Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

587

Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

A. Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

     (ảnh 1)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và kí hiệu là f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là

     (ảnh 2)

Chú ý:

    Đại lượng Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.

    Đại lượng Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy

 (ảnh 3)

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

    Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x0, tính Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).

 (ảnh 4)

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1

    Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.

Chú ý:

    a) Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0.

    b) Nếu y = f(x) liên tục tại x0 thì có thể không có đạo hàm tại x0.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 2

    Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).

Định lí 3

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là

        y – y0 = f’(x0)(x – x0)

    trong đó y0 = f(x0).

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Vận tốc tức thời: v(t0) = s’(t0).

Cường độ tức thời: I(t0) = Q’(t0).

II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa

    Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

    Khi đó, ta gọi hàm số f’: (a; b) → R

    x → f’(x)

    là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

B. Bài tập Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Câu 1: Cho hàm số fx=xkhix>1x2khix1 . Tính f'1 ?

A. 12

B. 1

C. 2

D. không tồn tại.

Đáp án: D

Câu 2ho hàm số 2x+3 khi x1x3+2x27x+4x1 khi x<1. Giá trị của f'1 bằng:

A. 0

B. 4

C. 5

D. không tồn tại

Đáp án: D

Câu 3: Khi tính đạo hàm của hàm số fx=x2+5x3 tại điểm x0 = 2, một học sinh đã tính theo các bước sau:

Bước 1: fx  f2 = fx  11

Bước 2: fx  f2x2=x2+5x311x2=(x2)(x+7)x2=x+7

Bước 3: limx2 fx  f2x2= limx2(x+7)=9  f'2=9

Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?

A. Bước 1

B. Bước 2

C. Bước 3

D. Tính toán đúng

Đáp án: D

Câu 4: Cho hàm số fx liên tục tại x0. Đạo hàm của fx tại x0 là

A. fx0 

B. f(x0+h)f(x0)h

C. limh0f(x0+h)f(x0)h (nếu tồn tại giới hạn).

D. limh0f(x0+h)f(x0h)h (nếu tồn tại giới hạn).

Đáp án: C

Câu 5: Cho hàm số fx=x+1. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = 1 

A. 24

B. 22

C. 22

D. 23

Đáp án: A

Câu 6: Cho hàm số f(x) là hàm số trên R định bởi f(x)=x2 và x0R. Chọn câu đúng

A. f'x0=x0 

B. f'x0=x02

C. f'x0=2x0

D. f'x0 không tồn tại.

Đáp án: C

Câu 7: Cho hàm số fx=34x   khi  x01                                          khi  x=0 . Khi đó f' 0  là kết quả nào sau đây?

A. 14

B. 116

C. 12

D. 2

Đáp án: A

Câu 8: Cho hàm số f(x)=34x4khix014khix=0.Tính f' 0 .

A. f'0=14. 

B.  f'0=116.

C. f'0=132. 

D.   Không tồn tại

Đáp án: B

Câu 9: Cho hàm số fx xác định trên 0;+ bởi f(x)=1x. Đạo hàm của f(x) tại x0=2 là

A. 12

B. 12

C. 12

D. 12

Đáp án: B

Câu 10: Tính tỷ số ΔyΔx của hàm số y=2x3 theo x và Δx.

A. ΔyΔx=2x32Δx3Δx.

B. ΔyΔx=2Δx2.

C. ΔyΔx=6x2+6xΔx+2Δx2.

D. ΔyΔx=3x2+3xΔx+Δx2.

Đáp án: C

Câu 11. Tính tỷ số ΔyΔx của hàm số y=1x theo x và Δx.

A. ΔyΔx=1xx+Δx.

B. ΔyΔx=1xx+Δx.

C. ΔyΔx=1x+Δx.

D. ΔyΔx=1x+Δx.

Đáp án: B

Câu 12: Cho hàm số fx=x21khix0x2khix<0. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số không liên tục tại x=0.

B. Hàm số có đạo hàm tại x=2

C. Hàm số liên tục tại x=2

D. Hàm số có đạo hàm tại x=0

Đáp án: D

Câu 13: Cho hàm số fx=xx1x2...x1000. Tính f'(0)?

A. 10000! 

B. 1000!

C. 1100!

D. 1110!

Đáp án: B

Câu 14: Cho hàm số fx=x34x2+3xx23x+2 khi x10 khi x=1 . Giá trị của f'1  bằng:

A. 2

B. 1

C. 0

D. không tồn tại.

Đáp án: D

Câu 15: Cho hàm số fx=x24x+3x23x+2khix10khix=1 . Giá trị của f'(1) bằng:

A. 2

B. 1

C. 0

D. không tồn tại

Đáp án: D

Câu 16: Cho hàm số y=fx xác định: x2+11xkhx0 0khix=0. Giá trị của f'0 bằng:

A. 12

B. 12

C. 2

D. không tồn tại.

Đáp án: A

Câu 17: Cho hàm số fx=xxkhix00khix=0 . Xét hai mệnh đề sau:

(I) Hàm số có đạo hàm tại x0=0 và f'0 = 1

(II) Hàm số không có đạo hàm tại x0=0.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Cả 2 đều đúng

D. Cả 2 đều sai.

Đáp án: B

Câu 18: Xét hai mệnh đề:

(I) f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0

(II) f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I) 

B. Chỉ (II)

C. Cả hai đều sai

D. Cả 2 đều đúng.

Đáp án: A

Câu 19: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu hàm số y=f(x) không liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó

B. Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó không liên tục tại  điểm đó

C. Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó

D. Nếu hàm số y=f(x) liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó

Đáp án: C

Câu 20: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai?

ĐẠI SỐ 11 (ảnh 5)

A. Hàm số có đạo hàm tại x=0.

B. Hàm số có đạo hàm tại x=1.

C. Hàm số có đạo hàm tại x=2.

D. Hàm số có đạo hàm tại x=3.

Đáp án: B

Câu 21: Tìm a để hàm số f(x)=x21x1khix1akhix=1có đạo hàm tại x=1.

A. a=2

B. a=2

C. a=1

D. a=12

Đáp án: B

Câu 22. Cho hàm số fx=x2x, đạo hàm của hàm số ứng với số gia Δxcủa đối số x tại x0 là

A. limΔx0Δx2+2xΔxΔx.                       

B. limΔx0Δx+2x1.

C.  limΔx0Δx+2x+1.                                 

D. limΔx0Δx2+2xΔx+Δx.

Đáp án: B

Câu 23: Tìm a,b để hàm fx=ax2+bx+1  khi   x0asinx+bcosx   khi  x<0 có đạo hàm tại điểm x0=0.

A. a=1, b=1

B. a=1, b=1

C. a=1, b=1

D. a=0, b=1

Đáp án: A

Câu 24: Xét hai hàm số: I: fx=xx,   II: gx=x. Hàm số có đạo hàm tại x=0 là:

A. Chỉ I

B. Chỉ II

C. Cả I và II       

D. Không có hàm số nào

Đáp án: A

Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số f(x)=x32x2+x+11x1  khi  x10                            khi x=1 tại điểm x0=1.

A. 13

B. 15

C. 12

D. 14

Đáp án: C

Câu 26. Cho hàm số fx=x2+x. Xét hai câu sau:

(1). Hàm số trên có đạo hàm tại x = 1

(2). Hàm số trên liên tục tại x=0.

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (1) đúng.

B. Chỉ có (2) đúng.

C. Cả hai đều đúng. 

D. Cả hai đều sai.

Đáp án: B

Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số tại f(x)=sin2xx khi x>0x+x2 khi x0 tại x0=0

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Đáp án: A

Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số y=x3+x tại x = 1

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án: D

Câu 29: Cho hàm số fx=4x2+838x2+4xkhix00khix=0. Giá trị của f'0 bằng:

A. 13

B. 53

C. 34

D. không tồn tại

Đáp án: B

Câu 30. Cho hàm số fx=x2+x+1x . Tính đạo hàm của hàm số tại x0=1.

A. 2

B. 1

C. 0

D. Không tồn tại.

Đáp án: D

Câu 31. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 là f'(x0) . Khẳng định nào sau đây sai?

ĐẠI SỐ 11 (ảnh 3)

Đáp án: D

Câu 32. Số gia của hàm số f(x) = x3 ứng với x0 = 2 và Δx = 1 bằng bao nhiêu?

A. -19

B. 7

C. 19

D. - 7

Đáp án: C

Câu 33: Tỉ số ĐẠI SỐ 11 (ảnh 4) của hàm số f(x) = 2x.( x - 1) theo x và Δx là

A. 4x + 2Δ + 2

B. 4x + 2(Δ)2 + 2

C. 4x + 2Δ - 2

D. 4x.Δx + 2(Δ)2 - 2Δx

Đáp án: C

Câu 34: Số gia của hàm số f(x) = x2/2 ứng với số gia Δx của đối số x tại x0 = -1 là

ĐẠI SỐ 11 (ảnh 2)

Đáp án: A

Câu 35: Tính đạo hàm của hàm số ĐẠI SỐ 11 (ảnh 1) tại điểm x0 = 1.

A. 1/3

B. 1/5

C. 1/2

D. 1/4

Đáp án: C

Đánh giá

0

0 đánh giá