Phương trình mũ: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

373

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương trình mũ: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Phương trình mũ, từ đó học tốt môn Toán.

Phương trình mũ: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

I. LÝ THUYẾT

a. Phương trình mũ cơ bản: ax=b (a>0, a1).

* Với b >0, ta có ax=b x=logab

* Với b0, phương trình vô nghiệm.

b. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản.

+ Biến đổi, quy về cùng cơ số:

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn  rồi đưa về tích.

Đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình

+ Logarit hóa:

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

+ Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

(0<a1)ax=f(x)(*)

Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y=ax (0<a1) và y=f(x). Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số

y=ax(0<a1)và y=f(x)

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a,b) thì số nghiệm của phương trình f(x)=k trên (a,b) không nhiều hơn một và f(u)=f(v)u=v,u,v(a;b)

Tính chất 2. Nếu hàm số y=fx liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số y=gx liên tục và luôn nghịch biến  (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình fx=gx không nhiều hơn một.

Tính chất 3. Nếu hàm số y=fx luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình fu>fvu>v ( hoặc u < v)u,vD.

+ Sử dụng đánh giá:

Giải phương trình fx=gx.

Nếu ta đánh giá được fxmgxm thì :

fx=gxfx=mgx=m

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản

A. Phương pháp

ax=b a>0, a1. Để giải pt trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.

* Với b>0, ta có ax=b x=logab

* Với b0, phương trình vô nghiệm.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Phương trình 31x=4 có nghiệm là

A. x=log23

B. x=log32.

C. x=log43

D. x=log34.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có :

31x=41x=log34x=log43

Câu 2. Phương trình 8x=4 có nghiệm là

A. x=23

B. x=12

C. x=12

D. x=2.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có:

8x=4x=log84x=log2322=23

Câu 3. Nghiệm của phương trình 2x+2x+1=3x+3x+1 là:

A. x=log3234

B. x=1

C. x=0

D. x=log4323.

Hướng dẫn giải

2x+2x+1=3x+3x+13.2x=4.3x32x=34x=log3234

Chọn A.

Câu 4. Nghiệm của phương trình 12.3x+3.15x5x+1=20 là:

A. x=log351

B. x=log35

C. x=log35+1

D. x=log531.

Hướng dẫn giải

12.3x+3.15x5x+1=203.3x5x+455x+4=05x+43x+15=03x+1=5x=log351

Chọn A.

Câu 5. Phương trình 3x2=39x có nghiệm là

A. x=1

B. x=0

C. x=-1

D. x=3.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

3x2=39x3x2=312xx2=12xx=1

Nghiệm của phương trình là x=1

Câu 6. Tập nghiệm của ph­ương trình 2x2x4=116 là

A. 2;  2.

B. .

C. 2;4.

D. 0;1.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:

2x2x4=24x2x4=4x2x=0x=0x=1

Câu 7.  Giải phương trình 3x4=193x1.

A. x=67.

B. x=1.

C. x=13.

D. x=76.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có:

3x4=193x13x4=36x+2x4=6x+2x=67.

Câu 8.  Phương trình 3x.5x1=7 có nghiệm là

A. log1535.

B. log215.

C. log2135.

D. log1521.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

PT 15x=35x=log1535

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp

afx=agxa=1

hoặc 0<a1fx=gx.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Tìm tập nghiệm của phương trình 2x12=4x.

A. 4+3,43

B. 2+3,23

C. 4+3,43 

D. 2+3,23

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có :

2x12=4x2x12=22xx12=2xx24x+1=0x=2+3x=23

Vậy tập ngiệm của phương trình: S=23;2+3.

Câu 2. Nghiệm của phương trình 125x+1=125x là:

A.25

B. 4

C. 18

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có :

125x+1=125x52x+1=53x2x+1=3xx=25

Vậy phương trình có nghiệm là x=25.

Câu 3. Phương trình 0.2x+2=54x4 tương đương với phương trình:

A. 5x+2=52x2

B.  5x2=52x2

C. 5x2=52x4

D. 5x+2=52x4.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

0.2x+2=54x415x+2=52x25x2=52x2

Câu 4. Phương trình 22x118=0 có nghiệm là

A. x=1

B. x=2

C. x=2

D. x=1

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có :

22x118=022x1=23x=1

Vậy phương trình có nghiệm là x = -1.

Câu 5. Gọi là tổng các nghiệm của phương trình 3xx1=64 thì giá trị của S là

A. 12

B. -6

C. -3

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có

2xx1=642xx1=64x2x=6x2x6=0x=3x=2S=1

Câu 6. Tìm tập nghiệm S của phương trình 52x2x=5.

A. S=

B. S=0;12

C. S=0;2

D. S=1;12

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Phương trình đã cho tương đương với 2x2x=1 

2x2x1=0x=1x=12

Vậy tập nghiệm của phương trình : S=1;12.

Câu 7. Nghiệm của phương trình 42xm=8x là

A. x=m

B. x=2m

C. x=2m

D. x=m

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

42xm=8x222xm=23x24x2m=23x4x2m=3xx=2m

Vậy nghiệm của phương trình x = 2m.

Câu 8. Tập nghiệm của phương trình 3222x=827x2 là

A. 85

B. 83

C. 4

D. 2.

Hướng dẫn giải

Chọn C

3222x=827x23222x=323.(x2)22x=3x23x2x=62x=4

Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {4}.

Dạng 3. Phương pháp đăt ẩn phụ

A. Phương pháp

fagx=0   0<a1  t=agx>0ft=0

Ta thường gặp các dạng:

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn x rồi đưa về tích.

Đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình: Đặt ẩn phụ sau đó dựa vào các điều kiện để đưa phương trình đã cho về hệ phương trình với các ẩn mới.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho phương trình 4x41x=3. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có một nghiệm.

C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42x3.4x4=0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

4x41x=34x44x=3

Đặt t=4x(t >0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

t4t=3t23t4=0t=4t=1(L)4x=4x=1.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm, nghiệm này lớn hơn 0. Do đó A sai.

Chọn A.

Câu 2. Cho phương trình 32x+106.3x+42=01. Nếu đặt t=3x+5t>0 thì (1) trở thành phương trình nào?

A. 9t26t2=0.

B. t22t2=0.

C. t218t2=0.

D. 9t22t2=0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

32x+106.3x+42=032x+52.3x+52=0

Vậy khi đặt t=3x+5t>0 thì (1) trở thành phương trình t22t2=0.

Câu 3. Phương trình 9x5.3x+6=0 có tổng các nghiệm là:

A. log36

B. log323

C. log332

D. log36

 
 
 
 
 
 

Chọn A.

Câu 4. Cho phương trình 21+2x+15.2x8=0, khẳng định nào sau dây đúng?

A. Có một nghiệm.

B. Vô nghiệm.

C. Có hai nghiệm dương.

D. Có hai nghiệm âm.

Hướng dẫn giải

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Do đó A đúng.

Chọn A.

Câu 5. Phương trình 5x1+5.0,2x2=26 có tổng các nghiệm là:

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

5x1+5.0,2x2=265x1+5.52x=265x1+25.51x=26

Đặt t=5x1t>0, phương trình trở thành: 

t+25t=26t226t+25=0t=1t=255x1=15x1=25x=1x=3

Vậy tổng các nghiệm là 4.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào máy tính 5x1+5.0,2x226. Nhấn dấu = để lưu phương trình.

Shift  Solve 0=. Ra nghiệm .

Shift Solve 4 =. Ra nghiệm .

Câu 6. Cho phương trình 9x2+x110.3x2+x2+1=0. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

A. -2

B. 2

C. 1

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đặt t=3x2+x1 (t>0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

3t210t+3=0t=3t=133x2+x1=33x2+x1=13x2+x1=1x2+x1=1x=2x=1x=0x=1

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng -2

Câu 7. Tìm tích các nghiệm của phương trình 21x+2+1x22=0

A. 2

B. -1

C. 0

D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Câu 8. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x+13m2x+2m2m=0 có nghiệm.

A. ;+

B. ;11;+

C. 0;+

D. 12;+

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Xét phương trình:

4x+13m2x+2m2m=01

Đặt t=2x,t>0. Phương trình (1) trở thành:

t2+13mt+2m2m=02

Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm:

x=m;x=2m1,m.

Phương trình (1) có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm t >0

Từ đó suy ra:

m>02m1>0m0;+.

Dạng 4. Phương pháp logarit hóa

A. Phương pháp:

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

B. Ví dụ minh họa:

Câu 1. Biết rằng phương trình 2x21=3x+1 có 2 nghiệm là a,b. Khi đó a + b +ab có giá trị bằng

A. 1+2log23

B. 1+log23

C. -1

D. 1+2log23.

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Câu 2. Phương trình 2x3=3x25x+6 có hai nghiệm x1,x2 trong đó x1<x2, hãy chọn phát biểu đúng?

A. 3x12x2=log38

B. 2x13x2=log38

C. 2x1+3x2=log354.

D. 3x1+2x2=log354.

Hướng dẫn giải

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Câu 3. Cho hai số thực dương  lớn hơn 1 và biết phương trình ax2bx+1=1 có nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=logaab+4logab.

A. 4

B. 5

C. 6

D. 10

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với:

x2+x+1logab=0x2+xlogab+logab=0

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

Δ=logab24logab0logab4logab>0

Khi đó:

P=logab+4logab+1=ft=t+4t+1min4;+ft=f4=6

Với t=logab4.

Chọn C.

Câu 4. Cho các số nguyên dương a,b lớn hơn 1. Biết phương trình ax2+1=bx có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và phương trình bx21=9ax có hai nghiệm phân biệt x3,x4 thỏa mãn x1+x2x3+x4<3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=3a+2b.

A. 12

B. 46

C. 44

D. 22

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Dạng 5. Phương pháp đồ thị, hàm số, đánh giá

A. Phương pháp

+ Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

ax=fx0<a1*

Xem phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y=ax0<a1 và y=fx. Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước1. Vẽ đồ thị các hàm số

y=ax0<a1 và y=fx

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số y=fx luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a,b) thì số nghiệm của phương trình fx=k trên(a,b)  không nhiều hơn một và fu=fvu=v,u,va;b

Tính chất 2. Nếu hàm số y=fx liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số y=gx liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình fx=gx không nhiều hơn một.

Tính chất 3. Nếu hàm số y=fx luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình fu>fvu>v ( hoặc u <v), u,vD.

+ Sử dụng đánh giá:

Giải phương trình fx=gx.

Nếu ta đánh giá được fxmgxm thì :

fx=gxfx=mgx=m

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Phương trình x1.2x=x+1 có bao nhiêu nghiệm thực

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Vì  không là nghiệm của phương trình nên ta có:

x1.2x=x+12x=x+1x1

Hàm số y=2x đồng biến trên R, hàm số y=x+1x1 nghịch biến trên ;1 và 1;+.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 2. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình 2sin2x+3cos2xm.3sin2x có nghiệm?

A. m4.

B.  m4

C. m1.

D. m1.

Hướng dẫn giải

Chia hai vế của bất phương trình cho 3sin2x>0, ta được

23sin2x+3.19sin2xm

Xét hàm số y=23sin2x+3.19sin2x là hàm số nghịch biến.

Ta có:  0sin2x1nên 1y4

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m4.

Chọn A.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình 2x2+2x9=x2x3.8x2+3x6+x2+3x6.8x2x3 là 

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình đã cho

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Hoặc biến đổi *8u1u+8v1v=0,

dễ thấy 8u1u>0;u0 (Table = Mode 7).

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3x=mx+1 có hai nghiệm phân biệt?

A. m>0

B. m>0mln3

C. m2

D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: 3x=mx+1 là phương trình hoành độ giao điểm của y=3x và y=mx+1.

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ta thấy y=mx+1 luôn đi qua điểm cố định (0;1) nên

+ Nếu m <0 thì y=mx+1 là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y=3x tại một điểm duy nhất.

+ Nếu m >0 thì để đồ thị hàm số y=mx+1 cắt đồ thị hàm số y=3x tại hai điểm phân biệt thì phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=3x tại điểm (0;1), tức là mln3.

Vậy m>0mln3.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Tìm các nghiệm của phương trình 2x2=8100.

A. x=204

B. x=102

C. x=302

D. x=202.

Câu 2. Tìm nghiệm của phương trình 2x=3x.

A. x=1

B. x=-1

C. x=0

D. x=2

Câu 3. Số nghiệm của phương trình 22x27x+5=1 là:

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2.

Câu 4. Cho phương trình: 3x=m+1. Chọn phát biểu đúng

A. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

B. Phương trình có nghiệm với m1.

C. Phương trình có nghiệm dương nếu m>0.

D. Phương trình luôn có nghiệm duy nhất x=log3m+1.

Câu 5. Phương trình 2x29x+16=4 có nghiệm là

A. x=2,x=7

B. x=4,x=5

C. x=1,x=8

D. x=3,x=6

Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình 3x43x2=81.

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4.

Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình 32x627=13x.

A. x=4

B. x=2

C. x=5

D. x=3.

Câu 8. Tìm nghiệm của phương trình 42x+5=22x.

A. -85

B. 125

C.  3

D. 85

Câu 9. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 53x2=15x2 bằng:

A.  0

B. 5

C. 2

D. 3

Câu 10. Tổng các nghiệm của phương trình 3x43x2=81 bằng

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4

Câu 11. Cho phương trình: 2.3x+115x+2.5x=12, giá trị nào gần với tổng 2 nghiệm của phương trình trên nhất?

A. 1,75

B.  1,74

C. 1,73

D. 1,72

Câu 12. Số nghiệm của phương trình x3x2x=x312 là:

A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình 22x33.2x2+1=0 là

A. 6

B. 3

C. 5

D. -4.

Câu 14. Giải phương trình 4x6.2x+8=0.

A. x =1.

B. x =0, x=2.

C. x =1, x=2.

D. x =2.

Câu 15. Phương trình 9x3.3x+2=0 có hai nghiệm x1,x2 với x1<x2. Giá trị A=2x1+3x2 là

A. 2log23

B. 1.

C. 3log32

D. 4log32.

Câu 16. Phương trình 3+5x+35x=3.2x có tổng các nghiệm là

A. 0.

B. 10.

C. 1

D. 2

Câu 17.  Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình 4.3log100x2+9.4log10x=13.61+logx

A. 100

B. 10

C. 1

D. 110.

Câu 18. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4x23x+2+4x2+6x+5=42x2+3x+7+1

A. -3

B. -2

C. - 7

D. 7

Câu 19. Cho phương trình 7+43x+2+3x=6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ.

B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ.

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.  

D. Tích của hai nghiệm bằng -6.

Câu 20. Tìm m để phương trình 4x22x2+2+6=m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

A. m>3  

B. m=3

C. 2<m<3

D. m=2.

Câu 21. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình m3x23x+2+34x2=363x+m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Câu 22. Hỏi phương trình 3.2x+4.3x+5.4x=6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 2

B. 4

C. 1.

D. 3.

Câu 23. Biết phương trình 9x2x+12=2x+3232x1 có nghiệm là a. Tính giá trị biểu thức P=a+12log922.

A. P=12.

B. P=1log922.

C. P=1.

D. P=112log922.

Câu 24. Cho số thực a>1,b>1. Biết phương trình axbx21=1 có hai nghiệm phân biện x1,x2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=x1x2x1+x224x1+x2.

A. 4

B. 323

C. 343

D. 43

Câu 25. Phương trình 32x+3+2x=10x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 1

B.  2

C. 3.

D. 4.

Câu 26. Phương trình 32x+2x3x+14.3x5=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

A. 1

B.  2

C. 0

D. 3

Câu 27. Tìm số nghiệm của phương trình 2x+3x+4x+...+2016x+2017x=2016x

A. 1.

B. 2016.

C. 2017.

D. 0.

Câu 28. Tìm các giá trị của m để phương trình: 3x+3+53x=m có 2 nghiệm phân biệt:

A. 3+5<m<4

B. 22<m<4

C. 22<m<3

D. m>22.

Câu 29. Phương trình 4x22x+12=2x+1x2 có bao nhiêu nghiệm dương.

A. 3.

B. 1

C. 2.

D. 0.

Câu 30. Cho phương trình 5x2+2mx+252x2+4mx+2x22mx=0.Tìm m để phương trình vô nghiệm?

A. m>0

B. m<1

C. Không có m.

D. m>1m<0

Đáp án

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải bài tập

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit và cách giải bài tập

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập

Bất phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập

Bất phương trình logarit và cách giải các dạng bài tập

Từ khóa :
Giải bài tập
Đánh giá

0

0 đánh giá