Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Vi phân (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Vi phân (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

A. Lý thuyết Vi phân

Cho hàm số f^(n–1)(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b). Giả sử f^(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4) là số gia của x.

Ta gọi tích f’(x₀)Δx là vi phân của hàm số n – 1 tại x ứng với số gia Δx, kí hiệu là y = f(x) hoặc dy, tức là

        dy = df(x) = f’(x)Δx

Chú ý:

    + Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x, ta có dx = d(x) = (x)’Δx = 1.Δx = Δx.

     + Do đó, với hàm số y = f(x) ta có dy = df(x) = f’(x)Δx.

B. Bài tập Vi phân

Câu 1: Cho hàm số $y=x^2+2x$. Chọn mệnh đề đúng:

A. $dy={\left(x^2+2x\right)}^{\text{'}}dx$

B. $dx={\left(x^2+2x\right)}^{\text{'}}dy$

C. $dy=\left(x^2+2x\right)dx$

D. $dy=\frac{1}{x^2+2x}dx$

Đáp án: A

Câu 2: Cho hàm số $y=f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2$. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số $f\left(x\right)$?

A. $\text{d}y=2\left(x-1\right)\text{d}x$

B. $\text{d}y={\left(x-1\right)}^2\text{d}x$

C.  $\text{d}y=2\left(x-1\right)$

D. $\text{d}y=2x\text{d}x$

Đáp án: A

Câu 3. Vi phân của hàm số $f\left(x\right)=3x^2-x$ tại điểm $x=2$ ứng với $\Delta x=0,1$ là:

A. $-0,07$

B. 10

C. 1,1

D. $-0,4$

Đáp án: C

Câu 4. Vi phân của hàm số $f\left(x\right)=\sin 2x$ tại điểm $x=\frac{\pi }{3}$ ứng với $\Delta x=0,01$ là:

A. $-1,1$

B. 10

C.  0,1

D. -0,01

Đáp án: D

Câu 5. Vi phân của hàm số $y=\frac{1}{{\left(1+\tan x\right)}^2}$ là:

A. $dy=\frac{2}{{\cos }^{2}x{\left(1+\tan x\right)}^3}dx$

B. $dy=\frac{-2}{{\cos }^{2}x{\left(1+\tan x\right)}^3}dx$

C. $dy=\frac{2}{\cos x{\left(1+\tan x\right)}^3}dx$

D. $dy=\frac{2}{{\cos }^{2}x{\left(1+\tan x\right)}^2}dx$

Đáp án: A

Câu 6. Cho hàm số $y=\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}$. Chọn kết quả đúng:

A. $df\left(x\right)=\frac{-\sin 4x}{2\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}dx$

B.  $df\left(x\right)=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}dx$

C.  $df\left(x\right)=\frac{\cos 2x}{\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}dx$

D. $df\left(x\right)=\frac{-\sin 2x}{\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}dx$

Đáp án: B

Câu 7. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+xkhix\ge 0\\ xkhix<0\end{array}\right.$. Khẳng định nào sau đây là sai:

A. $f^{\text{'}}\left(0^{+}\right)=1$

B. $f^{\text{'}}\left(0^{-}\right)=1$

C. $df\left(0\right)=dx$

D. Hàm số không có vi phân tại $x=0$

Đáp án: D

Câu 8. Cho hàm số $y=x^3$. Tính vi phân của hàm số tại $x_0=1$ với số gia $\Delta x=0,01$.

A. $0,01$

B. $3.{\left(0,01\right)}^2$

C. ${\left(0,01\right)}^3$

D. $0,03$

Đáp án: D

Câu 9. Cho hàm số $y=\frac{x+3}{1-2x}$. Vi phân của hàm số tại $x=-3$ là:

A. $dy=\frac{1}{7}dx$

B. $dy=7dx$

C. $dy=-\frac{1}{7}dx$

D. $dy=-7dx$

Đáp án: A

Câu 10. Vi phân của hàm số $y={\cos }^{2}3x$ là:

A. $dy=3{\sin }^{2}3xdx$

B. $dy=\sin 6xdx$

C. $dy=-3\sin 6xdx$

D. $dy=6\sin 6xdx$

Đáp án: C

Câu 11. Cho hàm số $y=x^3-5x+6$. Vi phân của hàm số là:

A. $\text{d}y=\left(3x^2-5\right)\text{d}x$

B. $\text{d}y=-\left(3x^2-5\right)\text{d}x$

C. $\text{d}y=\left(3x^2+5\right)\text{d}x$

D. $\text{d}y=-\left(3x^2-5\right)\text{d}x$

Đáp án: A

Câu 12.  Cho hàm số $y=\frac{1}{3x^3}$. Vi phân của hàm số là:

A. $\text{d}y=\frac{1}{4}\text{d}x$

B. $\text{d}y=\frac{1}{x^4}\text{d}x$

C. $\text{d}y=-\frac{1}{x^4}\text{d}x$

D. $\text{d}y=x^4\text{d}x$

Đáp án: C

Câu 13. Vi phân của hàm số $y=\sqrt{x\sqrt{x}}$ là:

A. $dy=\frac{3}{4\sqrt{\sqrt{x}}}dx$

B. $dy=\frac{3}{2\sqrt{\sqrt{x}}}dx$

C. $dy=\frac{5}{4\sqrt{x}}dx$

D. $dy=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$

Đáp án: A

Câu 14. Vi phân của hàm số là: $y=\frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

A. $\text{d}y=\frac{2\sqrt{x}}{4x\sqrt{x}{\cos }^2\sqrt{x}}\text{d}x$

B. $\text{d}y=\frac{\sin \left(2\sqrt{x}\right)}{4x\sqrt{x}{\cos }^2\sqrt{x}}\text{d}x$

C. $\text{d}y=\frac{2\sqrt{x}-\sin \left(2\sqrt{x}\right)}{4x\sqrt{x}{\cos }^2\sqrt{x}}\text{d}x$

D. $\text{d}y=-\frac{2\sqrt{x}-\sin \left(2\sqrt{x}\right)}{4x\sqrt{x}{\cos }^2\sqrt{x}}\text{d}x$

Đáp án: D

Câu 15. Cho hàm số $y=x+\sqrt{x^2+1}$. Mệnh đề nào sau đây đúng:

A. $\sqrt{1+x^2}.dy-ydx=0$

B. $\sqrt{1+x^2}.dx-dy=0$                       

C. $xdx+\sqrt{1+x^2}.dy=0$

D. $\sqrt{1+x^2}.dy+xy=0$

Đáp án: A

Câu 16. Dùng vi phân tính gần đúng $\sqrt[3]{26,7}$ có giá trị là:

A. 2,999

B. 2,98

C.  2,97

D. 2,89

Đáp án: A

Câu 17. Dùng vi phân tính gần đúng $\sin 29°$ có giá trị là:

A. 0,4849

B. 0,5464

C. 0,4989

D. 0,4949

Đáp án: A

Câu 18. Với hàm số $x^{2}y+y^3=2$ thì đạo hàm $y^{\text{'}}$ tại điểm $\left(1;1\right)$ bằng:

A. $-\frac{3}{2}$

B. -1

C.  $-\frac{1}{2}$

D. 0

Đáp án: C

Câu 19. Cho hàm số $y=\sin \left(\sin x\right)$. Vi phân của hàm số là:

A. $dy=\cos \left(\sin x\right).\sin xdx$

B. $dy=\sin .\left(\cos x\right).dx$

C. $dy=\cos \left(\sin x\right),\cos xdx$

D. $dy=\cos \left(\sin x\right)dx$

Đáp án: C

Câu 20. Vi phân của hàm số $y=\frac{x\sin x+\cos x}{x\cos x-\sin x}$ bằng:

A. $dy=\frac{dx}{{\left(x\cos x-\sin x\right)}^2}$

B. $dy=\frac{x^{2}dx}{{\left(x\cos x-\sin x\right)}^2}$

C. $dy=\frac{\cos xdx}{{\left(x\cos x-\sin x\right)}^2}$

D. $dy=\frac{x^2\sin xdx}{{\left(x\cos x-\sin x\right)}^2}$

Đáp án: B

Câu 21. Xét hàm số $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2-1$. Nếu đặt $y=f\left(x^2\right)$ thì $\frac{dy}{dx}$ nhận kết quả nào sau đây?

A. $2x\left(x^4-1\right)$

B. $2x\left(x^2-1\right)$

C. $x^4-1$

D. $x^2-1$

Đáp án: A

Câu 22. Xét hàm số $y=x^2$. Gọi $\Delta x,dy$ theo thứ tự là số gia và vi phân của hàm số y tại $x_0=1$ và $dx=0,01$ . Hiệu của $\Delta y-dy$ bằng:

A. 0,001

B. 0,002

C. 0,0001

D. 0,00001

Đáp án: C

Câu 23. Xét $\cos y={\sin }^{2}x\left(0<y<\frac{\pi }{2},0<x<\frac{\pi }{2}\right)$. Đạo hàm của y tại $x=\frac{\pi }{4}$ là:

A. $\frac{\pi }{6}$

B. $\frac{\pi }{3}$

C. $\frac{-2}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{-\sqrt{3}}{2}$

Đáp án: C

Câu 24. Vi phân của hàm số $y=\frac{-2x^2-2x+1}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$ là:

A. $dy=\frac{2\left(2x+1\right)\left(x^2+x-2\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^3}dx$

B. $dy=\frac{\left(2x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^3}dx$

C. $dy=\frac{\left(3x-1\right)\left(x^2-2x+5\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^3}dx$

D. $dy=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2+x-2\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^3}dx$

Đáp án: A

Câu 25. Tính vi phân của hàm số $y=\sin \sqrt{x^2+\text{}\sin (c\text{osx)}}$

A. $dy=\frac{c\text{os}\sqrt{x^2+\text{}\sin (c\text{osx)}}}{2\sqrt{x^2+\text{}\sin (c\text{osx)}}}.\text{[\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}c\text{os(sinx})\text{] dx}$

B. $dy=\frac{c\text{os}\sqrt{x^2+\text{}\sin (c\text{osx)}}}{\sqrt{x^2+\text{}\sin (c\text{osx)}}}.\text{[\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\sin x\text{(sinx}).c\text{os}x\text{] dx}$

C. $dy=\frac{c\text{os}\sqrt{x^2+\text{}\sin (c\text{osx)}}}{\sqrt{x^2+\text{}\sin (c\text{osx)}}}.\text{[\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\sin x\text{(sinx}).c\text{os}x\text{] dx}$

D. Đáp án khác

Đáp án: C

Câu 26. Tính vi phân của hàm số $y=\sqrt{\sin \text{[\hspace{0.17em}}{x}^2+\text{}\sqrt{\sin (2x-3)}\text{]}}$

A. $dy=\frac{c\text{os[\hspace{0.17em}}{x}^2+\text{}\sqrt{\sin (2x-3)}\text{\hspace{0.17em}]}}{2\sqrt{\sin \text{[\hspace{0.17em}}{x}^2+\text{}\sqrt{\sin (2x-3)}\text{]}}}.\left[2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{cos}(2x-3)}{\sqrt{\sin (2x-3)}}\right]dx$

B. $dy=\frac{c\text{os[\hspace{0.17em}}{x}^2+\text{}\sqrt{\sin (2x-3)}\text{\hspace{0.17em}]}}{\sqrt{\sin \text{[\hspace{0.17em}}{x}^2+\text{}\sqrt{\sin (2x-3)}\text{]}}}.\left[2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{cos}(2x-3)}{2\sqrt{\sin (2x-3)}}\right]dx$

C. $dy=\frac{c\text{os[\hspace{0.17em}}{x}^2+\text{}\sqrt{\sin (2x-3)}\text{\hspace{0.17em}]}}{2\sqrt{\sin \text{[\hspace{0.17em}}{x}^2+\text{}\sqrt{\sin (2x-3)}\text{]}}}.\left[2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{cos}(2x-3)}{2\sqrt{\sin (2x-3)}}\right]dx$

D. Đáp án khác

Đáp án: A

Câu 27. Cho hàm số y = f(x) = (x - 1)². Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x) ?

A. dy = 2(x - 1)dx.

B. dy = (x - 1)²dx.

C. dy = 2(x - 1).

D. dy = 2(x - 1)dx.

A. dy = (1 + tan²2x)dx

B. dy = (1 - tan²2x)dx

C. dy = 2(1 - tan²2x)dx

D. dy = 2(1 + tan²2x)dx

Đáp án: D

Đáp án: B

Câu 30. Cho hàm số . Vi phân của hàm số là:

Đáp án: C

A. dy = (xcosx – sinx)dx.

B. dy = (xcosx)dx.

C. dy = (cosx – sinx)dx.

D. dy = (xsinx)dx.

Đáp án: B

A. - 4

B. 11

C. 1,1

D. -0,4

Đáp án: C

A. 4,0313

B. 4,0312

C. 4,0311

D. 4,0314

Đáp án: A

Đáp án: B

A. dy = (3x² - 4x)dx

B. dy = (3x² + x)dx

C. dy = (3x² + 2x)dx

D. dy = (3x² + 4x)dx

Đáp án: D