right)}^{\prime }+{\left(5\right)}^{\prime }\\ & =3+\frac{-60.1}{x^2}-\frac{-64{\left(x^3\right)}^{\prime }}{x^6}\\ & =3-\frac{60}{x^2}+\frac{64.3x^2}{x^6}\\ & =3-\frac{60}{x^2}+\frac{192}{x^4}\\ & =\frac{3x^4-60x^2+192}{x^4}\end{array}$

Vậy:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=0\iff 3x^4-60x^2+192=0(x\ne 0)\\ & \iff [\begin{array}{c}{x}^2=16\hfill \\ x^2=4\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\pm 4\hfill \\ x=\pm 2\hfill \end{array}\text{ thỏa mãn }\end{array}$

Bài 6 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11: Cho ${\displaystyle f_1\left(x\right)=\frac{\cos x}{x};f_2\left(x\right)=x\sin x}$. Tính ${\displaystyle \frac{{f_1}^{\prime }(1)}{{f_2}^{\prime }(1)}}$.

Phương pháp giải:

Tính $f_1^{\text{'}}\left(1\right);f_2^{\text{'}}\left(1\right)$ sau đó tính thương.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{f_1}^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\left(\cos x\right)}^{\prime }.x-x^{\prime }\cos x}{x^2}}\\ ={\displaystyle \frac{-x\sin x-\cos x}{x^2}}\\ \Rightarrow {f_1}^{\prime }\left(1\right)={\displaystyle \frac{-1.\sin 1-\cos 1}{1}}\\ =-\sin 1-\cos 1\\ {f_2}^{\prime }\left(x\right)=x^{\prime }\sin x+x{\left(\sin x\right)}^{\prime }\\ =\sin x+x\cos x\\ \Rightarrow {f_2}^{\prime }\left(1\right)=\sin 1+\cos 1\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{{f_1}^{\prime }\left(1\right)}{{f_2}^{\prime }\left(1\right)}}={\displaystyle \frac{-\sin 1-\cos 1}{\sin 1+\cos 1}}\\ ={\displaystyle \frac{-\left(\sin 1+\cos 1\right)}{\sin 1+\cos 1}}=-1\end{array}$

Bài 7 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11: Viết phương trình tiếp tuyến:

a) Của hypebol $y=\frac{x+1}{x-1}$ tại $A(2,3)$;

b) Của đường cong $y=x^3+4x^2–1$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$;

c) Của parabol $y=x^2–4x+4$ tại điểm có tung độ $y_0=1$.

Phương pháp giải:

a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

c)

Từ $y_0=1$ tính được các giá trị của hoành độ $x_0$.

Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x_0$: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

Lời giải:

a)

Ta có: $y^{\prime }=f^{\prime }(x)=\frac{-2}{{(x-1)}^2}\Rightarrow f^{\prime }(2)=\frac{-2}{{(2-1)}^2}=-2$

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y=-2\left(x-2\right)+3=-2x+7$

b)

Ta có: $y^{\prime }=f^{\prime }(x)=3x^2+8x\Rightarrow f^{\prime }(-1)=3–8=-5$

Mặt khác: $x_0=-1\Rightarrow y_0=-1+4–1=2$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y–2=-5(x+1)\iff y=-5x–3$

c)

Ta có:

$y_0=1\Rightarrow 1=x_0^2-4x_0+4\Rightarrow x_0^2–4x_0+3=0$

$\iff [\begin{array}{l}{x}_0=1\\ x_0=3\end{array}$

$f^{\prime }(x)=2x–4\Rightarrow f^{\prime }(1)=-2$ và $f^{\prime }(3)=2$

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:

$y–1=-2(x–1)\iff y=-2x+3$

$y–1=2(x–3)\iff y=2x–5$.

Bài 8 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S=t^3-3t^2-9t$, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của chuyển động khi $t=2s$;

b) Tính gia tốc của chuyển động khi $t=3s$;

c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu;

d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức $v(t)=S^{\prime }(t)$, $a(t)=v^{\prime }(t)$.

b) Sử dụng công thức $v(t)=S^{\prime }(t)$, $a(t)=v^{\prime }(t)$.

c) Sử dụng công thức $v(t)=S^{\prime }(t)$, $a(t)=v^{\prime }(t)$.

d) Sử dụng công thức $v(t)=S^{\prime }(t)$, $a(t)=v^{\prime }(t)$.

Lời giải:

a)

Vận tốc của chuyển động khi $t=2$ (s).

Ta có: $v=S^{\prime }=3t^2-6t-9$

Khi $t=2(s)\Rightarrow v(2)={3.2}^2–6.2–9=-9m/s$.

b)

Gia tốc của chuyển động khi $t=3(s)$. Ta có: $a=v^{\prime }=6t-6$

Khi $t=3(s)\Rightarrow a(3)=6.3–6=12m/s^2$.

c)

Ta có: $v=3t^2–6t–9$

Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu:

$\begin{array}{rl}& v=0\iff 3t^2-6t-9=0\iff t^2-2t-3=0\\ & \iff [\begin{array}{c}t=-1(l)\hfill \\ t=3(s)\hfill \end{array}\end{array}$ 

Khi $t=3\Rightarrow a\left(3\right)=6.3-6=12\left(m/s^2\right)$.

d)

Gia tốc: $a=6t–6$

Khi $a=0\iff 6t–6=0\iff t=1(s)$

Khi $t=1(s)\Rightarrow v(1)={3.1}^2–6.1–9=-12m/s$.

Bài 9 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11: Cho hai hàm số: $y=\frac{1}{x\sqrt{2}};y=\frac{x^2}{\sqrt{2}}$ . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

Phương pháp giải:

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm, xác định hoành độ giao điểm.

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

+) Nhận xét về các hệ số góc của hai tiếp tuyến trên.

Lời giải:

$C_1:y=f(x)=\frac{1}{x\sqrt{2}}\Rightarrow f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2\sqrt{2}}$

$C_2:y=g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2}}\Rightarrow g^{\prime }(x)=\frac{2x}{\sqrt{2}}=x\sqrt{2}$

Phương trình hoành độ giao điểm của $C_1$ và $C_2$ là:

$\frac{1}{x\sqrt{2}}=\frac{x^2}{\sqrt{2}}\iff \{\begin{array}{c}x\ne 0\hfill \\ x^3=1\hfill \end{array}\iff x=1\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy giao điểm của $C_1$ và $C_2$ là $A(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$

+) Phương trình tiếp tuyến của $C_1$ tại điểm A là:

$\begin{array}{rl}& y-\frac{\sqrt{2}}{2}=f^{\prime }(1)(x-1)\\ & \iff y-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1)\\ & \iff y=-\frac{x}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\end{array}$

Tiếp tuyến này có hệ số góc $k_1=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

+) Phương trình tiếp tuyến của $C_2$ tại điểm $A$ là:

$\begin{array}{rl}& y-\frac{\sqrt{2}}{2}=g^{\prime }(1)(x-1)\iff y-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(x-1)\\ & \iff y=x\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Tiếp tuyến này có hệ số góc $k_2=\sqrt{2}$

+) Ta có: $k_1.k_2=(-\frac{1}{\sqrt{2}})(\sqrt{2})=-1$

⇒ Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau

⇒ góc giữa hai tiếp tuyến bằng ${90}^0$.

Bài 10 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11: Với $g(x)=\frac{x^2-2x+5}{x-1}$; $g^{\prime }(2)$ bằng:

A. $1$                                    B. $-3$

C. $-5$                                 D. $0$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm của thương.

Lời giải:

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\left(x^2-2x+5\right)}^{\prime }\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+5\right){\left(x-1\right)}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+5\right)}{{\left(x-1\right)}^2}}\\ g^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-4x+2-x^2+2x-5}{{\left(x-1\right)}^2}}\\ g^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}}\\ \Rightarrow g^{\prime }\left(2\right)={\displaystyle \frac{2^2-2.2-3}{{\left(2-1\right)}^2}}=-3\end{array}$

Chọn đáp án B.

Bài 11 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11: Nếu $f(x)=si{n}^{3}x+x^2$ thì $f^{″}(\frac{-\pi }{2})$ bằng:

A. $0$                       B. $1$

C. $-2$                    D. $5$

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left(x\right)$ sau đó tính $f^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=3{\sin }^{2}x\cos x+2x\\ \Rightarrow f^{″}(x)=3[2\sin x.\cos x.\cos x+{\sin }^{2}x.(-\sin x)]+2\\ =3(2\sin x.{\cos }^{2}x+{\sin }^{3}x)\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(-\frac{\pi }{2}\right)=3.\left[2\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right).{\cos }^2\left(-\frac{\pi }{2}\right)+{\sin }^3\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right]+2\\ =3.1+2=5.\end{array}$

Chọn đáp án D.

Bài 12 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11: Giả sử $h(x)=5(x+1{)}^3+4(x+1)$. Tập nghiệm của phương trình $h^{″}(x)=0$ là:

A. $[-1,2]$                            B. $(-\infty ,0]$

C. $\{-1\}$                             D. $Ø$

Phương pháp giải:

Tính $h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$  và giải phương trình $h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=0$.

Lời giải:

Ta có:

$h^{\prime }(x)=15(x+1{)}^2+4$

$\Rightarrow h^{″}(x)=30(x+1)$

Vậy $h^{″}(x)=0\iff x+1=0\iff x=-1$

Chọn đáp án C.

Bài 13 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11: Cho $f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x$.Tập nghiệm của bất phương trình $f^{\prime }(x)\le 0$

A. $Ø$                                   B. $(0,+\infty )$

C. $[-2,2]$                          D. $(-\infty ,+\infty )$

Phương pháp giải:

Tính $f^{\text{'}}\left(x\right)$  và giải bất phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ , sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=x^2+x+1\\ & f^{\prime }(x)=x^2+x+1\le 0\\ & \iff (x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}\le 0(\ast )\end{array}$

Bất phương trình (*) vô nghiệm vì vế trái dương $\forall x\in \mathbb{R}$.

Chọn đáp án A.