Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y’’ hoặc f’’(x).

Chú ý:

  + Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y’’’ hoặc f’’’(x) hoặc f⁽³⁾(x).

    + Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f^(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f^(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y⁽ⁿ⁾ hoặc f⁽ⁿ⁾(x).

            f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n–1)(x))’

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

    Đạo hàm cấp hai f’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

II. Bài tập Đạo hàm cấp hai

Câu 1: Cho hàm số $y=\frac{3x-2}{1-x}$. Giải bất phương trình $y\text{'}\text{'}>0$.

A. $x>1.$ 

B. $x<1.$ 

C. $x\ne 1.$ 

D. Vô nghiệm..

Đáp án: B

Câu 2: Cho hàm số $y={\sin }^{3}x$. Rút gọn biểu thức $M=y\text{'}\text{'}+9y$.

A. $M=\sin x.$ 

B. $M=6\sin x.$

C. $M=6\cos x.$

D. $M=-6\sin x.$

Đáp án: B

Câu 3: Hàm số $y=\frac{x}{x-2}$ có đạo hàm cấp hai là:

A. $y^{\text{'}\text{'}}=0$

B. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}$

C. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{4}{{\left(x-2\right)}^3}$

D. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{4}{{\left(x-2\right)}^3}$

Đáp án: D

Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=\tan x$ bằng:

A. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$ 

B. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ 

C. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ 

D. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$ 

Đáp án: D

Câu 5: Hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ có đạo hàm cấp 5 bằng:

A. $y^{\left(5\right)}=-\frac{120}{{(x+1)}^6}$

B. $y^{\left(5\right)}=\frac{120}{{(x+1)}^6}$

C. $y^{\left(5\right)}=\frac{1}{{(x+1)}^6}$

D. $y^{\left(5\right)}=-\frac{1}{{(x+1)}^6}$

Đáp án: A

Câu 6: Hàm số $y={\left(x^2+1\right)}^3$có đạo hàm cấp ba là:

A. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=12x\left(x^2+1\right)$

B. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=24x\left(x^2+1\right)$

C. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=24x\left(5x^2+3\right)$

D. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=-12x\left(x^2+1\right)$

Đáp án: C

Câu 7: Cho hàm số $f\left(x\right)={\left(2x+5\right)}^5$. Có đạo hàm cấp 3 bằng:

A. $f^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(x\right)=80{\left(2x+5\right)}^3$

B. $f^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(x\right)=480{\left(2x+5\right)}^2$

C. $f^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-480{\left(2x+5\right)}^2$

D. $f^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-80{\left(2x+5\right)}^3$

Đáp án: B

Câu 8. Cho hàm số $y={\cos }^{2}x$. Tính giá trị của $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)$

A. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=2.$

B. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\sqrt{3}.$

C. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-2\sqrt{3}.$

D. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-2.$

Đáp án: B

Câu 9: Cho hàm số $y={\left(x^2-1\right)}^2.$

Tính giá trị biểu thức $M=y^{\left(4\right)}+2xy\text{'}\text{'}\text{'}-4y\text{'}\text{'}$

A. $M=0.$

B. $M=20.$

C. $M=40.$

D. $M=100.$

Đáp án: C

Câu 10: Hàm số $y=\sqrt{2x+5}$ có đạo hàm cấp hai bằng

A. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{1}{\left(2x+5\right)\sqrt{2x+5}}$

B. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$

C. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{1}{\left(2x+5\right)\sqrt{2x+5}}$

D. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$

Đáp án: C

Câu 11: Hàm số $y=x\sqrt{x^2+1}$ có đạo hàm cấp hai bằng:

A. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{2x^3+3x}{\left(1+x^2\right)\sqrt{1+x^2}}$

B. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{2x^2+1}{\sqrt{1+x^2}}$

C. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{2x^3+3x}{\left(1+x^2\right)\sqrt{1+x^2}}$

D. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{2x^2+1}{\sqrt{1+x^2}}$

Đáp án: C

Câu 12: Cho hàm số $y=\sin 2x-\cos 2x$. Giải phương trình $y\text{'}\text{'}=0$.

A.  $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

B. $x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$

C. $x=\frac{\pi }{8}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

D. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án: B

Câu 13: Cho hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2+x+1$. Tính giá trị biểu thức $M={(y\text{'})}^2-2y.y\text{'}\text{'}$.

A. $M=0.$

B. $M=2.$

C. $M=-1.$

D. $M=1.$

Đáp án: C

Câu 14: Giả sử $h\left(x\right)=5{\left(x+1\right)}^3+4\left(x+1\right)$. Tập nghiệm của phương trình $h\text{'}\text{'}\left(x\right)=0$ là:

A. $\left[-1;2\right]$

B. $\left(-\infty ;0\right]$

C. $\left\{-1\right\}$

D. $\varnothing$

Đáp án: C

Câu 15: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+1}$. Giải phương trình $f\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\text{'}\left(x\right)$.

A. $x=3,x=2.$

B. $x=4.$

C. $x=5,x=6.$

D. $x=-3.$ 

Đáp án: D

Câu 16: Nếu $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$, thì $f\left(x\right)$ bằng:

A. $\frac{1}{\cos x}$

B. $-\frac{1}{\cos x}$

C. $\cot x$

D. $\tan x$

Đáp án: D

Câu 17: Cho hàm số $f\left(x\right)={\left(ax+b\right)}^5$ (với a,b là tham số). Tính $f^{\left(10\right)}\left(1\right)$

A. $f^{\left(10\right)}\left(1\right)=0$

B. $f^{\left(10\right)}\left(1\right)=10a+b$

C. $f^{\left(10\right)}\left(1\right)=5a$

D. $f^{\left(10\right)}\left(1\right)=10a$ 

Đáp án: A

Câu 18: Cho hàm số $y=\sin x$. Chọn câu sai ?

A. $y^{\text{'}}=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$

B. $y^{\text{'}\text{'}}=\sin \left(x+\pi \right)$

C. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=\sin \left(x+\frac{3\pi }{2}\right)$

D. $y^{\left(4\right)}=\sin \left(2\pi -x\right)$

Đáp án: D

Câu 19: Cho hàm số $y=\sin 2x$. Hãy chọn câu đúng?

A. $4y-y^{\text{'}\text{'}}=0$

B. $4y+y^{\text{'}\text{'}}=0$

C. $y=y^{\text{'}}\tan 2x$

D. $y^2={\left(y^{\text{'}}\right)}^2=4$ 

Đáp án: B

Câu 20. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y=x^3-6x^2+\text{\hspace{0.17em}}40x+100$

A. $y"=6x-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}12$

B. $y"=2x-3$

C. $y"=x-1$

D. $y"=6x-6$

Đáp án: A

Câu 21: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s=t^3-2t^2+4t+1$ trong đó t là giây, s là mét. Gia tốc chuyển động khi $t=2$ là

A. $12m/s^2$

B. $8m/s^2$

C. $7m/s^2$

D. $6m/s^2$

Đáp án: B

Câu 22: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s\left(t\right)=t^3+4t^2$, trong đó $t>0,t$ tính bằng giây và $s\left(t\right)$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng $11m/s$ là:

A. $12m/s^2.$

B. $14m/s^2.$

C. $16m/s^2.$

D. $18m/s^2.$

Đáp án: B

Câu 23: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s=t^3-3t^2-9t$, trong đó $t>0, t$ tính bằng giây và $s\left(t\right)$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là:

A. $-9m/s{}^2.$

B. $12m/s^2.$

C. $9m/s^2.$ 

D. $-12m/s^2.$

Đáp án: B

Câu 24: Xét $y=f\left(x\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$. Phương trình $f^{\left(4\right)}\left(x\right)=-8$ có nghiệm $x\in [0;\frac{\pi }{2}]$ là:

A. $x=\frac{\pi }{2}$

B. $x=0$  hoặc $x=\frac{\pi }{6}$

C. $x=0$ hoặc $x=\frac{\pi }{3}$

D. $x=0$ hoặc $x=\frac{\pi }{2}$

Đáp án: A

Câu 25. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y={(2x+\text{}5)}^{10}$

A. $y"=180.{(2x+5)}^8$

B. $y"={(2x+5)}^8$

C. $y"=360.{(2x+5)}^8$

D. $y"=90.{(2x+5)}^8$

Đáp án: C

Câu 26: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=-\frac{1}{x}$. Xét hai mệnh đề:

(I): $y"=f"\left(x\right)=\frac{2}{x^3}$

(II): $y"\text{'}=f"\text{'}\left(x\right)=-\frac{6}{x^4}$

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II) đúng

C. Cả hai đều đúng

D. Cả hai đều sai

Đáp án: D

Câu 27: Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+4}$ có đạo hàm là $y^{\text{'}}$ và $y\text{'}\text{'}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $2{\left(y^{\text{'}}\right)}^2=\left(y+1\right)y^{\text{'}\text{'}}.$

B. $2{\left(y^{\text{'}}\right)}^2=\left(y-1\right)y^{\text{'}\text{'}}.$

C. $2{\left(y^{\text{'}}\right)}^2=-\left(y-1\right)y^{\text{'}\text{'}}.$

D. $2{\left(y^{\text{'}}\right)}^2=\left(-y-1\right)y^{\text{'}\text{'}}.$

Đáp án: B

Câu 28: Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-2x^2+x-3$ có đạo hàm là $f\text{'}\left(x\right)$ và $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$. Tính giá trị biểu thức $M=f\text{'}\left(\sqrt{2}\right)+\frac{2}{3}f\text{'}\text{'}\left(\sqrt{2}\right)$

A. $M=8\sqrt{2}.$

B. $M=6\sqrt{2}.$

C. $M=7.$

D. $M=\frac{13}{3}.$

Đáp án: D

Câu 29: Cho hàm số $f\left(x\right)=x\sin x$.

Biểu thức $P=f\left(\frac{\pi }{2}\right)+f\text{'}\left(\frac{\pi }{2}\right)+f\text{'}\text{'}\left(\frac{\pi }{2}\right)+f\text{'}\text{'}\text{'}\left(\frac{\pi }{2}\right)$ có giá trị bằng: 

A. $P=2.$

B. $P=-2.$

C. $P=4.$

D. $P=-4.$

Đáp án: B

Câu 30: Cho hàm số $f\left(x\right)=2x^2+16\cos x-\cos 2x$. Tính giá trị của $f^{\text{'}\text{'}}\left(\pi \right)$.

A. $f^{\text{'}\text{'}}\left(\pi \right)=24.$

B. $f^{\text{'}\text{'}}\left(\pi \right)=4.$

C. $f^{\text{'}\text{'}}\left(\pi \right)=-16.$

D. $f^{\text{'}\text{'}}\left(\pi \right)=-8.$ 

Đáp án: A

Câu 31: Hàm số  có đạo hàm cấp hai là:

Câu 32: Hàm số y = (x² + 1)³ có đạo hàm cấp ba là:

A. y''' = 12(x² + 1).

B. y''' = 24(x² + 1).

C. y''' = 24(5x² + 3).

D. y''' = -12(x² + 1).

Câu 33: Cho hàm số f(x) = (x + 1)³. Giá trị f''(0) bằng

A. 6

B. 3

C. 12

D. 24

Câu 34: Cho hàm số . Khi đó :

Câu 35: Cho hàm số y = sin2x. Tính 

A. 4 và 16

B. 5 và 17

C. 6 và 18

D. 7 và 19

Đáp án: A