Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tiếp tuyến với đồ thị hàm số hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hàm số, từ đó học tốt môn Toán.

Công thức tiếp tuyến với đồ thị hàm số chi tiết

1. Lí thuyết.

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị (C). Điểm $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\in \left(C\right)\text{}$. Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$. Kí hiệu $f\text{'}\left(x_0\right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M.

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta$

$\Delta :y=f\text{'}\left(x_0\right).\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

- Điều kiện tiếp xúc của $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ là hệ $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)\end{array}\right.$có nghiệm.

2. Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$

- Xác định tiếp điểm $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\text{}$

- Tính $f\text{'}\left(x_0\right)$

- Tiếp tuyến có dạng:

$\Delta :y=f\text{'}\left(x_0\right).\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

3. Một số dạng toán

a. Tiếp tuyến đi qua tiếp điểm thuộc đồ thị

- Làm theo các bước của phần 2.

VD1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2+1$ tại điểm có hoành độ bằng 2.

Lời giải:

- Tọa độ tiếp điểm $M\left(2;1\right)$

$y\text{'}=3x^2-4x\Rightarrow y\text{'}\left(2\right)=4$

Phương trình tiếp tuyến:

$$\begin{gathered} \Delta :y=4\left(x-2\right)+1 \\ \iff \Delta :y=4x-7 \end{gathered}$$

VD2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2-2x+1$ tại điểm có tung độ bằng 4.

Lời giải:

Tọa độ tiếp điểm $M\left(3;4\right)$ và $N\left(-1;4\right)$

- Gọi ${\Delta }_1$ là phương trình tiếp tuyến tại M

${\Delta }_2$ là phương trình tiếp tuyến tại N

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=2x-2 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(3\right)=4\\ y\text{'}\left(-1\right)=-4\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\Delta }_1:y=4x-8\\ {\Delta }_2:y=-4x\end{array}\right. \end{gathered}$$

b. Tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước (biết trước hệ số góc của tiếp tuyến)

- Bài toán cho hệ số góc của tiếp tuyến là k

+ Giải phương trình $f\text{'}\left(x_0\right)=k\Rightarrow M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$

+ Sau đó viết phương trình tiếp tuyến qua M

- Chú ý: Tiếp tuyến song song với đường thẳng $d_1$ có hệ số góc $k_1$ thì $k=k_1$

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d_2$ có hệ số góc $k_2$ thì $k.k_2=-1$

VD3. Viết phương trình tiếp tuyến với $y=x^3-9x^2+1$ trong các trường hợp sau:

a. Hệ số góc của tiếp tuyến là -27

b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y=21x-244$

Lời giải:

a. Gọi hoành độ tiếp điểm là $x_0$

Giải phương trình:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x_0\right)=-27 \\ \iff 3{x_0}^2-18x_0=-27 \\ \iff x_0=3 \end{gathered}$$

Suy ra tiếp điểm $M\left(3;-53\right)$

Vậy phương trình tiếp tuyến là :

$$\begin{gathered} \Delta :y=-27\left(x-3\right)-53 \\ \iff \Delta :y=-27x+28 \end{gathered}$$

b. Gọi phương trình tiếp tuyến là $\Delta \text{'}$. Do $\Delta \text{'}$ // d nên hệ số góc của $\Delta \text{'}$ là 21

Gọi hoành độ tiếp điểm là $x_0$. Giải phương trình:

$f\text{'}\left(x_0\right)=21\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ x_0=7\end{array}\right.$

Với $x_0=-1$ ta được tiếp điểm là $M\left(-1;-9\right)$

$\Rightarrow \Delta \text{'}:y=21x+12$

Với $x_0=7$ ta được tiếp điểm là $N\left(7;-97\right)$,$M\left(-1;-9\right)$

$\Rightarrow \Delta \text{'}:y=21x-244$

Tuy nhiên đường thẳng này lại trùng với d nên loại.

Vậy phương trình tiếp tuyến là $\Delta \text{'}:y=21x+12$

4. Luyện tập

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  $y=x^2-2x$

a. Tại điểm có hoành độ là -1

b. Tại điểm có tung độ là 8

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ tại điểm có hoành độ là 2.

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2-3$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=24x-1$

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-3$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d:y=-\frac{1}{9}x+1$

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=x^2-6x+3$. Biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left(-2;10\right)$

Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Công thức tính tiệm cận của hàm số chi tiết nhất

Công thức biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị chi tiết nhất

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải bài tập

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit và cách giải bài tập

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập