Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

A. Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ và kí hiệu là f’(x₀) (hoặc y’(x₀)), tức là

Chú ý:

    Đại lượng Δx = x – x₀ gọi là số gia của đối số x tại x₀.

    Đại lượng Δy = f(x) – f(x₀) = f(x₀ + Δx) – f(x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

    Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x₀, tính Δy = f(x₀ + Δx) – f(x₀).

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1

    Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại x₀.

Chú ý:

    a) Nếu y = f(x) gián đoạn tại x₀ thì nó không có đạo hàm tại x₀.

    b) Nếu y = f(x) liên tục tại x₀ thì có thể không có đạo hàm tại x₀.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 2

    Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của đồ thị hàm số tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

Định lí 3

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là

        y – y₀ = f’(x₀)(x – x₀)

    trong đó y₀ = f(x₀).

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Vận tốc tức thời: v(t₀) = s’(t₀).

Cường độ tức thời: I(t₀) = Q’(t₀).

II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa

    Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

    Khi đó, ta gọi hàm số f’: (a; b) → R

    x → f’(x)

    là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

B. Bài tập Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Câu 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}khix>1\\ x^{2}khix\le 1\end{array}\right.$ . Tính $f\text{'}\left(1\right)$ ?

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. 2

D. không tồn tại.

Đáp án: D

Câu 2ho hàm số $\left\{\begin{array}{l}2x+3 khi x\ge 1\\ \frac{x^3+2x^2-7x+4}{x-1} khi x<1\end{array}\right.$. Giá trị của $f\text{'}\left(1\right)$ bằng:

A. 0

B. 4

C. 5

D. không tồn tại

Đáp án: D

Câu 3: Khi tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2+5x-3$ tại điểm $x_0=2$, một học sinh đã tính theo các bước sau:

Bước 1: $f\left(x\right)-f\left(2\right)=f\left(x\right)-11$

Bước 2: $\begin{array}{l}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}\\ =\frac{x^2+5x-3-11}{x-2}\\ =\frac{(x-2)(x+7)}{x-2}=x+7\end{array}$

Bước 3: $\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}\\ =\underset{x\to 2}{\lim }(x+7)=9\\ \Rightarrow f\text{'}\left(2\right)=9\end{array}$

Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?

A. Bước 1

B. Bước 2

C. Bước 3

D. Tính toán đúng

Đáp án: D

Câu 4: Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục tại $x_0$. Đạo hàm của $f\left(x\right)$ tại $x_0$ là

A. $f\left(x_0\right)$ 

B. $\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}$

C. $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).

D. $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).

Đáp án: C

Câu 5: Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}$. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0=1$ 

A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $2\sqrt{2}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Đáp án: A

Câu 6: Cho hàm số $f\left(x\right)$ là hàm số trên R định bởi $f\left(x\right)=x^2$ và $x_0\in R$. Chọn câu đúng

A. $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=x_0$ 

B. $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=x_0^2$

C. $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=2x_0$

D. $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ không tồn tại.

Đáp án: C

Câu 7: Cho hàm số $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=3-\sqrt{4-x}khix\ne 0\\ 1khix=0\end{array}\right.$ . Khi đó $f\text{'}\left(0\right)$ là kết quả nào sau đây?

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{16}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 2

Đáp án: A

Câu 8: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3-\sqrt{4-x}}{4}khix\ne 0\\ \frac{1}{4}khix=0\end{array}\right..$Tính $f\text{'}\left(0\right)$.

A. $f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{4}.$ 

B.  $f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{16}.$

C. $f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{32}.$ 

D.   Không tồn tại

Đáp án: B

Câu 9: Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên $\left(0;+\infty \right)$ bởi $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$. Đạo hàm của $f\left(x\right)$ tại $x_0=\sqrt{2}$ là

A. $\frac{1}{2}$

B. $-\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

D. $-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Đáp án: B

Câu 10: Tính tỷ số $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}$ của hàm số $y=2x^3$ theo x và $\text{Δ}x$.

A. $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{2x^3-2{\left(\text{Δ}x\right)}^3}{\text{Δ}x}.$

B. $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=2{\left(\text{Δ}x\right)}^2.$

C. $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=6x^2+6x\text{Δ}x+2{\left(\text{Δ}x\right)}^2.$

D. $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=3x^2+3x\text{Δ}x+{\left(\text{Δ}x\right)}^2.$

Đáp án: C

Câu 11. Tính tỷ số $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}$ của hàm số $y=\frac{1}{x}$ theo x và $\Delta x$.

A. $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{1}{x\left(x+\text{Δ}x\right)}.$

B. $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=-\frac{1}{x\left(x+\text{Δ}x\right)}.$

C. $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=-\frac{1}{x+\text{Δ}x}.$

D. $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{1}{x+\text{Δ}x}.$

Đáp án: B

Câu 12: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2-1khix\ge 0\\ -x^{2}khix<0\end{array}\right.$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số không liên tục tại $x=0$.

B. Hàm số có đạo hàm tại $x=2$

C. Hàm số liên tục tại $x=2$

D. Hàm số có đạo hàm tại $x=0$

Đáp án: D

Câu 13: Cho hàm số $f\left(x\right)=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\mathrm{...}\left(x-1000\right)$. Tính $f\text{'}\left(0\right)$?

A. $10000!$ 

B. $1000!$

C. $1100!$

D. $1110!$

Đáp án: B

Câu 14: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3-4x^2+3x}{x^2-3x+2} khi x\ne 1\\ 0 khi x=1\end{array}\right.$ . Giá trị của $f\text{'}\left(1\right)$ bằng:

A. 2

B. 1

C. 0

D. không tồn tại.

Đáp án: D

Câu 15: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}khix\ne 1\\ 0khix=1\end{array}\right.$ . Giá trị của $f\text{'}\left(1\right)$ bằng:

A. 2

B. 1

C. 0

D. không tồn tại

Đáp án: D

Câu 16: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định: $\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}kh\text{i }x\ne 0\\ 0khix=0\end{array}\right.$. Giá trị của $f\text{'}\left(0\right)$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $-\frac{1}{2}$

C. $-2$

D. không tồn tại.

Đáp án: A

Câu 17: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x}}{x}khix\ne 0\\ 0khix=0\end{array}\right.$ . Xét hai mệnh đề sau:

(I) Hàm số có đạo hàm tại $x_0=0$ và $f\text{'}\left(0\right)=1$

(II) Hàm số không có đạo hàm tại $x_0=0$.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Cả 2 đều đúng

D. Cả 2 đều sai.

Đáp án: B

Câu 18: Xét hai mệnh đề:

(I) $f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f\left(x\right)$ liên tục tại $x_0$

(II) $f\left(x\right)$ liên tục tại $x_0$ thì $f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0$

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I) 

B. Chỉ (II)

C. Cả hai đều sai

D. Cả 2 đều đúng.

Đáp án: A

Câu 19: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ không liên tục tại $x_0$ thì nó có đạo hàm tại điểm đó

B. Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì nó không liên tục tại  điểm đó

C. Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại điểm đó

D. Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục tại $x_0$ thì nó có đạo hàm tại điểm đó

Đáp án: C

Câu 20: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số có đạo hàm tại $x=0.$

B. Hàm số có đạo hàm tại $x=1.$

C. Hàm số có đạo hàm tại $x=2.$

D. Hàm số có đạo hàm tại $x=3.$

Đáp án: B

Câu 21: Tìm a để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}khix\ne 1\\ akhix=1\end{array}\right.$có đạo hàm tại $x=1$.

A. $a=-2$

B. $a=2$

C. $a=1$

D. $a=\frac{1}{2}$

Đáp án: B

Câu 22. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2-x$, đạo hàm của hàm số ứng với số gia $\Delta x$của đối số x tại x₀ là

A. $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left({\left(\Delta x\right)}^2+2x\Delta x-\Delta x\right).$                       

B. $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\Delta x+2x-1\right).$

C.  $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\Delta x+2x+1\right).$                                 

D. $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left({\left(\Delta x\right)}^2+2x\Delta x+\Delta x\right).$

Đáp án: B

Câu 23: Tìm a,b để hàm $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}a{x}^2+bx+1khix\ge 0\\ asinx+bcosxkhix<0\end{array}\right.$ có đạo hàm tại điểm $x_0=0$.

A. $a=1, b=1$

B. $a=-1, b=1$

C. $a=-1, b=-1$

D. $a=0, b=1$

Đáp án: A

Câu 24: Xét hai hàm số: $\left(I\right): f\left(x\right)=\left|x\right|x, \left(II\right): g\left(x\right)=\sqrt{x}$. Hàm số có đạo hàm tại $x=0$ là:

A. Chỉ I

B. Chỉ II

C. Cả I và II       

D. Không có hàm số nào

Đáp án: A

Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x^3-2x^2+x+1}-1}{x-1}\text{ khi }x\ne 1\\ 0\text{ khi }x=1\end{array}\right.$ tại điểm $x_0=1$.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{4}$

Đáp án: C

Câu 26. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2+\left|x\right|$. Xét hai câu sau:

(1). Hàm số trên có đạo hàm tại x = 1

(2). Hàm số trên liên tục tại $x=0$.

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (1) đúng.

B. Chỉ có (2) đúng.

C. Cả hai đều đúng. 

D. Cả hai đều sai.

Đáp án: B

Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số tại $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sin }^{2}x}{x}\text{ khi }x>0\\ x+x^2\text{ khi }x\le 0\end{array}\right.$tại $x_0=0$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Đáp án: A

Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số $y=x^3+\text{}x$ tại x = 1

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án: D

Câu 29: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt[3]{4x^2+8}-\sqrt{8x^2+4}}{x}khix\ne 0\\ 0khix=0\end{array}\right.$. Giá trị của $f\text{'}\left(0\right)$ bằng:

A. $\frac{1}{3}$

B. $-\frac{5}{3}$

C. $\frac{3}{4}$

D. không tồn tại

Đáp án: B

Câu 30. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+\left|x+1\right|}{x}$ . Tính đạo hàm của hàm số tại $x_0=-1$.

A. 2

B. 1

C. 0

D. Không tồn tại.

Đáp án: D

Câu 31. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ là f'(x₀) . Khẳng định nào sau đây sai?

A. -19

B. 7

C. 19

D. - 7

Câu 33: Tỉ số  của hàm số f(x) = 2x.( x - 1) theo x và Δx là

A. 4x + 2Δ + 2

B. 4x + 2(Δ)² + 2

C. 4x + 2Δ - 2

D. 4x.Δx + 2(Δ)² - 2Δx

A. 1/3

B. 1/5

C. 1/2

D. 1/4

Đáp án: C