Cách 1: chuyển $\sin (\frac{\pi }{2}-x)$ thành $\cos x$ rồi tính đạo hàm.

Cách 2: Hàm hợp $y=y(u(x))$ có đạo hàm:  $y=y_u^{\prime }.u_x^{\prime }$.

$y=\tan (\frac{\pi }{2}–x)$  với $x\ne k\pi ,k\in Z$ .

Phương pháp giải:

Cách 1: Đưa về $y=\tan (\frac{\pi }{2}–x)=\cot x$ rồi tính đạo hàm.

Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp với $y=\tan u;u=\frac{\pi }{2}–x$.

Lời giải:

Cách 1:

Vì $\frac{\pi }{2}–x$ và $x$ là hai góc phụ nhau nên $\tan (\frac{\pi }{2}–x)=\cot x$

$\Rightarrow y^{\prime }={\tan }^{\prime }(\frac{\pi }{2}–x)={\cot }^{\prime }x=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$.

Cách 2:

Đặt $u=\frac{\pi }{2}-x$ thì $y=\tan u\Rightarrow y^{\prime }={\tan }^{\prime }u.u_x^{\prime }$ 

Mà ${\tan }^{\prime }u=\frac{1}{{\cos }^{2}u};u_x^{\prime }=(\frac{\pi }{2}-x{)}^{\prime }=-1.$

$\Rightarrow y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}u}.(-1)=\frac{-1}{{\cos }^{2}u}=\frac{-1}{{\cos }^2(\frac{\pi }{2}-x)}=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$ (do cos⁡($\frac{\pi }{2}-x)=sinx)$.

Bài tập trang 168, 169 SGK Toán 11

a) $y={\displaystyle \frac{x-1}{5x-2}}$;

b) $y={\displaystyle \frac{2x+3}{7-3x}}$;

c) $y={\displaystyle \frac{x^2+2x+3}{3-4x}}$;

d) $y={\displaystyle \frac{x^2+7x+3}{x^2-3x}}$.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$ với $u=x-1;v=5x-2$.

b) Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$ với $u=2x+3;v=7-3x$.

c) Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$ với $u=x^2+2x+3;v=3-4x$.

d) Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$ với $u=x^2+7x+3;v=x^2-3x$.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{x-1}{5x-2}}\\ \Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^{\prime }\left(5x-2\right)-\left(x-1\right){\left(5x-2\right)}^{\prime }}{{\left(5x-2\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{\left(5x-2\right)-5\left(x-1\right)}{{\left(5x-2\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{5x-2-5x+5}{{\left(5x-2\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{3}{{\left(5x-2\right)}^2}}\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{2x+3}{7-3x}}\\ \Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(2x+3\right)}^{\prime }\left(7-3x\right)-\left(2x+3\right){\left(7-3x\right)}^{\prime }}{{\left(7-3x\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{2\left(7-3x\right)-\left(2x+3\right)\left(-3\right)}{{\left(7-3x\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{2\left(7-3x\right)+3\left(2x+3\right)}{{\left(7-3x\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{14-6x+6x+9}{{\left(7-3x\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{23}{{\left(7-3x\right)}^2}}\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{x^2+2x+3}{3-4x}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(x^2+2x+3\right)}^{\prime }\left(3-4x\right)-\left(x^2+2x+3\right){\left(3-4x\right)}^{\prime }}{{\left(3-4x\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{\left(2x+2\right)\left(3-4x\right)-\left(x^2+2x+3\right)(-4)}{{\left(3-4x\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{6x-8x^2+6-8x+4x^2+8x+12}{{\left(3-4x\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{-4x^2+6x+18}{{\left(3-4x\right)}^2}}\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{x^2+7x+3}{x^2-3x}}\\ \Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\left(x^2+7x+3\right)}^{\prime }\left(x^2-3x\right)-\left(x^2+7x+3\right){\left(x^2-3x\right)}^{\prime }}{{\left(x^2-3x\right)}^2}}\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{\left(2x+7\right)\left(x^2-3x\right)-\left(x^2+7x+3\right)\left(2x-3\right)}{{\left(x^2-3x\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{2x^3-6x^2+7x^2-21x-2x^3-14x^2-6x+3x^2+21x+9}{{\left(x^2-3x\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{-10x^2-6x+9}{{\left(x^2-3x\right)}^2}}\end{array}$

a) ${\displaystyle y^{\prime }<0}$ với $y={\displaystyle \frac{x^2+x+2}{x-1}}$;

b) $y^{\prime }\ge 0$ với $y={\displaystyle \frac{x^2+3}{x+1}}$;

c) $y^{\prime }>0$ với $y={\displaystyle \frac{2x-1}{x^2+x+4}}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

b) Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

c) Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Lời giải:

a)

Ta có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{(x^2+x+2{)}^{\prime }.(x-1)-(x^2+x+2).(x-1{)}^{\prime }}{(x-1{)}^2}}$ 

$={\displaystyle \frac{\left(2x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x^2+x+2\right).1}{{\left(x-1\right)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{2x^2+x-2x-1-x^2-x-2}{{\left(x-1\right)}^2}}$

 $={\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}}$

Do đó, $y^{\prime }<0\iff {\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}}<0$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x^2-2x-3<0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ne 1\hfill \\ -1<x<3\hfill \end{array}$

$\iff$$x\in (-1;1)\cup (1;3)$.

b)

Ta có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{(x^2+3{)}^{\prime }.(x+1)-(x^2+3).(x+1{)}^{\prime }}{(x+1{)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{2x\left(x+1\right)-\left(x^2+3\right).1}{{\left(x+1\right)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{2x^2+2x-x^2-3}{{\left(x+1\right)}^2}}$

= ${\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}}$.

Do đó, $y^{\prime }\ge 0\iff {\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}}\ge 0$

$\iff \{\begin{array}{l}x+1\ne 0\\ x^2+2x-3\ge 0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ne -1\hfill \\ [\begin{array}{c}x\ge 1\hfill \\ x\le -3\hfill \end{array}\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 1\hfill \\ x\le -3\hfill \end{array}$

$\iff x\in (-\infty ;-3]\cup [1;+\infty )$.

c)

Ta có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{(2x-1{)}^{\prime }.(x^2+x+4)-(2x-1).(x^2+x+4{)}^{\prime }}{(x^2+x+4{)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{2\left(x^2+x+4\right)-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{{\left(x^2+x+4\right)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{2x^2+2x+8-4x^2+2x-2x+1}{{\left(x^2+x+4\right)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{-2x^2+2x+9}{(x^2+x+4{)}^2}}$.

Do đó, $y^{\prime }>0\iff {\displaystyle \frac{-2x^2+2x+9}{(x^2+x+4{)}^2}}>0\iff -2x^2+2x+9>0$$\iff {\displaystyle \frac{1-\sqrt{19}}{2}}<x<{\displaystyle \frac{1+\sqrt{19}}{2}}\iff x\in \left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{19}}{2}};{\displaystyle \frac{1+\sqrt{19}}{2}}\right)$

Vì $x^2+x+4=$ ${\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2$+ ${\displaystyle \frac{15}{4}}>0$, với $\forall x\in \mathbb{R}$.

$\begin{array}{l}a)y=\left(9-2x\right)\left(2x^3-9x^2+1\right)\\ b)y=\left(6\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)\left(7x-3\right)\\ c)y=\left(x-2\right)\sqrt{x^2+1}\\ d)y={\tan }^{2}x-\cot x^2\\ e)y=\cos {\displaystyle \frac{x}{1+x}}\end{array}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương, quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp và bảng đạo hàm cơ bản.

Lời giải:

$\begin{array}{l}a)y=\left(9-2x\right)\left(2x^3-9x^2+1\right)\\ y^{\prime }={\left(9-2x\right)}^{\prime }\left(2x^3-9x^2+1\right)\\ +\left(9-2x\right){\left(2x^3-9x^2+1\right)}^{\prime }\\ =-2\left(2x^3-9x^2+1\right)+\left(9-2x\right)\left(6x^2-18x\right)\\ =-4x^3+18x^2-2+54x^2-162x-12x^3+36x^2\\ =-16x^3+108x^2-162x-2\\ b)y=\left(6\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)\left(7x-3\right)\\ y^{\prime }={\left(6\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)}^{\prime }\left(7x-3\right)+\left(6\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right){\left(7x-3\right)}^{\prime }\\ =\left(6.{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}-{\displaystyle \frac{-{\left(x^2\right)}^{\prime }}{{\left(x^2\right)}^2}}\right)\left(7x-3\right)+\left(6\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right).7\\ =\left({\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{2x}{x^4}}\right)\left(7x-3\right)+7\left(6\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)\\ =\left({\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}}\right)\left(7x-3\right)+7\left(6\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)\\ =21\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{9}{\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{14}{x^2}}-{\displaystyle \frac{6}{x^3}}+42\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{7}{x^2}}\\ ={\displaystyle \frac{-6}{x^3}}+{\displaystyle \frac{7}{x^2}}+63\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{9}{\sqrt{x}}}\\ c)y=\left(x-2\right)\sqrt{x^2+1}\\ y^{\prime }={\left(x-2\right)}^{\prime }\sqrt{x^2+1}+\left(x-2\right){\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }\\ =1.\sqrt{x^2+1}+\left(x-2\right).{\displaystyle \frac{{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+1}}}\\ =\sqrt{x^2+1}+\left(x-2\right).{\displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}\\ =\sqrt{x^2+1}+\left(x-2\right){\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\\ ={\displaystyle \frac{x^2+1+x^2-2x}{\sqrt{x^2+1}}}\\ ={\displaystyle \frac{2x^2-2x+1}{\sqrt{x^2+1}}}\\ d)y={\tan }^{2}x-\cot x^2\\ y^{\prime }={\left({\tan }^{2}x\right)}^{\prime }-{\left(\cot x^2\right)}^{\prime }\\ =2\tan x.{\left(\tan x\right)}^{\prime }-{\left(x^2\right)}^{\prime }.{\displaystyle \frac{-1}{{\sin }^2{x}^2}}\\ =2\tan x.{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}+{\displaystyle \frac{2x}{{\sin }^2{x}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}}+{\displaystyle \frac{2x}{{\sin }^2{x}^2}}\\ e)y=\cos {\displaystyle \frac{x}{1+x}}\\ y^{\prime }={\left({\displaystyle \frac{x}{x+1}}\right)}^{\prime }.\left(-\sin {\displaystyle \frac{x}{x+1}}\right)\\ =-\sin \left({\displaystyle \frac{x}{1+x}}\right).{\displaystyle \frac{{\left(x\right)}^{\prime }\left(1+x\right)-x.{\left(1+x\right)}^{\prime }}{{\left(1+x\right)}^2}}\\ =-\sin {\displaystyle \frac{x}{1+x}}.\left({\displaystyle \frac{1+x-x}{{\left(1+x\right)}^2}}\right)\\ =-{\displaystyle \frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}}.\sin {\displaystyle \frac{x}{1+x}}\end{array}$

+) Tính $f^{\prime }(x)$ và ${\phi }^{\prime }\left(x\right)$

+) Suy ra $f^{\prime }(1)$ và ${\phi }^{\prime }\left(1\right)$ và ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(1)}{{\phi }^{\prime }(1)}}$.

a) ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x+3{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x$;

b) ${\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-x\right)+{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+x\right)+{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-x\right)$ $+{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+x\right)-2{\sin }^{2}x$.

Phương pháp giải:

a) Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.

b) Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin x-\sin y=2\cos {\displaystyle \frac{x+y}{2}}\sin {\displaystyle \frac{x-y}{2}}$.

Lời giải:

a)

Ta có:

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left({\sin }^{6}x\right)}^{\prime }+{\left({\cos }^{6}x\right)}^{\prime }+{\left(3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right)}^{\prime }\\ =6{\sin }^{5}x{\left(\sin x\right)}^{\prime }+6{\cos }^{5}x{\left(\cos x\right)}^{\prime }\\ +3.\left[{\left({\sin }^{2}x\right)}^{\prime }{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x{\left({\cos }^{2}x\right)}^{\prime }\right]\\ =6{\sin }^{5}x\cos x+6{\cos }^{5}x\left(-\sin x\right)\\ +3\left[2\sin x\cos x{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x.2\cos x\left(-\sin x\right)\right]\\ =6{\sin }^{5}x\cos x-6{\cos }^{5}x\sin x\\ +6\sin x{\cos }^{3}x-6\cos x{\sin }^{3}x\\ =\left(6{\sin }^{5}x\cos x-6\cos x{\sin }^{3}x\right)\\ +6\sin x{\cos }^{3}x-6{\cos }^{5}x\sin x\\ =6{\sin }^{3}x\cos x\left({\sin }^{2}x-1\right)\\ +6\sin x{\cos }^{3}x\left(1-{\cos }^{2}x\right)\\ =6{\sin }^{3}x\cos x.\left(-{\cos }^{2}x\right)\\ +6\sin x{\cos }^{3}x{\sin }^{2}x\\ =-6{\sin }^{3}x{\cos }^{3}x+6{\sin }^{3}x{\cos }^{3}x\\ =0\\ \Rightarrow y^{\prime }=0,\mathrm{\forall }x\end{array}$

Vậy $y^{\prime }=0$ với mọi $x$, tức là $y^{\prime }$ không phụ thuộc vào $x$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}{\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x\\ ={\left({\sin }^{2}x\right)}^3+{\left({\cos }^{2}x\right)}^3\\ ={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^3-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)\\ =1^3-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x.1\\ =1-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\\ \Rightarrow y={\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x+3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1\\ \Rightarrow y^{\prime }={\left(1\right)}^{\prime }=0\end{array}$

b)

$y=\frac{1+\cos \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)}{2}+\frac{1+\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2x\right)}{2}+\frac{1+\cos \left(\frac{4\pi }{3}-2x\right)}{2}$

$+\frac{1+\cos \left(\frac{4\pi }{3}+2x\right)}{2}-2{\sin }^{2}x$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-2x\right)$ $+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2x\right)$ $+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-2x\right)$ $+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2x\right)$ $-2.{\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}}$

$=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-2x\right)$ $+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2x\right)$ $+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-2x\right)$ $+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2x\right)$ $+\cos 2x$

Do đó $y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-2\right).\left[-\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-2x\right)\right]$ $+{\displaystyle \frac{1}{2}}.2.\left[-\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2x\right)\right]$ $+{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-2\right).\left[-\sin \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-2x\right)\right]$ $+{\displaystyle \frac{1}{2}}.2.\left[-\sin \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2x\right)\right]$ $-2\sin 2x$

$=\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-2x\right)-\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2x\right)+\sin \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-2x\right)$ $-\sin \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2x\right)-2\sin 2x$

$=2\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}.\sin (-2x)+2\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}.\sin (-2x)-2\sin 2x$

$=\sin 2x+\sin 2x-2\sin 2x=0$,

(Vì $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ = $\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$ = $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.)

Vậy $y^{\prime }=0$ với mọi $x$, do đó $y^{\prime }$ không phụ thuộc vào $x$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}y=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\left[\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-2x\right)+\cos \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-2x\right)\right]\\ +{\displaystyle \frac{1}{2}}\left[\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2x\right)+\cos \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2x\right)\right]+\cos 2x\\ =1+{\displaystyle \frac{1}{2}}.2\cos \left(\pi -2x\right)\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\\ +{\displaystyle \frac{1}{2}}.2\cos \left(\pi +2x\right)\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\cos 2x\\ =1-\cos 2x.{\displaystyle \frac{1}{2}}-\cos 2x.{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cos 2x\\ =1-\cos 2x+\cos 2x=1\\ \Rightarrow y=1,\mathrm{\forall }x\\ \Rightarrow y^{\prime }=0,\mathrm{\forall }x\end{array}$

a) $f(x)=3\cos x+4\sin x+5x$;

b) $f(x)=1-\sin (\pi +x)+2\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi +x}{2}}\right)$.

Phương pháp giải:

a)

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm, tính đạo hàm của hàm số, sau đó giải phương trình lượng giác.

Phương pháp giải phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$: Chia cả 2 vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$.

b)

Sử dụng mối liên hệ của các góc phụ nhau, bù nhau, hơn kém nhau $\pi$, hơn kém nhau ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ và giải phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải:

a)

$f^{\prime }(x)=-3\sin x+4\cos x+5$. Do đó

$f^{\prime }(x)=0\iff -3\sin x+4\cos x+5=0$

$\iff 3\sin x-4\cos x=5$

$\iff {\displaystyle \frac{3}{5}}\sin x-{\displaystyle \frac{4}{5}}cosx=1$.    (1)

Đặt $\cos \phi ={\displaystyle \frac{3}{5}}$, $\left(\phi \in \left(0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\right)\Rightarrow \sin \phi ={\displaystyle \frac{4}{5}}$, ta có:

(1)   $\iff \sin x.\cos \phi -\cos x.\sin \phi =1\iff \sin (x-\phi )=1$

$\iff x-\phi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi \iff x=\phi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b)

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)={\left(1\right)}^{\prime }-{\left[\sin \left(\pi +x\right)\right]}^{\prime }+2{\left[\cos \left(\pi +{\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\right]}^{\prime }\\ =-{\left(\pi +x\right)}^{\prime }\cos \left(\pi +x\right)+2{\left(\pi +{\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^{\prime }.\left[-\sin \left(\pi +{\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\right]\\ =-\cos \left(\pi +x\right)+2.{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left[-\sin \left(\pi +{\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\right]\end{array}$

$f^{\prime }(x)=-\cos (\pi +x)-\sin \left(\pi +{\displaystyle \frac{x}{2}}\right)=\cos x+\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$

$f^{\prime }(x)=0\iff \cos x+\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}=0\iff \sin {\displaystyle \frac{x}{2}}=-cosx$

$\iff sin{\displaystyle \frac{x}{2}}=sin\left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2}}=x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi \\ {\displaystyle \frac{x}{2}}=\pi -x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi \end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \frac{3x}{2}=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=\pi -k4\pi \\ x=\pi +\frac{k4\pi }{3}\end{array}$

$\iff x=\pi +\frac{k4\pi }{3}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=1-\sin \left(\pi +x\right)+2\cos \left(\frac{2\pi +x}{2}\right)\\ =1+\sin x+2\cos \left(\pi +\frac{x}{2}\right)\\ =1+\sin x-2\cos \frac{x}{2}\\ f^{\prime }\left(x\right)={\left(1+\sin x-2\cos \frac{x}{2}\right)}^{\prime }\\ ={\left(1\right)}^{\prime }+{\left(\sin x\right)}^{\prime }-2{\left(\cos \frac{x}{2}\right)}^{\prime }\\ =0+\cos x-2.\frac{1}{2}\left(-\sin \frac{x}{2}\right)\\ =\cos x+\sin \frac{x}{2}\\ f^{\prime }\left(x\right)=0\iff \cos x+\sin \frac{x}{2}=0\\ \iff \cos x=-\sin \frac{x}{2}=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)\\ \iff \cos x=\cos \left(\pi -\left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)\right)\\ \iff \cos x=\cos \left(\frac{\pi }{2}+\frac{x}{2}\right)\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\frac{x}{2}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \frac{3x}{2}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\pi +k4\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}+\frac{k4\pi }{3}\end{array}\end{array}$

Chú ý:

Ở họ nghiệm thứ 2 nếu cho $k=1+l,l\in Z$ thì:

$x=-\frac{\pi }{3}+\frac{k4\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+\frac{\left(1+l\right)4\pi }{3}$

$=-\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi +l4\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}+\frac{l4\pi }{3}$

$=\pi +\frac{l4\pi }{3}$

Do đó hai họ nghiệm $x=\pi +k4\pi$ và $x=\pi +\frac{l4\pi }{3}$ hợp lại vẫn được họ nghiệm $x=\pi +\frac{l4\pi }{3}$ trùng với kết quả cách 1.

a) $f(x)=x^3+x-\sqrt{2}$, $g(x)=3x^2+x+\sqrt{2}$;

b) $f(x)=2x^3-x^2+\sqrt{3}$, $g(x)=x^3+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\sqrt{3}$.

Phương pháp giải:

a) Tính đạo hàm của các hàm số $f(x),g(x)$ và giải bất phương trình.

b) Tính đạo hàm của các hàm số $f(x),g(x)$ và giải bất phương trình.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)=3x^2+1\\ g^{\prime }\left(x\right)=6x+1\\ f^{\prime }\left(x\right)>g^{\prime }\left(x\right)\iff 3x^2+1>6x+1\\ \iff 3x^2-6x>0\iff 3x\left(x-2\right)>0\\ \iff [\begin{array}{l}x>2\\ x<0\end{array}\\ \Rightarrow x\in \left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(2;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)=6x^2-2x\\ g^{\prime }\left(x\right)=3x^2+x\\ f^{\prime }\left(x\right)>g^{\prime }\left(x\right)\iff 6x^2-2x>3x^2+x\\ \iff 3x^2-3x>0\iff 3x\left(x-1\right)>0\\ \iff [\begin{array}{l}x>1\\ x<0\end{array}\\ \Rightarrow x\in \left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(1;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}$

Lý thuyết Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. Giới hạn của $\frac{\sin x}{x}$