Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit : Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

344

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hàm số, từ đó học tốt môn Toán.

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit : Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

I. LÝ THUYẾT

a. Lũy thừa

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

an=a.a....a,(n thừa số)

Ở đây n+, n>1. Quy ước a1=a

a0:a0=1,an=1an với n+

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b: Có một căn bậc n của b là bn.

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là  ±bn.

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ:

amn=amn,a>0

+ Lũy thừa số thực

aα=limnarnα là số vô tỉ, rn là số hữu tỉ và lim rn =  α)

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

b. Logarit

+ Định nghĩa: 

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

+ Các công thức:

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

 
 
 

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức

A. Phương pháp

Cách 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của lũy thừa và lôgarit

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của lũy thừa.

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b: Có một căn bậc n của b là bn.

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ±bn

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ

amn=amn,a>0

+ Lũy thừa số thực

aα=limnarn ( α là số vô tỉ,  là số hữu tỉ và limrn=α).

+ Tính chất

 Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của logarit.

+ Định nghĩa: 

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

+ Các công thức:

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho  là số thực dương. Giá trị của biểu thức P=a23a bằng

A. a56

B. a5

C. a23

D. a76 .

Lời giải

Chọn D

Với a >0, ta có:

P=a23a=a23a12=a76 .

Câu 2. Rút gọn biểu thức P=a313+1a45.a52.

A. P=2

B. P=a2

C. P=1

D. P=a .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

P=a313+1a45.a52=a313+1a45+52=a2a2=1

Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay

Nhập vào máy tính:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Sau đó bấm CALC thay một giá trị bất kì thỏa mãn a >0 và a1 và các đáp án phải khác nhau. Ta chọn A=3. Khi đó ta có kết quả.

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Câu 3. Với α là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?

A. 10α=10α2

B. 10α2=100α

C. 10α=10α

D. 10α2=10α2 

Lời giải

Chọn D

+) Có 10α=10α2 với mọi α, nên A đúng.

+) Có 10α2=100α với mọi α, nên B đúng.

+) Có 10α=10α với mọi α, nên C đúng.

+) Ta có 10α2=102α10α2. Do đó D sai.

Câu 4. Biểu thức P=x3.x23.x56  x>0 viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là

A. P=x83

B. P=x56

C. P=x13

D. P=x3

Lời giải

Chọn A

Ta có:

P=x3x2312.x56=x32.x13.x56=x83.

Câu 5. Tính giá trị biểu thức A=162514+163422.6413.

A. 14.

B. 12. 

C. 11.

D. 10.

Lời giải

Chọn B

Ta có 

A=5(4).14+24.3422.26.13=5+2320=12

Câu 6. Cho a là số thực dương và a1. Giá trị của biểu thức M=a1+212 bằng

A. a2.

B. a22.

C. a

D. 1a.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

M=a1+212=a12=a1=1a

Vậy M=1a.

Câu 7. Cho a>0,a1, biểu thức D=loga3a có giá trị bằng bao nhiêu?

A-3

B3

C13

D-13 .

Lời giải

Chọn C

Ta có: 

D=loga3a=13logaa=13

Câu 8. Với a và b là hai số thực dương, a1. Giá trị của alogab3 bằng

A. b13

B. 13b

C. 3b

D. b3 .

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức: alogab=b

Ta có: alogab3=b3.

Câu 9. Tính giá trị của aloga4 với a>0,a1.

A. 16

B. 8

C. 4

D. 2.

Lời giải

Chọn A

Ta có: 

aloga4=a2loga4=aloga42=16

Câu 10. Cho a là số thực dương khác 4. Tính aloga4=a2loga4=aloga42=16.

A. I=13

B. I=3

C. I=3

D. I=13 .

Lời giải

Chọn C

I=loga4a364=loga4a43=3

Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. ln2e2=2+ln2

B. ln2e=ln21

C. ln4e=1+ln2

D. lne=1

Lời giải

Chọn C

ln4e=ln4+lne=ln2+12

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức: P=loga2a10b2+logaab+logb3b2

A. 3

B. 1.

C. 2 .

D. 2.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Dạng 2. So sánh các lũy thừa, logarit

A. Phương pháp giải.

Cách 1. Sử dụng tính chất của lũy thừa, lôgarit

a. So sánh các lũy thừa

Nếu a > 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α>β

Nếu a < 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α<β

b. So sánh các logarit

logab>logaca>1b>c>00<a<10<b<c

Cách 2. Sử dụng máy tính casio

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho a>1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a23a>1

B. a3>1a5

C. a13>a

D. 1a2016<1a2017

Lời giải

Chọn B

Vì cơ số a >1 nên ta có:

am>anm>n

Xét phương án A: a23a=a231=a13<a0 phương án A sai.

 Xét phương án B: 53>0a53>a0=1 hay a3>1a5 phương án B đúng.

Xét phương án C: 13<12a13<a12 hay a13<aphương án C sai.

Xét phương án D: 2016<2017a2016<a20171a2017<1a2016 phương án D sai.

Vậy phương án đúng là phương án B

Câu 2. Cho πα>πβ với α,β. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. α>β

B. α<β

C. α=β

D. αβ .

Lời giải

Chọn A

Do π>1 nên πα>πβα>β.

Câu 3. Cho số thực a thỏa mãn a3>aπ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0<a<1

B. a<0

C. a>1

D. a=1 .

Lời giải

Chọn A

Ta có a3>aπ mà 3<π nên 0<a<1.

Câu 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 437>436

B. 236<235 .

C. 345>346

D. 326>327 .

Lời giải

Chọn C

Vì cơ số là 340<34<1.

Do đó 5 < 6 nên 345>346 là mệnh đề đúng.

Câu 5.   Nếu  a33>a22 và logb34<logb45 thì

A. 0<a<1,0<b<1.

B. 0<a<1,b>1.

C. a>1,b>1.

D. a>1,0<b<1.

Lời giải

Chọn B

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Câu 6. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. logx0x1

B. log3x00<x1

C. log13a>log13ba>b>0

D. log13a=log13ba=b>0

Lời giải

Chọn C

Ta có logx0x100 nên x1 là khẳng định đúng.

log3x00<x30 nên 0<x1 là khẳng định đúng.

log13a>log13bb>a>0 nên khẳng định C sai.

D đúng do tính đơn điệu của hàm số y=log13x

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Tính giá trị biểu thức A=11614+813422.6413

A. 15.

B. 28.

C. -11.

D. 10.

Câu 2. Cho biểu thức fx=x3x4x512. Khi đó giá trị của f2,7 bằng:

A. 0,027

B. 28

C. -11

D. 10

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức K=2:42+32319353.252+0,70.123

A. 23

B. 83

C. 53

D. 3313 .

Câu 4. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

A. 1,334

B. 323

C. 23

D. 223 .

Câu 5. Với các số thực a,b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 5a5b=5ab

B. 5a5b=5ab

C. 5a5b=5ab

D. 5a5b=5a+b

Câu 6. Cho số thực x và số thực y0 tuỳ ý. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. 3x.3y=3x+y

B. 5xy=5yx

C. 4xy=4x4y

D. 2.7x=2x.7x

Câu 7. Cho  là số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt A=a7.a7a27. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. A=7

B. A=1

C. A=a

D. A=2a7 .

Câu 8. Cho a>0; b >0. Viết biểu thức a23a về dạng am và biểu thức b23:b về dạng bnTa có mn=?

A. 13

B. 12

C. 1

D. -1.

Câu 9. Cho số thực a dương và m,n. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. am+n=amn

B. am+n=aman

C. am+n=am.an

D. am+n=am+n

Câu 10. Cho số dương a và m,n. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. am.an=amn

B. am.an=amn

C. am.an=am+n

D. am.an=am.n

Câu 11. Cho a là số dương tuỳ ý,a34 bằng

A. a43

B. a43

C. a34

D. a34 .

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức P=2log2a+logaab a>0,a1

A. P=ab

B. P=2a+b

C. P=a+b

D. P=2a+b .

Câu 13. Cho  là số thực dương khác 1. Tính P=logaa.

A. P=12

B. P=2

C. P=2

D. P=0 .

Câu 14. Cho a,b>0. Nếu lnx=5lna+2lnb thì x bằng

A. a5+b

B. a5b

C. 10ab

D. a5b .

Câu 15. Với a là số thực dương tùy ý, log8alog3a bằng

A83

Blog38

Clog83

Dlog5a .

Câu 16.  Cho 21m<21n. Khi đó:

A. m>n

B. m<n

C. m=n

D. mn .

Câu 17. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A. log35>0

Blog2+x22016<log2+x22017

C. log0,30,8<0

Dlog34>log413

Câu 18. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. logx<10<x<10

B. lnx0x1

C. log4x2>log2yx>y>0                

D. log1πx<log1πyx>y>0

Đáp án:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Công thức biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị chi tiết nhất

Công thức tiếp tuyến với đồ thị hàm số chi tiết nhất

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit và cách giải bài tập

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập

Từ khóa :
Giải bài tập
Đánh giá

0

0 đánh giá