Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Thể tích khối lăng trụ hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Thể tích khối lăng trụ, từ đó học tốt môn Toán.

Thể tích khối lăng trụ: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

I. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa:

Cho hai mặt phẳng song song $\left(\alpha \right)$ , $\left({\alpha }^{\text{'}}\right)$ . Trên $\left(\alpha \right)$ lấy đa giác lồi $A_1{A}_2\mathrm{....}{A}_n$ , qua các đỉnh của đa giác này dựng các đường thẳng song song với nhau cắt $\left({\alpha }^{\text{'}}\right)$  tại ${A_1}^{\text{'}},{A_2}^{\text{'}},\mathrm{....},{A_n}^{\text{'}}$

Hình gồm hai đa giác $A_1{A}_2\mathrm{....}{A}_n$ , ${A_1}^{\text{'}}{A_2}^{\text{'}}\mathrm{....}{A_n}^{\text{'}}$  và các hình bình hành $A_1{A}_2{A_2}^{\text{'}}{A_1}^{\text{'}},A_2{A}_3{A_3}^{\text{'}}{A_2}^{\text{'}}\mathrm{....},A_n{A}_1{A_1}^{\text{'}}{A_n}^{\text{'}}$   gọi là hình lăng trụ kí hiệu là $A_1{A}_2\mathrm{....}{A}_n.{A_1}^{\text{'}}{A_2}^{\text{'}}\mathrm{....}{A_n}^{\text{'}}$

2. Các lăng trụ đặc biệt

a) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Các mặt bên là các hình chữ nhật. Cạnh bên bằng đường cao của lăng trụ.

b) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật và bằng nhau.

c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

+) 6 mặt của hình hộp là các hình bình hành.

+) Hai mặt đối diện song song và bằng nhau.

+) Bốn đường chéo của hình hộp đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.

d) Hình hộp chữ nhật: là hình hộp có 6 mặt đều là các hình chữ nhật.

e) Hình lập phương: Là hình hộp có 6 mặt đều là các hình vuông (bằng nhau).

3. Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ 

$\boxed{V_{LT}=S.h}$

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

$\boxed{V=a.b.c}$

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

$\boxed{V=a^3}$

Trong đó a là độ dài cạnh.

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …

+) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …

+) Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu $OA//\left(\alpha \right)$  thì  $d\left(O,\left(\alpha \right)\right)=d\left(A,\left(\alpha \right)\right)$

Nếu $OA\cap \left(\alpha \right)=\left\{I\right\}$  thì $\frac{d\left(O,\text{}\left(\alpha \right)\right)}{d\left(A,\left(\alpha \right)\right)}=\frac{IO}{IA}$(định lý Ta-lét)

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Thể tích lăng trụ đứng tam giác:

Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác.

(1) Chiều cao h là cạnh bên AA’ (hoặc BB’, CC’).

(2) Mặt đáy là tam giác ABC (hoặc tam giác A’B’C’).

Khi đó thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là $V=S_{ABC}.AA\text{'}$

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a, AA’ = 2a. Thể tích khối lăng trụ ABC. A’B’C’ là

A. $\frac{2a^3}{3}$

B. $2a^3$

C. $\frac{a^3}{3}$

D. $a^3$

Lời giải

Chọn D

Ta có chiều cao của lăng trụ là AA’ = 2a.

Diện tích đáy là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$

Thể tích khối lăng trụ là:

$V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=S_{ABC}.AA\text{'}=\frac{a^2}{2}.2a=a^3$

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh $AB=a\sqrt{3}$ , góc giữa A’C và (ABC) bằng $45°$ . Tính thể tích của khối lăng trụ.

A. $\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^3.$

B. $a^3.$

C. $3\sqrt{3}{a}^3.$

D. $\frac{a^3}{2}.$

Lời giải

Chọn A

Dạng 2: Thể tích lăng trụ đứng tứ giác.

Lăng trụ đứng tứ giác có:

(1) Đáy là một tứ giác, có thể là hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình bình hành, hình thang, …

(2) Các mặt bên đều là hình chữ nhật.

(3) Chiều cao là cạnh bên của lăng trụ.

Minh họa:

Xét lăng trụ đứng tứ giác ABCD. A’B’C’D’ có:

+) Đường cao là AA’ (hoặc BB’, CC’, DD’).

+) Đáy là tứ giác ABCD hoặc A’B’C’D’.

 Khi đó $V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=S_{ABCD}.AA\text{'}$

Ví dụ 3: Tính thể tích của hình lập phương có độ dài đường chéo bằng $\sqrt{12}$ .

A. 8

B. 24

C. 12

D. 16

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt AB = a. Vì đáy là hình vuông $\Rightarrow BD=a\sqrt{2}$

Vì  vuông tại B nên $B^{\text{'}}{D}^2=B{B^{\text{'}}}^2+B{D}^2$

$12=a^2+2a^2$

$\iff$a = 2.

Vậy thể tích khối lập phương ABCD. A’B’C’D’ là:

$V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=a^3=2^3=8.$

Dạng 3: Thể tích lăng trụ xiên.

Lăng trụ xiên là lăng trụ có cạnh bên không vuông góc với đáy.

Ta phải xác định đường cao của lăng trụ dựa vào các yếu tố mà đề bài đã cho.

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng $60°$ , tam giác ABC vuông tại C và góc  bằng $60°$ . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A’B’C’ theo a.

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó $B^{\text{'}}G\perp \left(ABC\right)$

Tam giác B’BG vuông tại G nên góc B’BG là góc nhọn.

BG là hình chiếu vuông góc của đường thẳng BB’ trên (ABC) nên góc giữa BB’ và (ABC) bằng góc giữa BB’ và BG và bằng góc B’BG, bằng $60°$ .

Tam giác B’BG vuông tại G nên:

$$\begin{gathered} B^{\text{'}}G=B{B}^{\text{'}}.\sin \widehat{B^{\text{'}}BG} \\ =a.\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

$BG=B{B}^{\text{'}}.\cos \widehat{B^{\text{'}}BG}=a.c\text{os}60°=\frac{a}{2}$

Gọi M là trung điểm của AC, ta có

$BM=\frac{3}{2}BG=\frac{3a}{4}.$

Đặt AB = 2x

Vì tam giác ABC vuông tại C ta có :

+)  $AC=AB.\cos \widehat{BAC}=2x.\cos {60}^o$

$=x\Rightarrow CM=\frac{x}{2}$

+) $BC=AB.\sin \widehat{BAC}=2x.\sin {60}^0$

$=2x.\frac{\sqrt{3}}{2}=x\sqrt{3}$

Tam giác BCM vuông tại C nên

 $$\begin{gathered} B{M}^2=C{B}^2+C{M}^2 \\ \iff \frac{9a^2}{16}={\left(x\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{13x^2}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{3a\sqrt{13}}{26} \end{gathered}$$

Diện tích tam giác ABC là :

$$\begin{gathered} S_{ABC}=\frac{1}{2}.CA.CB \\ =\frac{1}{2}.x.x\sqrt{3}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{104} \end{gathered}$$

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là $V=B^{\text{'}}G.S_{ABC}=\frac{27a^3}{208}$

IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1.  Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $4a^3$

B. $\frac{16}{3}{a}^3$

C. $\frac{4}{3}{a}^3$

 D. $16a^3$

Câu 2. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $3a^2$ và khoảng cách giữa hai đáy bằng a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

             A. $V=a^3$

             B. $V=\frac{3}{2}{a}^3$

             C. $V=3a^3$

             D. $V=9a^3$

Câu 3: Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng

A. $8a^3$

B. $2a^3$

C. $a^3$

D. $6a^3$

Câu 4: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là

A. $\frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}{a}^3}{4}$

C. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{4}$

Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông, AB = BC = a, cạnh bên $A\text{'}A=a\sqrt{2}$ . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. $\frac{\sqrt{2}{a}^3}{2}$

B.  $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{3}$

C. $\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}$

D. $\frac{3\sqrt{2}{a}^3}{2}$

Câu 6. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BB’ = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $AC=a\sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V=\frac{a^3}{6}$

B. $V=\frac{a^3}{3}$

C. $V=\frac{a^3}{2}$

D. $V=a^3$

Câu 7. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a và AA’ = 3a (minh họa như hình vẽ bên).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $2\sqrt{3}{a}^3$

B. $\sqrt{3}{a}^3$

C. $6\sqrt{3}{a}^3$

D. $3\sqrt{3}{a}^3$

Câu 8: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, A’C hợp với mặt đáy một góc ${60}^o$  . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tính theo  bằng:

A. $\frac{3a^3}{4}$

B. $\frac{a^3}{4}$

C.  $\frac{2a^3}{3}$

D. $\frac{3a^3}{8}$

Câu 9. Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = 3, AD = 4, AA’ = 5 là

A. V = 30

B. V = 60

C. V = 10.

D. V= 20.

Câu 10. Ông A dự định sử dụng hết $6,5{\text{\hspace{0.17em}m}}^2$  kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. $2,26{\text{\hspace{0.17em}m}}^3$

B. $1,61{\text{\hspace{0.17em}m}}^3$

C. $1,33{\text{\hspace{0.17em}m}}^3$

D. $1,50{\text{\hspace{0.17em}m}}^3$

Câu 11: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A’O = a. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho.

A. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

              B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

              C. $V=\frac{a^3}{4}$

              D. $V=\frac{a^3}{6}$

Câu 12: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = AC = a, $\widehat{BAC}={120}^o$ , hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên AA’ = a. Thể tích của khối lăng trụ là:

A. $\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{3a^3}{4}$

C. $\frac{a^3}{4}$

D.  $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

ĐÁP ÁN

Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Thể tích khối đa diện và cách giải bài tập

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức tính thể tích khối lăng trụ đầy đủ, chi tiết nhất