Công thức tính tiệm cận của hàm số chi tiết

Giang Ngày: 07-06-2023 Lớp 12

268

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tính tiệm cận của hàm số hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hàm số, từ đó học tốt môn Toán.

Công thức tính tiệm cận của hàm số chi tiết

1. Lí thuyết

a. Tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a; + \infty)$ , $(- \infty; b)$ hoặc $(- \infty; + \infty)$ ). Đường thẳng $y = y_{0}$ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn.

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = y_{0}, \lim_{x \to - \infty} f (x) = y_{0}$

Nghĩa là các giới hạn trên phải tồn tại hữu hạn

b. Tiệm cận đứng

- Định nghĩa: Đường thẳng $x = x_{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = + \infty, \lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = - \infty \lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = - \infty, \lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = + \infty$

Nghĩa là các giới hạn trái, phải tiến ra vô cùng.

2. Cách xác định TCĐ và TCN

- Dựa vào định nghĩa, ta tính:

+) $\lim_{x \to \pm \infty} f (x)$ . Nếu giới hạn này là một số hữu hạn $y_{0}$

thì ta kết luận đường TCN là $y = y_{0}$ .

+) $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x)$ và $\lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x)$ . Trong đó $x_{0}$ là điểm mà hàm số không xác định.

Nếu ít nhất một trong hai giới hạn này tiến tới vô cùng thì ta kết luận TCĐ là $x = x_{0}$

- Hàm phân thức $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có TCN là $y = \frac{a}{c}$ và TCĐ là $- \frac{d}{c}$

3. Ví dụ

VD1. Tìm các TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

a. $y = \frac{x + 1}{x - 2}$

b. $y = \frac{3 - 2 x}{3 x + 1}$

Lời giải:

a. TXĐ: $D = ℝ \ \{2\}$

Ta có: $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 1}{x - 2} = 1$ nên đường thẳng $y = 1$ là TCN của đồ thị hàm số

Do $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x + 1}{x - 2} = + \infty$ (hoặc $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x - 2} = - \infty$ ) nên đường thẳng $x = 2$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

b. TXĐ: $D = ℝ \ \{- \frac{1}{3}\}$

Vì $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 - 2 x}{3 x + 1} = - \frac{2}{3}$ nên đường thẳng $y = - \frac{2}{3}$ là TCN của đồ thị hàm số

Vì $\lim_{x \to - {\frac{1}{3}}^{+}} \frac{3 - 2 x}{3 x + 1} = + \infty$ (hoặc $\lim_{x \to - {\frac{1}{3}}^{-}} \frac{3 - 2 x}{3 x + 1} = - \infty$ ) nên đường thẳng $x = - \frac{1}{3}$ là TCĐ của đồ thị hàm số.