Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hàm số, từ đó học tốt môn Toán.

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số chi tiết

- Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên tập D

a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên D nếu $f\left(x\right)\le M\forall x\in D$ và tồn tại $x_0\in D:f\left(x_0\right)=M$

- Kí hiệu là: $M=\underset{D}{\max }f\left(x\right)$

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên D nếu $f\left(x\right)\ge M\forall x\in D$ và tồn tại $x_0\in D:f\left(x_0\right)=m$

- Kí hiệu là: $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$

2. Các bước tìm GTLN - GTNN của hàm số trên D hoặc trên một khoảng xác định.

- Tìm TXĐ: D

- Tính $y\text{'}$. Tìm những điểm mà $y\text{'}=0$ và $y\text{'}$ không xác định

- Lập bảng biến thiên

- Dựa vào bảng biến thiên và kết luận GTLN; GTNN

- Lưu ý: GTLN, GTNN của hàm số phải là số hữu hạn

+ Trong một vài TH (thường là hàm phân thức) GTLN, GTNN hữu hạn nhưng đạt tại $x=\pm \infty$. Khi đó ta cũng kết luận là hàm số không có GTLN (GTNN).

3. Cách tính GTLN và GTNN trên một đoạn

a. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

b. Quy tắc tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a,b]

- Tìm các điểm $x_1,x_2,\mathrm{...}{x}_n$ trên khoảng $\left(a;b\right)$ mà tại đó $f\text{'}\left(x\right)=0$ hoặc $f\text{'}\left(x\right)$ không xác định

- Tính $f\left(a\right),f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),\mathrm{...}f\left(x_n\right),f\left(b\right)$.

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

- Kết luận: $\underset{\left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)=M$ và $\underset{\left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)=m$

- Chú ý: Đối với hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. Khi tìm GTLN và GTNN của hàm này trên đoạn $\left[m;n\right]$.

+) Nếu $-\frac{d}{c}\in \left[m;n\right]$ thì hàm số không có GTLN và GTNN

+) Nếu $-\frac{d}{c}\notin \left[m;n\right]$ thì GTLN và GTNN sẽ đạt tại các đầu mút.

4. Các ví dụ

VD1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a. $y=x-3+\frac{1}{x}$  trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$

b. $y=\frac{x}{4+x^2}$ trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$

Lời giải:

a. Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, ta có: $y\text{'}=1-\frac{1}{x^2}$;$y\text{'}=0\iff x=1$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(1\right)=-1$ và không tồn tại GTNN.

b. $y\text{'}=\frac{4+x^2-2x^2}{{\left(4+x^2\right)}^2}=\frac{4-x^2}{{\left(4+x^2\right)}^2}$.

$y\text{'}=0\iff x=\pm 2$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\max y=y\left(2\right)=\frac{1}{4}$ và $\min y=y\left(-2\right)=-\frac{1}{4}$

VD2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a. $y=x^3+3x^2-9x-7$ trên đoạn $\left[-4;3\right]$

b. $y=x^4-4x^2+3$ trên đoạn $\left[1;3\right]$

Lời giải:

a.

b. 

5. Luyện tập

Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

a. $y=2x^3-3x^2-12x+8$ trên đoạn $\left[-3;3\right]$

b. $y=x^4-2x^2+3$ trên đoạn $\left[-2;0\right]$

c. $y=\frac{x-1}{x-2}$ trên đoạn $\left[-4;4\right]$

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a. $y=\frac{1}{\sin x}$ trên đoạn $\left[\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{6}\right]$

b. $y=x^3-3x^2-9x+35$ trên các đoạn $\left[-4;4\right]$ và $\left[-5;3\right]$

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau:

a. $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}$

b. $\frac{1}{1+x^4}$

Bài 4. Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng bé nhất.

Bài 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $x=6t^2-t^3$. Tính thời điểm t (giây) mà tại đó chất điểm có vận tốc lớn nhất.

chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lí thuyết

- Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên tập D

a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên D nếu $f\left(x\right)\le M\forall x\in D$ và tồn tại $x_0\in D:f\left(x_0\right)=M$

- Kí hiệu là: $M=\underset{D}{\max }f\left(x\right)$

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên D nếu $f\left(x\right)\ge M\forall x\in D$ và tồn tại $x_0\in D:f\left(x_0\right)=m$

- Kí hiệu là: $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$

2. Các bước tìm GTLN - GTNN của hàm số trên D hoặc trên một khoảng xác định.

- Tìm TXĐ: D

- Tính $y\text{'}$. Tìm những điểm mà $y\text{'}=0$ và $y\text{'}$ không xác định

- Lập bảng biến thiên

- Dựa vào bảng biến thiên và kết luận GTLN; GTNN

- Lưu ý: GTLN, GTNN của hàm số phải là số hữu hạn

+ Trong một vài TH (thường là hàm phân thức) GTLN, GTNN hữu hạn nhưng đạt tại $x=\pm \infty$. Khi đó ta cũng kết luận là hàm số không có GTLN (GTNN).

3. Cách tính GTLN và GTNN trên một đoạn

a. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

b. Quy tắc tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a,b]

- Tìm các điểm $x_1,x_2,\mathrm{...}{x}_n$ trên khoảng $\left(a;b\right)$ mà tại đó $f\text{'}\left(x\right)=0$ hoặc $f\text{'}\left(x\right)$ không xác định

- Tính $f\left(a\right),f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),\mathrm{...}f\left(x_n\right),f\left(b\right)$.

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

- Kết luận: $\underset{\left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)=M$ và $\underset{\left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)=m$

- Chú ý: Đối với hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. Khi tìm GTLN và GTNN của hàm này trên đoạn $\left[m;n\right]$.

+) Nếu $-\frac{d}{c}\in \left[m;n\right]$ thì hàm số không có GTLN và GTNN

+) Nếu $-\frac{d}{c}\notin \left[m;n\right]$ thì GTLN và GTNN sẽ đạt tại các đầu mút.

4. Các ví dụ

VD1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a. $y=x-3+\frac{1}{x}$  trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$

b. $y=\frac{x}{4+x^2}$ trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$

Lời giải:

a. Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, ta có: $y\text{'}=1-\frac{1}{x^2}$;$y\text{'}=0\iff x=1$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(1\right)=-1$ và không tồn tại GTNN.

b. $y\text{'}=\frac{4+x^2-2x^2}{{\left(4+x^2\right)}^2}=\frac{4-x^2}{{\left(4+x^2\right)}^2}$.

$y\text{'}=0\iff x=\pm 2$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\max y=y\left(2\right)=\frac{1}{4}$ và $\min y=y\left(-2\right)=-\frac{1}{4}$

VD2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a. $y=x^3+3x^2-9x-7$ trên đoạn $\left[-4;3\right]$

b. $y=x^4-4x^2+3$ trên đoạn $\left[1;3\right]$

Lời giải:

a.

b. 

5. Luyện tập

Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

a. $y=2x^3-3x^2-12x+8$ trên đoạn $\left[-3;3\right]$

b. $y=x^4-2x^2+3$ trên đoạn $\left[-2;0\right]$

c. $y=\frac{x-1}{x-2}$ trên đoạn $\left[-4;4\right]$

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a. $y=\frac{1}{\sin x}$ trên đoạn $\left[\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{6}\right]$

b. $y=x^3-3x^2-9x+35$ trên các đoạn $\left[-4;4\right]$ và $\left[-5;3\right]$

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau:

a. $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}$

b. $\frac{1}{1+x^4}$

Bài 4. Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng bé nhất.

Bài 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $x=6t^2-t^3$. Tính thời điểm t (giây) mà tại đó chất điểm có vận tốc lớn nhất.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có đáp án khác:

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết nhất

Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất

Công thức tính tiệm cận của hàm số chi tiết nhất

Công thức biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị chi tiết nhất

Công thức tiếp tuyến với đồ thị hàm số chi tiết nhất